וקטור הבמאי: משוואת הקו, תרגילים שנפתרו - גוּפָנִי - 2025

וקטור במאי מובן ככזה המגדיר את כיוון הקו, במטוס או בחלל. לכן, וקטור המקביל לקו יכול להיחשב כווקטור בימוי שלו.

זה אפשרי הודות לאקסיומה של הגיאומטריה האוקלידית שאומרת ששתי נקודות מגדירות קו. ואז הקטע המכוון שנוצר על ידי שתי נקודות אלה מגדיר גם וקטור במאי של הקו האמור.

איור 1. איור 1. וקטור הבמאי של קו. (פירוט משלו)

בהינתן נקודה P השייכת לקו (L) ובהינתן וקטור דירקטור u של אותו קו, הקו נקבע לחלוטין.

משוואה של קו וקטור הבמאי

איור 2. משוואה של קו וקטור הבמאי. (פירוט משלו)

בהינתן נקודה P של קואורדינטות P: (Xo, I) ומנהל u וקטורי של קו (L), כל נקודה Q של קואורדינטות Q: (X, Y) חייבת לספק שה PQ הווקטור מקביל ל- u. תנאי אחרון זה מובטח אם PQ פרופורציונלי ל- u :

PQ = t⋅ u

בביטוי לעיל t הוא פרמטר השייך למספרים האמיתיים.

אם נכתבים המרכיבים הקרטזיים של PQ ו- u , המשוואה לעיל נכתבת באופן הבא:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

אם מרכיבים של שוויון וקטורי מושווים, מתקבל זוג המשוואות הבא:

X - Xo = aYty Y - I = b⋅t

משוואה פרמטרית של הקו

קואורדינטות X ו- Y של נקודה השייכת לקו (L) שעוברת דרך נקודת קואורדינטה (Xo, Yo) והיא מקבילה לווקטור הבמאי u = (a, b) נקבעות על ידי הקצאת ערכים אמיתיים לפרמטר המשתנה t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + b⋅t}

דוגמא 1

כדי להמחיש את המשמעות של המשוואה הפרמטרית של הקו, אנו לוקחים את הווקטור הבימוי

u = (a, b) = (2, -1)

וכנקודה ידועה בקו הנקודה

P = (Xo, I) = (1, 5).

המשוואה הפרמטרית של הקו היא:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

כדי להמחיש את המשמעות של משוואה זו, איור 3 מוצג, כאשר הפרמטר t משתנה בערך והנקודה Q של הקואורדינטות (X, Y) תופסת עמדות שונות על הקו.

איור 3. PQ = t u. (פירוט משלו)

הקו בצורה וקטורית

בהינתן נקודה P בקו וקטור הבימוי u שלה, ניתן לכתוב את המשוואה של הקו בצורה וקטורית:

OQ = OP + λ⋅ u

במשוואה לעיל, Q היא כל נקודה אך שייכת לקו ו- λ הוא מספר אמיתי.

משוואת הווקטור של הקו חלה על כל מספר ממדים, ניתן להגדיר אפילו קו היפר.

במקרה התלת ממדי עבור וקטור במאי u = (a, b, c) ונקודה P = (Xo, Yo, Zo), הקואורדינטות של נקודה גנרית Q = (X, Y, Z) השייכות לקו הן :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

דוגמא 2

שקול שוב את הקו שיש לו כווקטור בימוי

u = (a, b) = (2, -1)

וכנקודה ידועה בקו הנקודה

P = (Xo, I) = (1, 5).

המשוואה הווקטורית של הקו האמור היא:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

צורה רציפה של הקו ווקטור הבמאי

החל מהצורה הפרמטרית, ניקוי ומשווה של הפרמטר λ, יש לנו:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

זו הצורה הסימטרית של משוואת הקו. שימו לב כי a, b ו- c הם המרכיבים של וקטור הבמאי.

דוגמא 3

קח את הקו שיש לו כווקטור בימוי

u = (a, b) = (2, -1)

וכנקודה ידועה בקו הנקודה

P = (Xo, I) = (1, 5). מצא את צורתו הסימטרית.

