משתנה רציף: מאפיינים, דוגמאות ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

משתנה הרציף הוא אחד שיכול לקחת מספר אינסופי של ערכים מספריים בין שני ערכי נתון, גם אם שני ערכים אלה הם קרוב שרירותיים. הם משמשים לתיאור תכונות מדידות; למשל גובה ומשקל. הערכים שמשתנה רציף לוקח יכולים להיות מספרים רציונליים, מספרים אמיתיים או מספרים מורכבים, אם כי המקרה האחרון נפוץ פחות בסטטיסטיקה.

המאפיין העיקרי של משתנים רציפים הוא שבין שני ערכים רציונליים או אמיתיים תמיד ניתן למצוא אחר, ובין אותו אחר לראשון ניתן למצוא ערך אחר, וכן הלאה ללא הגבלת זמן.

איור 1. העקומה מייצגת התפלגות רציפה והסורגים הם בדידים. מקור: pixabay

לדוגמה, נניח שהמשקל המשתנה בקבוצה כאשר הכבד ביותר שוקל 95 ק"ג והנמוך ביותר שוקל 48 ק"ג; זה יהיה טווח המשתנה ומספר הערכים האפשריים הוא אינסופי.

לדוגמא בין 50.00 ק"ג ל- 50.10 ק"ג יכול להיות 50.01. אבל בין 50.00 ל- 50.01 יכול להיות המדד 50.005. זהו משתנה רציף. מצד שני, אם במידות המשקל האפשריות נקבע דיוק של עשרון בודד, אז המשתנה המשמש יהיה דיסקרטי.

משתנים רציפים שייכים לקטגוריית המשתנים הכמותיים, מכיוון שיש להם ערך מספרי הקשור אליהם. עם ערך מספרי זה ניתן לבצע פעולות מתמטיות, החל משיטות חשבון עד אינפיניטסימליות.

דוגמאות

מרבית המשתנים בפיזיקה הם משתנים רציפים, ביניהם אנו יכולים לנקוב: אורך, זמן, מהירות, תאוצה, אנרגיה, טמפרטורה ואחרים.

משתנים רציפים ומשתנים נפרדים

בסטטיסטיקה ניתן להגדיר סוגים שונים של משתנים, איכותיים וכמותיים כאחד. משתנים רציפים שייכים לקטגוריה האחרונה. איתם ניתן לבצע פעולות חשבון וחישוב.

לדוגמה, המשתנה h, המתאים לאנשים שגובהם נע בין 1.50 מ 'ל 1.95 מ', הוא משתנה רציף.

בואו נשווה משתנה זה עם זה: מספר הפעמים שבהטלת מטבע עולה בראש, אותה נקרא n.

המשתנה n יכול לקחת ערכים בין 0 לאינסוף, עם זאת n אינו משתנה רציף מכיוון שהוא לא יכול לקחת את הערכים 1.3 או 1.5, מכיוון שבין ערכים 1 ו -2 אין אחר. זו דוגמא למשתנה בדיד.

תרגילי משתנים מתמשכים

שקול את הדוגמה הבאה: מכונה מייצרת גפרורים ואורזת אותם בתיבה. שני משתנים סטטיסטיים מוגדרים:

אורך הגפרור הנומינלי הוא 5.0 ס"מ עם סובלנות של 0.1 ס"מ. מספר הגפרורים לקופסה הוא 50 עם סובלנות של 3.

א) ציין את טווח הערכים ש- L ו- N יכולים לקחת.

ב) כמה ערכים אני יכול לקחת?

ג) כמה ערכים לא יכולים לקחת?

ציין בכל מקרה אם מדובר במשתנה בדיד או ברצף.

פִּתָרוֹן

הערכים של L הם בטווח; כלומר, הערך של L נמצא במרווח והמשתנה L יכול לקחת אינסוף ערכים בין שתי המדידות הללו. אז זה משתנה רציף.

הערך של המשתנה n הוא במרווח. המשתנה n יכול לקחת 6 ערכים אפשריים במרווח הסבילות, ואז הוא משתנה בדיד.

תרגיל של

אם בנוסף להיותו רציף, לערכים שצולמו על ידי המשתנה ישנה הסתברות מסוימת להתרחשותם, הרי שמדובר במשתנה אקראי מתמשך. חשוב מאוד להבדיל אם המשתנה הוא בדיד או רציף, מכיוון שהמודלים ההסתברותיים החלים על האחד והשני שונים.

משתנה אקראי רציף מוגדר לחלוטין כאשר ידועים הערכים שהוא יכול להניח, וההסתברות שיש לכל אחד מהם להתרחש.

-הערכה 1 של הסתברויות

השדכן הופך אותם באופן כזה שאורך המקלות הוא תמיד בין הערכים 4.9 ס"מ ל- 5.1 ס"מ, ואפס מחוץ לערכים אלה. ישנה סבירות להשיג מקל שגודלו בין 5.00 ל- 5.05 ס"מ, אם כי נוכל לחלץ אחת בגודל 5,0003 ס"מ. האם הערכים הללו סבירים באותה מידה?

