משפט טוריסלי: ממה הוא מורכב, נוסחאות ותרגילים - גוּפָנִי - 2025

משפט טוריצ'לי או עיקרון טוריצ'לי קובע כי שיעור הנוזל ביציאה פתח בקיר של טנק או מיכל, זהה לזה רוכש חפץ הוא ירד בחופשיות מגובה שווה על פני השטח ללא נוזלים לחור.

המשפט מאויר באיור הבא:

איור למשפט של טוריסלי. מקור: תוצרת עצמית.

בעקבות משפטו של טוריסלי, אנו יכולים לקבוע כי מהירות היציאה של הנוזל דרך פתח הנמצא בגובה h מתחת לפני השטח החופשי של הנוזל ניתנת על ידי הנוסחה הבאה:

כאשר g הוא תאוצה של כוח הכבידה ו- h הוא הגובה מהחור אל המשטח החופשי של הנוזל.

Evangelista Torricelli היה פיזיקאי ומתמטיקאי יליד העיר פנצה, איטליה בשנת 1608. לזכותו של טוריסלי המצאת הברומטר כספית ובהכרה יש יחידת לחץ הנקראת "טור", המקבילה למילימטר של כספית. (מ"מ של הר"ג).

הוכחת המשפט

במשפט של טוריסלי ובנוסחה שנותנת את המהירות, היא מניחה שאובדי הצמיגות זניחים, בדיוק כמו שבנפילה חופשית מניחים כי החיכוך הנובע מהאוויר המקיף את האובייקט הנופל זניח.

ההנחה הנ"ל סבירה ברוב המקרים וכרוכה גם בשימור אנרגיה מכנית.

כדי להוכיח את המשפט, נמצא תחילה את הנוסחה למהירות של חפץ שמשתחרר במהירות אפס ראשונית, מאותו גובה כמו משטח הנוזל במיכל.

עיקרון שימור האנרגיה יושם בכדי להשיג את מהירות האובייקט הנופל בדיוק כשירד גובה h השווה לזה מהחור אל המשטח החופשי.

מכיוון שאין הפסדי חיכוך, תקף להחיל את העיקרון של שימור אנרגיה מכנית. נניח שלחפץ הנופל יש מסה m והגובה h נמדד מגובה היציאה של הנוזל.

חפץ נופל

כאשר האובייקט משתחרר מגובה השווה לגובה המשטח החופשי של הנוזל, האנרגיה שלו היא רק פוטנציאל כבידה, מכיוון שמהירותו היא אפס ולכן האנרגיה הקינטית שלו היא אפס. האנרגיה הפוטנציאלית Ep ניתנת על ידי:

Ep = mgh

כאשר הוא עובר מול החור, גובהו הוא אפס, ואז האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס, כך שיש לה רק אנרגיה קינטית Ec הניתנת על ידי:

Ec = ½ mv ²

מכיוון שהאנרגיה נשמרת Ep = EC ממה שמתקבל:

½ mv ² = mgh

לאחר פיתרון המהירות v מתקבלת הנוסחה של טוריסלי:

נוזל יוצא מהחור

בשלב הבא נמצא את מהירות היציאה של הנוזל דרך החור, בכדי להראות שהוא עולה בקנה אחד עם זה שחושב בדיוק לאובייקט שנופל בחופשיות.

לשם כך נתבסס על העיקרון של ברנולי, שאינו אלא שמירה על אנרגיה המופעלת על נוזלים.

העיקרון של ברנולי מנוסח כך:

הפירוש של נוסחה זו הוא כדלקמן:

• המונח הראשון מייצג את האנרגיה הקינטית של הנוזל ליחידת נפח
• השנייה מייצגת את העבודה שנעשית על ידי לחץ ליחידת חתך שטח
• השלישית מייצגת את האנרגיה הפוטנציאלית הכבידה לכל נפח נוזל ליחידה.

כשאנו מתחילים מההנחה שמדובר בנוזל אידיאלי, בתנאים לא סוערים עם מהירות נמוכה יחסית, אזי רלוונטי לאשר כי האנרגיה המכנית לנפח יחידה בנוזל היא קבועה בכל אזוריה או חתכים רוחביים.

בנוסחה זו V היא מהירות הנוזל, ρ צפיפות הנוזל, P הלחץ ו- z המיקום האנכי.

האיור שלהלן מראה את הנוסחה של טוריסלי החל מהעיקרון של ברנולי.

אנו מיישמים את הנוסחה של ברנולי על המשטח החופשי של הנוזל שאנו מציינים באמצעות (1) ועל חור היציאה שאנו מציינים על ידי (2). מפלס ראש האפס נבחר בסגנון עם חור השקע.

מתוך הנחה כי חתך הרוחב ב (1) גדול בהרבה מאשר ב (2), אנו יכולים להניח כי קצב הירידה של הנוזל ב (1) הוא כמעט זניח.

מסיבה זו נקבע V ₁ = 0, הלחץ שאליו נתון הנוזל (1) הוא לחץ אטמוספרי והגובה שנמדד מהפתח הוא h.

עבור חלק המוצא (2) אנו מניחים כי מהירות היציאה היא v, הלחץ שאליו נתון הנוזל בשקע הוא גם לחץ אטמוספרי וגובה היציאה הוא אפס.

החלף את הערכים התואמים לסעיפים (1) ו- (2) בנוסחה של ברנולי והגדר אותם שווים. השוויון מחזיק מכיוון שאנו מניחים שהנוזל הוא אידיאלי ואין הפסדי חיכוך צמיגים. לאחר פשטת כל התנאים מתקבלת המהירות בחור היציאה.

התיבה שלמעלה מראה שהתוצאה המתקבלת זהה לתוצאה של חפץ נופל בחופשיות,

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

I ) צינור היציאה הקטן של מיכל מים נמצא 3 מ 'מתחת לפני המים. חשב את מהירות היציאה של המים.

פִּתָרוֹן:

באיור שלהלן ניתן לראות כיצד מיושמת הנוסחה של טוריסלי במקרה זה.

תרגיל 2

II ) בהנחה שצינור היציאה של הטנק מהתרגיל הקודם בקוטר של 1 ס"מ, חישוב זרימת יציאת המים.

פִּתָרוֹן:

קצב הזרימה הוא נפח הנוזל היוצא לזמן יחידה ומחושב פשוט על ידי הכפלת שטח פתח היציאה במהירות היציאה.

באיור שלהלן מופיעים פרטי החישוב.

תרגיל 3

III ) קבע את גובה פני המים החופשיים במיכל אם אתה יודע

שבחור בתוך קרקעית המיכל, המים יוצאים בגובה 10 מ '/ ש'.

פִּתָרוֹן:

גם כאשר החור נמצא בתחתית המכולה, עדיין ניתן ליישם את הנוסחה של טוריסלי.

באיור שלהלן מופיע פירוט החישובים.

הפניות

1. ויקיפדיה. משפט טוריסלי.
2. יואיט, פ. מדע פיזיקלי רעיוני. מהדורה חמישית .119.
3. צעיר, יו. 2016. פיזיקה באוניברסיטה של ​​סירס-זמנסקי עם פיזיקה מודרנית. העיתון ה -14 פירסון. 384.