הקווים האלכסוניים הם אלה נוטים, או ביחס משטח שטוח או קו אחר המציין כתובת מסוימת. כדוגמה, שקול את שלושת הקווים המצוירים במטוס המופיעים באיור הבא.
אנו מכירים את המיקומים היחסיים שלהם מכיוון שאנו משווים אותם לקו התייחסות, שהוא בדרך כלל ציר ה- x המציין את האופק.
איור 1. שורות אנכיות, אופקיות ואלכסוניות באותו מישור. מקור: פ. זפטה.
באופן זה, בחירת אופקית כהפניה, הקו משמאל אנכי, זה במרכז אופקי וזה שמימין הוא אלכסוני, מכיוון שהוא נוטה ביחס לקווי ההתייחסות היומיים.
כעת, הקווים שנמצאים באותו מישור, כמו משטח הנייר או המסך, תופסים עמדות שונות ביחס זה לזה, תלוי אם הם מצטלבים או לא. במקרה הראשון מדובר בקווים מבודדים, ואילו בשני הם מקבילים.
מצד שני, הקווים המוטביים יכולים להיות קווים אלכסוניים או קווים בניצב. בשני המקרים, מורדות הקווים שונים זה מזה, אך הקווים האלכסוניים יוצרים זוויות α ו- ß ביניהם, שונים מ- 90 מעלות, ואילו הזוויות הנקבעות על ידי הקווים הניצב הם תמיד 90º.
באיור הבא מסכמים הגדרות אלה:
איור 2. איור 2. עמדות יחסית בין קווים: מקבילים, אלכסוניים וניצביים שונים זה מזה בזווית שהם יוצרים זה עם זה. מקור: פ. זפטה.
משוואות
בכדי לדעת את המיקומים היחסיים של הקווים במטוס, יש לדעת את הזווית שביניהם. שים לב שהקווים הם:
מקביל : אם יש להם אותו שיפוע (אותו כיוון) ולעולם לא מצטלבים, לכן הנקודות שלהם שוות זה לזה.
צירופי מקרים : כאשר כל הנקודות שלה חופפות זו לזו ולכן יש אותה שיפוע, אך המרחק בין הנקודות שלה הוא אפס.
מייבשי כביסה : אם מורדותיהם שונים, המרחק בין הנקודות שלהם משתנה והצומת הוא נקודה אחת.
אז אחת הדרכים לדעת אם שני קווים במטוס הם אושרים או מקבילים היא דרך המדרון שלהם. קריטריוני ההקבלה והניצב של הקווים הם הבאים:
אם בידיעת השיפועים של שני קווים במטוס, אף אחד מהקריטריונים הקודמים לא מתקיים, אנו מסיקים כי הקווים אלכסוניים. בידיעת שתי נקודות בקו, המדרון מחושב מייד, כפי שנראה בסעיף הבא.
אתה יכול לגלות אם שני קווים הם אוחזים או מקבילים על ידי מציאת הצומת שלהם, פיתרון מערכת המשוואות שהם יוצרים: אם יש פיתרון, הם בטוחים, אם אין פיתרון, הם מקבילים, אבל אם הפתרונות הם אינסופיים, הקווים מקרים.
עם זאת, קריטריון זה אינו מודיע לנו על הזווית בין קווים אלו, גם אם הם מצטלבים.
בכדי לדעת את הזווית בין השורות, אנו זקוקים לשני וקטורים u ו- v השייכים לכל אחד מהם. כך ניתן לדעת את הזווית שהם מייצרים באמצעות המוצר הסקלרי של הווקטורים, המוגדר באופן זה:
u • v = uvcos α
משוואת הקו במטוס
ניתן לייצג קו במטוס הקרטזיאני בכמה דרכים, כגון:
- צורת יירוט שיפוע: אם m הוא שיפוע הקו ו- b הוא הצומת של הקו עם הציר האנכי, המשוואה של הקו היא y = mx + b.