פִּתָרוֹן

נניח שצפיפות ההסתברות אחידה. להלן ההסתברות למצוא גפרור באורך מסוים:

- להתאמה שנמצאת בטווח יש הסתברות = 1 (או 100%), מכיוון שהמכונה אינה מציירת גפרורים מחוץ לערכים אלה.

למציאת גפרור שנמצא בין 4.9 ל -5.0 יש הסתברות = ½ = 0.5 (50%), מכיוון שהוא מחצית מתחום האורכים.

וההסתברות שיש לאורך ההתאמה בין 5.0 ל 5.1 היא גם 0.5 (50%)

ידוע כי אין מקלות גפרור באורך של בין 5.0 ל 5.2. הסתברות: אפס (0%).

הסתברות למצוא קיסם בטווח מסוים

כעת נצפה בהסתברויות P של השגת מקלות שאורכם בין l ₁ ל- l ₂ :

-P שלמשחק יש אורך בין 5.00 ל- 5.05 מסומן כ P ():

-P שאורך הגבעה בין 5.00 ל- 5.01 הוא:

-P שלגבעה אורך בין 5,000 ל- 5,001 הוא אפילו פחות:

אם אנו ממשיכים לצמצם את המרווח כדי להתקרב יותר ל 5.00, ההסתברות שקיסם שיניים הוא 5.00 ס"מ בדיוק הוא אפס (0%). מה שיש לנו הוא ההסתברות למצוא התאמה בטווח מסוים.

הסתברות למציאת קיסמים מרובים בטווח נתון

אם האירועים אינם תלויים, ההסתברות ששני קיסמים נמצאים בטווח מסוים היא תוצר ההסתברויות שלהם.

ההסתברות ששני מקלות אכילה נעים בין 5.0 ל 5.1 היא 0.5 * 0.5 = 0.25 (0.25%)

-ההסתברות ש- 50 קיסמים הם בין 5.0 ל- 5.1 היא (0.5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, כלומר כמעט אפס.

ההסתברות ש -50 קיסמים הם בין 4.9 ל 5.1 היא (1) ^ 50 = 1 (100%)

- תרגיל 2 של הסתברויות

בדוגמה הקודמת, ההנחה הושגה כי ההסתברות היא אחידה במרווח הנתון, אולם לא תמיד זה המקרה.

במקרה של המכונה בפועל המייצרת את קיסמי השיניים, הסיכוי שהקיסם נמצא בערך המרכזי גדול מכפי שהוא נמצא באחד הערכים הקיצוניים. מנקודת מבט מתמטית זה מודל עם פונקציה f (x) המכונה צפיפות ההסתברות.

ההסתברות שמדד L הוא בין a ל b מחושבת באמצעות אינטגרל מוגדר של הפונקציה f (x) בין a ל b.

כדוגמה, נניח שאנחנו רוצים למצוא את הפונקציה f (x), המייצגת חלוקה אחידה בין הערכים 4.9 ו- 5.1 מתרגיל 1.

אם חלוקת ההסתברות אחידה, אז f (x) שווה לקבוע קבוע, שנקבע על ידי נטילת האינטגרל בין 4.9 ל 5.1 של c. מכיוון שהאינטגרל הזה הוא ההסתברות, אז התוצאה חייבת להיות 1.

איור 2. איור 2. צפיפות הסתברות אחידה. (פירוט משלו)

מה שאומר ש- c שווה 1 / 0.2 = 5. כלומר, פונקציית צפיפות ההסתברות האחידה היא f (x) = {5 אם 4.9≤x≤5.1 ו -0 מחוץ לטווח זה. פונקציה אחידה של צפיפות הסתברות מוצגת באיור 2.

שימו לב כיצד במרווחים של אותו רוחב (למשל 0.02) ההסתברות זהה במרכז כמו בסוף הטווח של המשתנה הרציף L (אורך קיסם שיניים).

מודל ריאלי יותר יהיה פונקצית צפיפות הסתברות כמו הבאה:

איור 3. פונקציה של צפיפות הסתברות לא אחידה. (פירוט משלו)

באיור 3 ניתן לראות כיצד ההסתברות למציאת קיסמים בין 4.99 ל- 5.01 (רוחב 0.02) גדולה מזו של מציאת קיסמים בין 4.90 ל- 4.92 (רוחב 0.02)

הפניות

1. דינוב, איבו. משתנים אקראיים בדידים והפצות הסתברות. נלקח מתוך: stat.ucla.edu
2. משתנים אקראיים בדידים ורצופים. נלקח מ: ocw.mit.edu
3. משתנים אקראיים בדידים והפצות הסתברות. נלקח מ: דף הבית.divms.uiowa.edu
4. ח. פישרו. מבוא להסתברות. התאושש מ: הסתברות kurs.com
5. Mendenhall, W. 1978. סטטיסטיקה לניהול וכלכלה. Iberoamericana, עורכת גרופ. 103-106.
6. משתנים אקראיים בעיות ומודלים של הסתברות. התאושש מ: ugr.es.
7. ויקיפדיה. משתנה מתמשך. התאושש מ- wikipedia.com
8. ויקיפדיה. משתנה סטטיסטי. התאושש מ- wikipedia.com.