צילום פרבולי אלכסוני: מאפיינים, נוסחאות, משוואות, דוגמאות - גוּפָנִי - 2025

ירה פרבולית האלכסונית הוא מקרה פרטי של תנועת הנפילה החופשיה שבה המהירות ההתחלתית של הקליע יוצרת זווית ביחס לאופק, נותן כפי תוצאה במסלול פרבולי.

נפילה חופשית היא מקרה של תנועה עם תאוצה מתמדת, בה התאוצה היא של כוח הכבידה, שמצביע תמיד אנכית כלפי מטה ובעל גודל של 9.8 מ / ש ^ 2. זה לא תלוי במסת הטיל, כפי שהראה גלילאו גליליי בשנת 1604.

איור 1. זריקה פרבולית אלכסונית. (פירוט משלו)

אם המהירות ההתחלתית של הטיל היא אנכית, לנפילה החופשית יש מסלול ישר ואנכי, אך אם המהירות ההתחלתית היא אלכסונית אז מסלול הנפילה החופשית הוא עקומה פרבולית, עובדה שמוכיחה גם על ידי גלילאו.

דוגמאות לתנועה פרבולית הן מסלול של בייסבול, הכדור שנורה מתותח וזרם המים היוצא מצינור.

איור 1 מציג זריקה פרבולית אלכסונית של 10 מ '/ ש' עם זווית של 60 מעלות. קנה המידה הוא במטרות והמיקומים הרצופים של P נלקחים בהפרש של 0.1 שניות החל מה- 0 שניות המיידי הראשוני.

נוסחאות

תנועת החלקיק מתוארת במלואה אם ​​מיקומו, מהירותו ותאוצתו ידועים כפונקציה של זמן.

התנועה הפרבולית הנובעת מצילום אלכסוני היא superposition של תנועה אופקית במהירות קבועה, בתוספת תנועה אנכית עם תאוצה קבועה שווה להאצת הכובד.

הנוסחאות החלות על הטיוטה הפרבולית האלכסונית הן אלה שמתאימות לתנועה עם האצה קבועה a = g , שימו לב שהשתמשו בהדגשה כדי לציין שהתאוצה היא כמות וקטורית.

מיקום ומהירות

בתנועה עם תאוצה קבועה, המיקום תלוי באופן מתמטי בזמן בצורה ריבועית.

אם אנו מציינים את r (t) את המיקום בזמן t, r או את המיקום ברגע ההתחלתי, v או את המהירות הראשונית, g התאוצה ו- t = 0 כרגע ההתחלתי, הנוסחה שנותנת את המיקום עבור כל רגע של זמן t היא:

r (t) = r _o + v _o t + ½ גרם t ²

המשטח הנועז בביטוי לעיל מציין כי מדובר במשוואת וקטור.

המהירות כפונקציה של הזמן מתקבלת על ידי לקיחת הנגזרת ביחס ל t של המיקום והתוצאה היא:

v (t) = v _o + g t

וכדי להשיג את ההאצה כפונקציה של הזמן, נלקחת נגזרת המהירות ביחס ל- t, וכתוצאה מכך:

כאשר הזמן אינו זמין, יש קשר בין מהירות למיקום, הניתן על ידי:

v ² = vo ² - 2 גרם (y-i)

משוואות

בשלב הבא נמצא את המשוואות החלות על צילום פרבולי אלכסוני בצורה קרטזית.

איור 2. איור 2. משתנים ופרמטרים של הטיוטה הפרבולית האלכסונית. (פירוט משלו)

התנועה מתחילה ברגע t = 0 במיקום התחלתי (xo, i) ומהירות גודל va זווית θ, כלומר, וקטור המהירות הראשונית הוא (vo cosθ, vo sinθ). התנועה ממשיכה בתאוצה

g = (0, -g).

משוואות פרמטריות

אם מיושמת הנוסחה הווקטורית שנותנת את המיקום כפונקציה של זמן ורכיבים מקובצים ומשווים, אזי יתקבלו המשוואות שנותנות את קואורדינטות המיקום בכל רגע של זמן t.

x (t) = x _o + v _{או x} t

y (t) = y _o + v _oy t -½ gt ²

באופן דומה, יש לנו את המשוואות למרכיבי המהירות כפונקציה של הזמן.

v _x (t) = v _שור

v _y (t) = v _oy - gt

איפה: v או _x = vo cosθ; v _oy = vo sinθ

משוואת השביל

y = A x ^ 2 + B x + C

A = -g / (2 v או x ^ 2)

B = (v oy / v ox + gxo / v ox ^ 2)

C = (i - v oy xo / v ox)

דוגמאות

ענה על השאלות הבאות:

א) מדוע בדרך כלל מוזנח השפעת החיכוך עם אוויר בבעיות טיח פרבוליות?