- משוואה כללית של הקו : Ax + על ידי + C = 0, כאשר m = A / B הוא המדרון.
במישור הקרטזיאני, קווים אנכיים ואופקיים הם מקרים מסוימים של משוואת הקו.
- קווים אנכיים : x = a
- קווים אופקיים : y = k
איור 3. משמאל הקו האנכי x = 4 והקו האופקי y = 6. מימין דוגמה לקו אלכסוני. מקור: פ. זפטה.
בדוגמאות באיור 3, לקו האדום האנכי יש משוואה x = 4 ואילו לקו המקביל לציר ה- x (כחול) יש משוואה y = 6. באשר לקו מימין, אנו רואים שהוא אלכסוני וכדי למצוא את המשוואה שלה אנו משתמשים בנקודות המודגשות באיור: (0,2) ו- (4,0) בצורה זו:
חתך קו זה עם הציר האנכי הוא y = 2, כפי שניתן לראות בתרשים. עם מידע זה:
קביעת זווית הנטייה ביחס לציר ה- x היא פשוטה. אני מרגיש את זה:
לכן הזווית החיובית מציר ה- x לקו היא: 180º - 26.6º = 153.4º
דוגמאות לקווים אלכסוניים
איור 4. דוגמאות לקווים אלכסוניים. מקור: סייפים איאן פטרסון. המגדל הנטוי של פיזה. Pixabay.
קווים אלכסוניים מופיעים במקומות רבים, זה עניין של לשים לב למצוא אותם בארכיטקטורה, ספורט, חיווט חשמלי, אינסטלציה ובמקומות רבים נוספים. בטבע הקווים האלכסוניים קיימים גם הם, כפי שנראה בהמשך:
קרני אור
אור השמש נע בקו ישר, אך צורתו העגולה של כדור הארץ משפיעה על האופן בו אור השמש פוגע במשטח.
בתמונה למטה אנו יכולים לראות בבירור כי קרני השמש פוגעות בניצב באזורים טרופיים, אך במקום זאת מגיעות באופן אלכסוני אל פני השטח באזורים ממוזגים ובקוטבים.
זו הסיבה שקרני השמש נעות מרחק ארוך יותר באטמוספרה וגם החום מתפשט על פני שטח גדול יותר (ראה איור). התוצאה היא שהאזורים הסמוכים לקטבים הם קרים יותר.
איור 5. קרני השמש נופלות באופן אלכסוני באזורים הממוזגים ובקטבים, במקום זאת הם פחות או יותר בניצב באזורים הטרופיים. מקור: Wikimedia Commons.
קווים שאינם באותו מטוס
כששני קווים אינם באותו מישור, הם עדיין יכולים להיות אלכסוניים או מעוותים, כפי שהם ידועים גם כן. במקרה זה, וקטורי הבמאי שלהם אינם מקבילים, אך מכיוון שהם אינם שייכים לאותו מישור, קווים אלו אינם מצטלבים זה בזה.
לדוגמה, הקווים באיור 6 ימני הם בבירור במישורים שונים. אם אתה מסתכל עליהם מלמעלה, אתה יכול לראות שהם מצטלבים, אך אין להם נקודה משותפת. מימין אנו רואים את גלגלי האופניים, שכנראה חישוריהם חוצים כשהם מביטים מלפנים.
איור 6. קווים אלכסוניים השייכים למישורים שונים. מקור: שמאל פ. זפטה, מימין Pixabay.
הפניות
- גֵאוֹמֶטרִיָה. וקטור במאי של קו. התאושש מ: juanbragado.es.
- Larson, R. 2006. חשבון עם גיאומטריה אנליטית. 8. מַהֲדוּרָה. מקגרו היל.
- מתמטיקה זה משחק. קווים וזוויות. התאושש מ: juntadeandalucia.es.
- קווים ישרים המצטלבים זה בזה. התאושש מ: profesoraltuna.com.
- וילנה, מ. גיאומטריה אנליטית ב- R3. התאושש מ: dspace.espol.edu.ec.