TESSELLATIONS: מאפיין, סוגים (רגילים, לא סדירים), דוגמאות - מתמטיקה - 2025

Tilings הם משטחים מצופים באחד או דמויות יותר הנקראת באבני פסיפס. הם נמצאים בכל מקום: ברחובות ובבניינים מכל הסוגים. הטסרה או האריחים הם חלקים שטוחים, לרוב מצולעים עם עותקים חופפים או איזומטריים, המוצבים על פי דפוס רגיל. בדרך זו לא נותרו חללים חשופים והאריחים או הפסיפסים אינם חופפים.

במקרה שמשתמשים בסוג פסיפס יחיד שנוצר על ידי מצולע רגיל, אז ישנו טסלה קבועה, אך אם משתמשים בשני סוגים או יותר של מצולעים רגילים, אז מדובר בטסלה קבועה למחצה.

איור 1. רצפת אריחים עם פיסול לא סדיר, מכיוון שהמלבנים הם מצולעים לא סדירים, למרות שהריבועים הם. מקור: Pixabay.

לבסוף, כאשר המצולעים שאותם מייצרים הפסיפס אינם קבועים, הרי שמדובר בטסלה לא סדירה.

הסוג השכיח ביותר של פסיפלציה הוא זה שנוצר על ידי פסיפסים מלבניים ובעיקר מרובעים. באיור 1 יש לנו דוגמה טובה.

היסטוריה של פסיפציות

במשך אלפי שנים שימש טסלה לכיסוי רצפות וקירות ארמונות ומקדשים של תרבויות ודתות שונות.

לדוגמה, התרבות השומרית שפרחה בסביבות 3500 לפני הספירה דרומית למסופוטמיה, בין נהר הפרת לטיגריס, השתמשה בטסלים באדריכלות שלהם.

איור 2. איור 2. טסלים שומריים בשער איסטאר. מקור: Wikimedia Commons.

טפלציות עוררו גם את ההתעניינות של המתמטיקאים בכל הגילאים: החל מארכימדס במאה ה -3 לפני הספירה, ואחריה יוהנס קפלר בשנת 1619, קמיל ג'ורדן בשנת 1880, ועד ימינו עם רוג'ר פנרוז.

פנרוז יצרה טסלציה לא תקופתית המכונה טסלולה פנרוז. אלה רק כמה שמות של מדענים שתרמו רבות בקשר לטס.

Tellellations קבוע

Tellellations רגילים נעשים עם סוג אחד בלבד של מצולע רגיל. מצד שני, על מנת שהטסילציה תיחשב רגילה, כל נקודה במטוס חייבת:

- לאורך פנים המצולע

או לשולי שני מצולעים סמוכים

בסופו של דבר זה יכול להשתייך לקודקוד המשותף של לפחות שלושה מצולעים.

עם ההגבלות שלעיל ניתן להראות שרק משולשים, ריבועים ומשושים שווה-צלעיים יכולים ליצור טסלציה רגילה.

מִנוּחַ

ישנו nomenclature המציין tellellations המורכבת מרישום בכיוון השעון ומופרדים על ידי נקודה, מספר הצדדים של המצולעים המקיפים כל צומת (או קודקוד) של הפסולת, תמיד מתחילים עם המצולע עם המספר הנמוך ביותר צדדים.

Nomenclature זה חל על tellellations רגיל וחצי רגיל.

דוגמה 1: פס משולש

איור 3 מראה טסלה משולשת רגילה. יש לציין כי כל צומת בטסולה המשולש הוא הקודקוד השכיח של שישה משולשים שווה צלעות.

הדרך לציין סוג זה של טסלציה היא 3.3.3.3.3.3, הנקראת גם על ידי 3 ⁶ .

איור 3. פס קבוע משולש קבוע 3.3.3.3.3.3. מקור: קומוני וויקימדיה

דוגמא 2: טסלציה מרובעת

איור 4 מראה טסלה קבועה המורכבת רק מריבועים. יש לציין כי כל צומת בתשחץ מוקף בארבעה ריבועים חופפים. הסימון המוחל על סוג זה של פסיפס ריבועי הוא: 4.4.4.4 או לחילופין 4 ⁴

איור 4. טסלה מרובעת 4.4.4.4. מקור: קומוני וויקימדיה.

דוגמה 3: פס משושה

בטקסלציה משושה כל צומת מוקף על ידי שלושה משושים רגילים כפי שמוצג באיור 5. המינוח לטסטולה משושה רגילה הוא 6.6.6 או לחילופין 6 ³ .

איור 5. פסיפציה משושה 6.6.6. מקור: קומוני וויקימדיה.

פסיקות חצי קבועות

פסיפציות חצי רגילות או ארכימדיות מורכבות משני סוגים או יותר של מצולעים רגילים. כל צומת מוקף בסוגי המצולעים המרכיבים את הטסלציה, תמיד באותו סדר, ומצב הקצה משותף לחלוטין עם השכן.

