מערכת אוקטלית: היסטוריה, מערכת מספור, המרות - מתמטיקה - 2025

מערכת אוקטלי הוא בסיס ושמונה (8) מערכת מספור מיקומית; כלומר, זה מורכב משמונה ספרות, שהם: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ו 7. לכן, לכל ספרה של מספר אוקטלי יכול להיות כל ערך בין 0 ל 7. המספרים האוקטאליים הם נוצרים ממספרים בינאריים.

זה כך מכיוון שבסיסו הוא כוח מדויק של שניים (2). כלומר, המספרים השייכים למערכת האוקטלית נוצרים כאשר הם מקובצים לשלוש ספרות רצופות, מסודרות מימין לשמאל, ובכך משיגות את הערך העשרוני שלהן.

הִיסטוֹרִיָה

המערכת האוקטלית מקורה בימי קדם, כאשר אנשים השתמשו בידיהם כדי לספור בעלי חיים משמונה לשמונה.

לדוגמה, כדי לספור את מספר הפרות באורווה, אחד התחיל לספור ביד ימין, לחבר את האגודל עם האצבע הקטנה; ואז, כדי לספור את החיה השנייה, צורף האגודל לאצבע המורה, וכן הלאה עם שאר האצבעות של כל יד, עד השלמת 8.

קיימת אפשרות שבימי קדם שימשה מערכת המספור האוקטלית לפני העשרון כדי להיות מסוגלת לספור חללים בין-ספרותיים; כלומר, ספרו את כל האצבעות מלבד האגודלים.

בהמשך הוקמה מערכת המספור האוקטלית, שמקורה במערכת הבינארית, מכיוון שהיא זקוקה לספרות רבות כדי לייצג מספר אחד בלבד; מכאן ואילך נוצרו מערכות אוקטליות ומשושים, שאינן דורשות כל כך הרבה ספרות וניתן להמיר אותן בקלות למערכת הבינארית.

מערכת מספור אוקטלית

המערכת האוקטלית מורכבת משמונה ספרות שעוברות בין 0 ל 7. אלה יש ערך זהה לזה של המערכת העשרונית, אך הערך היחסי שלהם משתנה בהתאם למיקום שהם תופסים. הערך של כל עמדה ניתן על ידי סמכויות בסיס 8.

למיקומי הספרות במספר אוקטלי יש המשקלים הבאים:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , נקודה אוקטלית, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

הספרה האוקטלית הגדולה ביותר היא 7; לפיכך, כאשר סופרים במערכת זו, המיקום של ספרה מוגדל מ- 0 ל- 7. כשמגיעים ל 7, הוא ממוחזר ל -0 לספירה הבאה; בדרך זו מוגברת המיקום הספרה הבא. לדוגמה, לספירת רצפים, במערכת האוקטלית זה יהיה:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

יש משפט יסודי המופעל על המערכת האוקטלית, והוא בא לידי ביטוי באופן הבא:

בביטוי זה די מייצג את הספרה כפול הכוח של בסיס 8, המציין את ערך המקום של כל ספרה, באותה צורה שהיא מסודרת במערכת העשרונית.

לדוגמה, יש לך את המספר 543.2. כדי להביא אותו למערכת האוקטלית, הוא מתפרק כדלקמן:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0.125)

N = 320 +32 + 2 + 0.25 = 354 + 0.25 _ד

לפיכך, יש לנו 543.2 _{ש '} = 354.25 _ד' . התסריט q מציין שמדובר במספר אוקטלי שיכול להיות מיוצג גם על ידי המספר 8; והתכנית d מתייחסת למספר העשרוני, שיכול להיות מיוצג גם על ידי המספר 10.

המרה ממערכת אוקטלית לעשרונית

כדי להמיר מספר מהמערכת האוקטלית למקבילה במערכת העשרונית, פשוט הכפל כל ספרה אוקטלית בערך המקום שלה, החל מימין.

דוגמא 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

דוגמא 2

26.9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0.125)

26.9 ₈ = 16 + 6 + 1.125

26.9 ₈ = 23.125 ₁₀

המרה ממערכת עשרונית למערכת אוקטלית

ניתן להמיר מספר שלם עשרוני למספר אוקטלי בשיטת החלוקה החוזרת, שם המספר השלם העשרוני מחולק ב- 8 עד שהמניין שווה ל- 0, והשאר של כל חלוקה ייצגו את המספר האוקטלי.

