הפחתה של מונחים דומים (עם תרגילים שנפתרו) - מתמטיקה - 2025

ההפחתה של תנאים כאלה היא שיטה המשמשת כדי לפשט ביטויים אלגבריים. בביטוי אלגברי, מונחים דומים הם המשתנים זהים; כלומר יש להם אותם אלמונים המיוצגים על ידי מכתב, ולאלה יש אותם אקספונסנטים.

בחלק מהמקרים הפולינומים הם נרחבים, וכדי להגיע לפיתרון יש לנסות לצמצם את הביטוי; זה אפשרי כאשר ישנם מונחים דומים, אותם ניתן לשלב על ידי יישום פעולות ותכונות אלגבריות כמו הוספה, חיסור, כפל וחילוק.

הֶסבֵּר

כמו מונחים מורכבים מאותם משתנים עם אותם אקספונטנטים, ובמקרים מסוימים אלה נבדלים רק על ידי המקדמים המספריים שלהם.

מונחים דומים נחשבים גם לאלו שאין להם משתנים; כלומר, מונחים שיש להם קבועים בלבד. כך, למשל, הדברים הבאים הם מונחים:

- 6x ² - 3x ² . לשני המונחים יש אותו משתנה x ² .

- 4 א ² ב ³ + ² א ² ב ³ . לשני המונחים אותם משתנים א ² ב ³ .

- 7 - 6. התנאים קבועים.

מונחים שיש להם אותם משתנים אך עם מערכים שונים נקראים מונחים שונים, כגון:

- 9 א ² ב + 5 אב. למשתנים יש מרכיבים שונים.

- 5x + y. המשתנים שונים.

- b - 8. למונח אחד משתנה, השני קבוע.

בזיהוי המונחים הדומים היוצרים פולינום, ניתן לצמצם אותם לאחד, ולשלב את כל אותם בעלי משתנים זהים עם אותם אקספוננטים. באופן זה מפשט את הביטוי על ידי צמצום מספר המונחים המרכיבים אותו ומקל על חישוב הפיתרון שלו.

איך לעשות צמצום תנאים דומים?

הפחתת תנאים דומים נעשית על ידי יישום הרכוש האסוציאטיבי של התוספת והרכוש החלוקתי של המוצר. על פי הנוהל הבא, ניתן לבצע צמצום מונח:

ראשית, כמו שמונחים מקובצים.

- מקדמים (המספרים המלווים את המשתנים) של מונחים דומים מוסיפים או מופרעים, ומיישמים את המאפיינים האסוציאטיביים, הקומוטטיביים או החלוקה, לפי העניין.

- ואז נכתבים התנאים החדשים שהושגו, ומניחים לפניהם את השלט שנבע מהמבצע.

דוגמא

צמצם את תנאי הביטוי הבא: 10x + 3y + 4x + 5y.

פִּתָרוֹן

ראשית, התנאים מתבקשים לקבץ את הדומים זהים, להחיל את הרכוש הנסיעות:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

לאחר מכן מוחלים על המאפיין החלוקי ונוספים המקדמים המלווים את המשתנים בכדי להשיג את צמצום התנאים:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

כדי לצמצם תנאים דומים, חשוב לקחת בחשבון את סימני המקדמים המלווים את המשתנה. ישנם שלושה מקרים אפשריים:

הפחתה של מונחים דומים עם סימנים שווים

במקרה זה מוסיפים המקדמים וסימן התנאים מונח לפני התוצאה. לכן, אם הם חיוביים, התנאים המתקבלים יהיו חיוביים; במקרה שהתנאים שליליים, התוצאה תהיה הסימן (-) המלווה במשתנה. לדוגמה:

א) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

ב) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

צמצום תנאים דומים ג

במקרה זה, המקדמים מופקעים, והסמל של המקדם הגדול ביותר מונח לפני התוצאה. לדוגמה:

א) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4x ² y - 11x ² y)

= 21x ² y + (-15x ² y)

= 21x ² y - 15x ² y

= 6x ² ו.

ב) -5 א ³ ב + 3 א ³ ב - 4 א ³ ב + a ³ ב

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4 א ³ ב - 9 א ³ ב

= -5 עד ³ ב.

