הירוק של משפט הוא שיטת חישוב המשמשת אינטגרלים כפול אינטגרלים קו Connect או שטח פנים. יש לציין את הפונקציות המעורבות כשדות וקטור ולהגדיר אותם בנתיב C.
לדוגמה, ביטוי אינטגרלי קו יכול להיות קשה מאוד לפתור; אולם באמצעות יישום המשפט של גרין, אינטגרלים כפולים הופכים להיות בסיסיים למדי. חשוב תמיד לכבד את הכיוון החיובי של מסלול, זה מתייחס לכיוון נגד כיוון השעון.
משפטו של גרין הוא מקרה מסוים של משפט סטוקס, בו השלכת הפונקציה הווקטורית מתבצעת במישור ה- xy.
הַגדָרָה
הביטוי של משפט גרין הוא כדלקמן:
המונח הראשון מציג את אינטגרל השורות המוגדר על ידי הנתיב "C", של המוצר הסקלרי בין פונקציית הווקטור "F" לזה של הווקטור "r".
C: זהו הנתיב המוגדר עליו תוקרן פונקציית הווקטור כל עוד הוא מוגדר לאותו מישור.
F: פונקציית וקטור, כאשר כל אחד ממרכיביה מוגדר על ידי פונקציה ככזו (f, g).
r: זהו משיק וקטורי לאזור R עליו מוגדר האינטגרל. במקרה זה אנו פועלים עם דיפרנציאל של וקטור זה.
בקדנציה השנייה אנו רואים משפט פותח של גרין, בו נצפה האינטגרל הכפול המוגדר באזור R של ההפרש הנגזרות החלקיות של g ו- f, ביחס ל- x ו- y בהתאמה. על ידי הפרש שטח שאינו אלא תוצר של שני ההפרשים הדו-ממדיים (dx.dy).
משפט זה מיושם באופן מושלם עבור אינטגרלי שטח ושטח.
הפגנה
כדי להוכיח את המשפט של גרין בצורה פשוטה, משימה זו תחולק לשני חלקים. ראשית, נניח שלפונקציה הווקטורית F יש רק הגדרה ב- i לעומת . ואילו הפונקציה "g" המתאימה ל versor j תהיה שווה לאפס.
מְחַבֵּר
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
ראשית אנו מפתחים את קו האינטגרל מעל נתיב C, שעבורו סווג הנתיב לשני חלקים העוברים תחילה מא 'ל b ואז אחר כך מ- b ל- a.
ההגדרה של משפט היסוד של החישוב מיושמת עבור אינטגרל מוגדר.
הביטוי מסודר מחדש לאינטגרל יחיד, השלילי הופך לגורם משותף, וסדר הגורמים מתהפך.
כשמתבוננים בפירוט בביטוי זה, מתברר כי כאשר מיישמים את קריטריוני הפונקציה הפרימיטיבית, אנו נמצאים בנוכחות אינטגרל הביטוי הנגזר מ- f ביחס ל- y. נבדק בפרמטרים
עכשיו מספיק להניח שפונקציה וקטורית F מוגדרת רק עבור g (x, y) j . כאשר כאשר פועלים באופן דומה למקרה הקודם, מתקבלים הדברים הבאים:
לסיום, שתי ההוכחות נלקחות ומצטרפות למקרה בו פונקצית הווקטור לוקחת ערכים לשני הפסוקים. בדרך זו מוצג כיצד ניתן לפתח את אינטגרל הקו לאחר שהוגדר ונחשב כמסלול חד ממדי, למישור ולמרחב.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
באופן זה מוכח המשפט של גרין.
יישומים
יישומי המשפט של גרין רחבים בענפי הפיזיקה והמתמטיקה. אלה נמשכים לכל יישום או שימוש שניתן לתת לשילוב קו.
את העבודה המכנית שנעשית על ידי כוח F דרך נתיב C, ניתן לפתח על ידי אינטגרל קו המתבטא כאינטגרל כפול של השטח על ידי משפט גרין.