ב) האם צורת האובייקט חשובה בצילום הפרבולי?

תשובות

א) כדי שהתנועה של טיל תהיה פרבולית, חשוב שכוח החיכוך של האוויר יהיה הרבה פחות ממשקל העצם שנזרק.

אם נזרק כדור העשוי מפקק או חומר קל אחר, כוח החיכוך משתווה למשקל והמסלול שלו אינו יכול להתקרב לפרבולה.

נהפוך הוא, אם מדובר בחפץ כבד כמו אבן, כוח החיכוך הוא זניח בהשוואה למשקל האבן והמסלול שלו אכן מתקרב לפרבולה.

ב) גם צורת האובייקט שנזרק רלוונטית. אם נזרק דף נייר בצורת מטוס, תנועתו לא תהיה נפילה חופשית או פרבולית, מכיוון שהצורה מעדיפה התנגדות אוויר.

מצד שני, אם אותה דף נייר נדחסת לכדור, התנועה המתקבלת דומה מאוד לפרבולה.

דוגמא 2

מטיל שיגור מהקרקע האופקית במהירות של 10 מ '/ ש' וזווית של 60 מעלות. אלה אותם נתונים איתם הוכנה איור 1. בעזרת נתונים אלה, מצא:

א) רגע בו הוא מגיע לגובה המרבי.

ב) הגובה המרבי.

ג) המהירות בגובה המרבי.

ד) מיקום ומהירות במהירות 1.6 שניות.

ה) ברגע שהוא שוב פוגע בקרקע.

ו) הטווח האופקי.

פתרון ל)

המהירות האנכית כפונקציה של הזמן היא

v _y (t) = v _oy - gt = v _o sinθ - gt = 10 sin60º - 9.8 t = 8.66 - 9.8 t

ברגע שמגיעים לגובה המקסימאלי המהירות האנכית היא אפס לרגע.

8.66 - 9.8 t = 0 ⇒ t = 0.88 שניות.

פיתרון ב)

הגובה המרבי ניתן על ידי קואורדינטת y לרגע בו מגיעים לגובה:

y (0.88 שניות) = I + go t -½ gt ^ 2 = 0 + 8.66 * 0.88-½ 9.8 0.88 ^ 2 =

3.83 מ '

לכן הגובה המרבי הוא 3.83 מ '.

פיתרון ג)

המהירות בגובה המרבי היא אופקית:

v _x (t) = v או _x = v _או cosθ = 10 cos60º = 5 m / s

פיתרון ד)

המיקום בגובה 1.6 שניות הוא:

x (1.6) = 5 * 1.6 = 8.0 מ '

y (1.6) = 8.66 * 1.6-½ 9.8 1.6 2 = 1.31 מ '

פיתרון ה)

כאשר קואורדינטת ה- Y נוגעת בקרקע, אז:

y (t) = 8.66 * t-½ 9.8 t 2 = 0 ⇒ t = 1.77 שניות

פיתרון ו)

טווח ההגעה האופקי הוא קואורדינטת ה- x בדיוק ברגע שהוא נוגע בקרקע:

x (1.77) = 5 * 1.77 = 8.85 מ '

דוגמא 3

מצא את המשוואה של הנתיב באמצעות הנתונים מדוגמא 2.

פִּתָרוֹן

המשוואה הפרמטרית של השביל היא:

y (t) = 8.66 * t-½ 9.8 t ^ 2

והמשוואה הקרטזית מתקבלת על ידי פיתרון t מהראשון והחלפה בשנייה

y = 8.66 * (x / 5) -½ 9.8 (x / 5) ^ 2

מפשט:

y = 1.73 x - 0.20 x ^ 2

הפניות

1. PP Teodorescu (2007). קינמטיקה. מערכות מכניות, דגמים קלאסיים: מכניקת חלקיקים. שפרינגר.
2. Resnick, Halliday & Krane (2002). כרך פיסיקה 1. סקסה, מקסיקו.
3. תומאס וואלאס רייט (1896). אלמנטים של מכניקה הכוללים קינמטיקה, קינטיקה וסטטיקה. E ו- FN ספון.
4. ויקיפדיה. תנועה פרבולית. התאושש מ- es.wikipedia.org.
5. ויקיפדיה. תנועת השלכת התאוששה מ- en.wikipedia.org.