השאריות מסודרות מהאחרון לראשון; כלומר, השארית הראשונה תהיה הספרה הפחות משמעותית של המספר האוקטלי. באופן זה, הספרה המשמעותית ביותר תהיה השארית האחרונה.

דוגמא

מספר עשרוני אוקטובר 266 ₁₀

- חלק את המספר העשרוני 266 ב 8 = 266/8 = 33 + שארית של 2.

- ואז חלק 33 ב 8 = 33/8 = 4 + שארית של 1.

- חלק 4 ב 8 = 4/8 = 0 + שאר 4.

כמו בחלוקה האחרונה מתקבל כמות פחותה מ -1, זה אומר שהתוצאה נמצאה; אתה צריך רק להזמין את השאריות הפוכות, באופן שהמספר האוקטלי של 266 עשרוני הוא 412, כפי שניתן לראות בתמונה הבאה:

המרה ממערכת אוקטלית לבינארית

המרה מאוקטלית לבינארית נעשית על ידי המרת הספרה האוקטלית לספרה הבינארית המקבילה שלה, המורכבת משלוש ספרות. יש טבלה המציגה כיצד להמיר את שמונה הספרות האפשריות:

מההמרות הללו ניתן לשנות כל מספר ממערכת האוקטלית לבינארית, למשל, להמרת המספר 572 _8, אנו מחפשים את המקבילות שלו בטבלה. לפיכך, עליכם:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

לפיכך, 572 ₈ שווה במערכת הבינארית ל 10111110.

המרה מבינארי לאוקטל

התהליך של המרת מספרים בינאריים למספר שלמים אוקטלים הוא ההפך מהתהליך הקודם.

כלומר, הקטעים של המספר הבינארי מקובצים לשתי קבוצות של שלוש ביטים, החל מימין לשמאל. לאחר מכן, ההמרה מבינארי לאוקטל נעשית בטבלה שלמעלה.

במקרים מסוימים למספר הבינארי לא יהיו קבוצות של 3 ביטים; להשלמתו, אפס אחד או שניים מתווספים משמאל לקבוצה הראשונה.

לדוגמה, כדי לשנות את המספר הבינארי 11010110 לאוקטל, בצע את הפעולות הבאות:

- קבוצות של 3 ביטים נוצרות החל מימין (החלק האחרון):

11010110

- מכיוון שהקבוצה הראשונה אינה שלמה, נוסף אפס מוביל:

011010110

- ההמרה מתבצעת מהטבלה:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

לפיכך, המספר הבינארי 011010110 שווה 326 ₈ .

המרה מאוקטלית להקסדצימאלית ולהפך

כדי לשנות ממספר אוקטלי למערכת ההקסדצימלית או מהקסדצימלי לאוקטל, יש להמיר תחילה את המספר לבינארי ואז למערכת הרצויה.

לשם כך יש טבלה בה כל ספרה הקסדצימלית מיוצגת עם המקבילה שלה במערכת הבינארית, המורכבת מארבע ספרות.

במקרים מסוימים, למספר הבינארי לא יהיו קבוצות של 4 ביטים; להשלמתו, אפס אחד או שניים מתווספים משמאל לקבוצה הראשונה

דוגמא

המר מספר אוקטלי 1646 למספר הקסדצימלי:

- המר את המספר מאוקטל לבינארי

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- אז, 1646 ₈ = 1110100110.

- כדי להמיר מבינארי להקסדצימלי, הם מסודרים תחילה בקבוצה של 4 ביטים, החל מימין לשמאל:

11 1010 0110

- הקבוצה הראשונה הושלמה עם אפסים, כך שהיא יכולה להכיל 4 ביטים:

0011 1010 0110

- ההמרה מבינארי להקסדצימלי נעשית. השוויון מוחלף באמצעות הטבלה:

0011 = 3

1010 = א

0110 = 6

לפיכך, המספר האוקטלי 1646 שווה ל 3A6 במערכת ההקסדצימאלית.

הפניות

1. Bressan, AE (1995). מבוא למערכות מספור. האוניברסיטה הארגנטינאית של החברה.
2. האריס, ג'יי.נ. (1957). מבוא למערכות המספור הבינארי והאוקטאלי: לקסינגטון, סוכנות למידע טכני לשירותים חמושים.
3. קומאר, א.א. (2016). יסודות המעגלים הדיגיטליים. לימוד Pvt.
4. פריס, XC (2009). מערכות אופרטיביות בודדות.
5. רונלד ג'יי טוצ'י, נ.ש. (2003). מערכות דיגיטליות: עקרונות ויישומים. פירסון חינוך.