יש שמונה טסלים קבועים למחצה:

1. 3.6.3.6 (טקסלציה משושה-משושה)
2. 3.3.3.3.6 (פס משושה בוטה)
3. 3.3.3.4.4 (פס משולש מוארך)
4. 3.3.4.3.4 (פיסול ריבועי בוטה)
5. 3.4.6.4 (פסולת מעצבים-משושה-משושים)
6. 4.8.8 (טסלציה מרובעת קטועה)
7. 3.12.12 (טסלציה משושה קטועה)
8. 4.6.12 (קיצור תלת משושה קטום)

להלן מספר דוגמאות לטסלים קבועים למחצה.

דוגמא 4: טסלציה משושה-משושה

זה זה שמורכב ממשולשים משוליים וצדדים משושים רגילים במבנה 3.6.3.6, מה שאומר שצומת הטסלה מוקף (עד השלמת סיבוב אחד) על ידי משולש, משושה, משולש ומשושה. איור 6 מציג טסלציה כזו.

איור 6. הטסלה המשושה-משושה (3.6.3.6) היא דוגמא לטסלציה חצי רגילה. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמא 5: פס משושה בוטה

בדומה לטסלציה בדוגמה הקודמת, גם זו מורכבת ממשולשים ומשושים, אך תפוצתם סביב צומת היא 3.3.3.3.6. איור 7 ממחיש בבירור סוג טסלציה זה.

איור 7. הטסלה המשושה הבוטה מורכבת משושה המוקפת ב -16 משולשים בתצורת 3.3.3.3.6. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמא 6: טסלה של מעצבים-משושה-משושים

זהו טסלה המורכבת ממשולשים, ריבועים ומשושים, בתצורה 3.4.6.4, המוצגת באיור 8.

איור 8. פס קבוע חצי רגיל המורכב ממשולש, ריבוע ומשושה בתצורת 3.4.6.4. מקור: Wikimedia Commons.

Tellellations לא סדירים

Tellellations לא סדירות הן אלו שנוצרות על ידי מצולעים לא סדירים, או על ידי מצולעים רגילים, אך אינן עומדות בקריטריון לפיו צומת הוא קודקוד של לפחות שלושה מצולעים.

דוגמא 7

איור 9 מציג דוגמא לטסלציה לא סדירה, בה כל המצולעים הם קבועים והולכים. זה לא סדיר מכיוון שצומת אינו קודקוד שכיח של לפחות שלושה ריבועים ויש גם ריבועים שכנים שאינם חולקים לחלוטין קצה.

איור 9. אף על פי שכל האריחים הם ריבועים חופפים, זוהי דוגמה מובהקת להתייחסות לא סדירה. מקור: פ. זפטה.

דוגמא 8

ההקבלה מקבילת משטח שטוח, אך אלא אם כן הוא ריבוע, הוא אינו יכול ליצור פס קבוע.

איור 10. טסלה שנוצרה על ידי מקבילים אינה סדירה, שכן הפסיפסים שלה הם מצולעים לא רגילים. מקור: פ. זפטה.

דוגמא 9

משושים לא רגילים עם סימטריה מרכזית מתייחסים למשטח שטוח, כפי שמוצג באיור הבא:

איור 11. משושים עם סימטריה מרכזית גם כאשר הם לא קבועים מציינים את המטוס. מקור: פ. זפטה.

דוגמא 10: טיסלציה של קהיר

זהו טסלציה מעניינת מאוד, המורכבת מחומשים עם צלעות באורך שווה אך עם זוויות לא שוות, שניים מהם ישרים ושלושה האחרים 120 מעלות לכל אחד.

שמה נובע מהעובדה שטבע זה נמצא בריצוף של כמה מרחובות קהיר במצרים. איור 12 מציג את טס הלילה של קהיר.

איור 12. טקסל קהיר. מקור: Wikimedia Commons.

דוגמא 11: טסלציה של אל-אנדלוס

הטסלה בחלקים מסוימים באנדלוסיה ובצפון אפריקה מאופיינת בגיאומטריה ואפיגרפיה, בנוסף לאלמנטים נוייים כמו צמחייה.

טפלת הארמונות כמו זו של אלהמברה הייתה מורכבת מאריחים המורכבים מחתיכות קרמיקה בצבעים רבים, עם צורות מרובות (אם לא אינסופיות) שפרקו בתבניות גיאומטריות.

איור 13. טקסלציה של ארמון אלהמברה. טרטליה / רשות הרבים

דוגמה 12: טסלציה במשחקי וידאו

ידוע גם כ- tesellation, זהו אחד החידושים הפופולאריים ביותר במשחקי וידאו. מדובר ביצירת מרקמים כדי לדמות את הטסלציה של התרחישים השונים המופיעים בסימולטור.

זהו שיקוף ברור שהציפויים הללו ממשיכים להתפתח, חוצים את גבולות המציאות.

הפניות

1. תיהנו מתמטיקה. Tessellations. התאושש מ: enjoymatematicas.com
2. רובינוס. גרסאות Tessellations פתרו דוגמאות. התאושש מ: matematicasn.blogspot.com
3. ויסשטיין, אריק וו. "טסלציה דמוגרמית". ויסשטיין, אריק W, עורכת. MathWorld. מחקר וולפרם.
4. ויקיפדיה. פְּסִיפָס. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. טסלציה קבועה. התאושש מ: es.wikipedia.com