רגעי האינרציה של גופים רבים הנתונים לכוחות חיצוניים בנקודות יישום שונות מגיבים גם לאינטגרלים מקווים שניתן לפתח עם משפטו של גרין.
יש לכך פונקציות מרובות במחקרי ההתנגדות של חומרים הנמצאים בשימוש. שם ניתן לכמת ולקחת בחשבון ערכים חיצוניים לפני התפתחות אלמנטים שונים.
באופן כללי, משפטו של גרין מאפשר את ההבנה וההגדרה של האזורים שבהם מוגדרים פונקציות וקטוריות ביחס לאזור לאורך נתיב.
הִיסטוֹרִיָה
זה פורסם בשנת 1828 בעבודה ניתוח מתמטי לתיאוריות החשמל והמגנטיות, שנכתב על ידי המתמטיקאי הבריטי ג'ורג 'גרין. בתוכו נחקרים קטעים מכריעים למדי ביישום החישוב בפיזיקה, כמו מושג הפונקציות הפוטנציאליות, הפונקציות של גרין והיישומים של המשפט שכותרתו העצמית.
ג'ורג 'גרין רשמי את קריירת הסטודנטים שלו בגיל 40, והיה עד כה מתמטיקאי שמלמד את עצמו לחלוטין. לאחר לימודיו באוניברסיטת קיימברידג ', המשיך במחקריו, תרם תרומות בתחום האקוסטיקה, האופטיקה וההידרודינמיקה הנמצאות בתוקף עד היום.
מערכת יחסים עם משפטים אחרים
המשפט של גרין הוא מקרה מיוחד והוא נובע משתי משפטים חשובים מאוד אחרים בתחום החשבון. אלה משפט קלווין-סטוקס והסטייה או משפט גאוס אוסטרוגרדסקי.
החל משתי משני המשפטים, ניתן להגיע למשפט של גרין. הגדרות והצעות מסוימות נחוצות כדי לפתח הוכחות כאלה.
תרגילים
- התרגיל הבא מראה כיצד להפוך קו אינטגרל לאינטגרל כפול ביחס לאזור R.
הביטוי המקורי הוא הבא:
משם נלקחות הפונקציות המקבילות af ו- g
f (x, y) = x 3 גרם (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
אין דרך אחת להגדיר את גבולות האינטגרציה בעת יישום המשפט של גרין. אך ישנן דרכים בהן האינטגרלים לאחר הגדרתם יכולים להיות פשוטים יותר. לכן האופטימיזציה של גבולות האינטגרציה ראויה לתשומת לב.
איפה כשפתרון האינטגרלים אנו משיגים:
ערך זה מתאים ביחידות מעוקבות לאזור שמתחת לפונקציה הווקטורית ולאזור המשולש שהוגדר על ידי C.
במקרה של אינטגרל הקו מבלי לבצע את השיטה של גרין, היה צורך לפרמט את הפונקציות בכל חלק מהאזור. כלומר, בצעו 3 אינטגרלים פרמטרים לרזולוציה. זו עדות מספקת ליעילות שרוברט גרין הביא עם משפטו לחשבון.
הפניות
- מבוא למכניקת רצף. * מיכאל לאי, דיוויד ה. רובין, ארהארד קרמפל, דיוויד רובין בטרוורת '-היינמן, 23 ביולי. 2009
- חישוב רב משתנים. ג'יימס סטיוארט. לימוד Cengage, 22 במרץ 2011
- היסטוריה לא פורמלית של משפט גרין ורעיונות קשורים. ג'יימס ג'וזף קרוס. החוג למתמטיקה, אוניברסיטת מלבורן, 1975
- הולכת חום באמצעות פונקציות ירוקות. קווין ד. קול, ג'יימס וו. בק, א. חאג'י-שייח ', בהמן ליטקוחי. טיילור ופרנסיס, 16 ביולי 2010
- יישום המשפט של גרין להפצת אינטגרלים לינאריים. מרכז מידע טכני לביטחון, 1961