הצורה הסימטרית או הרציפה של הקו היא:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

צורה כללית של משוואת הקו

הצורה הכללית של הקו במישור ה- XY ידועה כמשוואה שיש לה את המבנה הבא:

A⋅X + B⋅Y = C

ניתן לכתוב מחדש את הביטוי לצורה הסימטרית כך שיש לו את הצורה הכללית:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

בהשוואה לצורה הכללית של הקו הוא:

A = b, B = -a ו- C = b⋅Xo - a⋅Yo

דוגמא 3

מצא את הצורה הכללית של הקו שהווקטור הבמאי שלו הוא u = (2, -1)

וזה עובר דרך הנקודה P = (1, 5).

כדי למצוא את הטופס הכללי נוכל להשתמש בנוסחאות הנתונות, עם זאת ייבחר נתיב חלופי.

נתחיל במציאת הווקטור הכפול של וקטור הבמאי u, המוגדר כווקטור המתקבל על ידי החלפת מרכיבי u והכפלת השנייה ב -1:

w = (-1, -2)

הווקטור הכפול W מתאים לסיבוב של 90 מעלות השעון של וקטור הבמאי v .

אנו מכפילים בקנה מידה w עם (X, Y) ועם (Xo, Yo) וקובעים שווים:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

נשאר סוף סוף:

X + 2Y = 11

צורה סטנדרטית של משוואת הקו

זה ידוע כצורה הסטנדרטית של הקו במישור ה- XY, כזה שיש לו את המבנה הבא:

Y = m⋅X + d

כאשר m מייצג את המדרון ואת d היירוט עם ציר Y.

בהינתן וקטור הכיוון u = (a, b), המדרון m הוא b / a.

Yd מתקבל על ידי החלפת X ו- Y בנקודה הידועה Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

בקיצור, m = b / a ו- d = I - (b / a) Xo

שימו לב כי המדרון m הוא המנה בין המרכיב y של וקטור הבימוי לרכיב ה- x שלו.

דוגמא 4

מצא את הצורה הסטנדרטית של הקו שהווקטור הבמאי שלו הוא u = (2, -1)

וזה עובר דרך הנקודה P = (1, 5).

m = -½ ו- d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

מצא וקטור במאי של הקו (L) שהוא צומת המישור (Π): X - Y + Z = 3 והמישור (Ω): 2X + Y = 1.

ואז כתוב את הצורה הרציפה של המשוואה של הקו (L).

פִּתָרוֹן

מהמשוואה של אישור המטוס (Ω) Y: Y = 1 -2X

ואז אנו מחליפים במשוואה של המטוס (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

לאחר מכן אנו מפרמטרים את X, אנו בוחרים בפרמטריזציה X = λ

המשמעות היא שלקו יש משוואה וקטורית הניתנת על ידי:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

אשר ניתן לכתוב מחדש כ:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

איתו ברור שהווקטור u = (1, -2, -3) הוא וקטור כיוון של הקו (L).

הצורה הרציפה של הקו (L) היא:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

- תרגיל 2

בהתחשב במטוס 5X + a Y + 4Z = 5

והקו שמשוואתו הוא X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

קבע את הערך של כזה שהמטוס והקו מקבילים.

פיתרון 2

הווקטור n = (5, a, 4) הוא וקטור רגיל למישור.

הווקטור u = (1, 3, -2) הוא וקטור כיוון של הקו.

אם הקו מקביל למישור, n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

הפניות

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
2. קולמן, ב '(2006). אלגברה ליניארית. פירסון חינוך.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). גיאומטריה אנליטית. מרידה - ונצואלה: עריכה ונצולנה קליפורניה
4. נבארו, רוקיו. וקטורים. התאושש מ: books.google.co.ve.
5. פרז, CD (2006). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.
6. Prenowitz, W. 2012. מושגים בסיסיים של גיאומטריה. Rowman & Littlefield.
7. סאליבן, מ '(1997). חישוב מוקדם. פירסון חינוך.