כך, כדי להפחית מונחים דומים שיש להם סימנים שונים, נוצר מונח תוסף יחיד עם כל אלה שיש להם סימן חיובי (+), מקדמים מתווספים והתוצאה מלווה במשתנים.

באותה צורה נוצר מונח חיסור, עם כל אותם מונחים שיש להם סימן שלילי (-), מקדמים מתווספים והתוצאה מלווה במשתנים.

לבסוף מופחתים סכומי שני המונחים שנוצרו, והסימן של הגדולים מונח על התוצאה.

צמצום תנאים דומים במבצעים

צמצום מונחים דומים הוא פעולה של אלגברה, אותה ניתן ליישם בנוסף, חיסור, כפל וחלוקה אלגברית.

בסכומים

כשיש לך כמה פולינומים עם מונחים דומים, כדי להפחית אותם, התנאים של כל פולינום מצווים לשמור על הסימנים שלהם, אז הם נכתבים בזה אחר זה והתנאים הדומים להם מופחתים. לדוגמה, יש לנו את הפולינומים הבאים:

3x - 4xy + 7x ² ו- + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

בחיסור

בכדי לחסר פולינום אחד משני, המינוה נכתב ואז משתנה התשתית עם הסימנים שלו ואז נעשה הפחתה של מונחים דומים. לדוגמה:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

לפיכך, מסוכמים הפולינומים ל- 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c.

בכפל

במוצר של פולינומים המונחים המרכיבים את הכפל מוכפלים על ידי כל מונח המרכיב את המכפיל, בהתחשב בכך שסימני הכפל נשארים זהים אם הם חיוביים.

הם ישונו רק כאשר מוכפלים למונח שלילי; כלומר כאשר מכפילים שני מונחים של אותו סימן התוצאה תהיה חיובית (+), וכשיש להם סימנים שונים התוצאה תהיה שלילית (-).

לדוגמה:

א) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

ג) (א - ב) _* (א - ב)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

בחטיבות

כאשר אתה רוצה להפחית שני פולינומים דרך חלוקה, עליך למצוא פולינום שלישי שכאשר מכפיל אותו השני (מחלק), מביא לפולינום הראשון (דיבידנד).

לשם כך יש להזמין את תנאי הדיבידנד והמחלק, משמאל לימין, כך שהמשתנים בשניהם יהיו באותו סדר.

לאחר מכן מבוצעת החלוקה, החל מהקדנציה הראשונה משמאל לדיבידנד על ידי הקדנציה הראשונה משמאל למחלקה, תוך התחשבות תמיד בסימנים של כל קדנציה.

לדוגמה, צמצם את הפולינום: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² ו- ² + 4xy ³ - 15y ^{4 על ידי} חלוקתו על ידי הפולינום: -5x ² + 4xy + 3y ² .

הפולינום שהתקבל הוא -2x ² + 8xy - 5y ² .

תרגילים שנפתרו

תרגיל ראשון

צמצם את תנאי הביטוי האלגברי הנתון:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

פִּתָרוֹן

מוחל המאפיין הקומוטטיבי של התוספת, מקבץ את המונחים שיש להם אותם משתנים:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

ואז מוחל התכונה החלוקה של הכפל:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

לבסוף, הם מפושטים על ידי הוספת וחיסור המקדמים של כל מונח:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

תרגיל שני

פשט את המוצר של הפולינומים הבאים:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

פִּתָרוֹן

כל מונח של הפולינום הראשון כפול השני, תוך התחשבות בכך שסימני המונחים שונים זה מזה; לפיכך, תוצאת הכפל שלה תהיה שלילית, כמו כן יש להחיל את חוקי המרחבים.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 על ² y ⁴ .

הפניות

1. Angel, AR (2007). אלגברה אלמנטרית. פירסון חינוך,.
2. בלדור, א '(1941). אַלגֶבּרָה. הוואנה: תרבות.
3. ג'רום א. קאופמן, KL (2011). אלגברה אלמנטרית ובינארית: גישה משולבת. פלורידה: לימוד Cengage.
4. סמית ', ס.א. (2000). אַלגֶבּרָה. פירסון חינוך.
5. Vigil, C. (2015). אלגברה ויישומיה.