סוגים של אינטגרלים שאנו מוצאים תחשיב הם אינטגרל לא אמיתי ואת אינטגרלים מובהק. למרות שלאינטגלים מוגדרים יש הרבה יותר יישומים מאשר אינטגרלים בלתי מוגדרים, יש צורך ללמוד תחילה כיצד לפתור אינטגרלים בלתי מוגדרים.
אחד היישומים האטרקטיביים ביותר של אינטגרלים מוגדרים הוא חישוב נפח מוצק המהפכה. לשני סוגי האינטגרלים אותם תכונות של לינאריות וגם טכניקות האינטגרציה אינן תלויות בסוג האינטגרל.
מוצק של מהפכה
אך למרות היותו דומה מאוד, יש הבדל עיקרי אחד; בסוג האינטגרל הראשון התוצאה היא פונקציה (שאינה ספציפית) ואילו בסוג השני התוצאה היא מספר.
סוגים בסיסיים של אינטגרלים
עולם האינטגרלים רחב מאוד אך בתוכו אנו יכולים להבחין בשני סוגים בסיסיים של אינטגרלים, שיש להם תחולה רבה בחיי היומיום.
1- אינטגרלים בלתי מוגדרים
אם F '(x) = f (x) עבור כל ה- x בתחום של f, אנו אומרים ש F (x) הוא אנטי-יריב, פרימיטיבי או אינטגרל של f (x).
מצד שני, נציין כי (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), שמשמעותו שהאינטגרל של פונקציה אינו ייחודי, מכיוון שנתן ערכים שונים לקבוע C נקבל שונה תרופות נגד-תרופות.
מסיבה זו F (x) + C נקרא אינטגרל בלתי מוגדר של f (x) ו- C נקרא קבוע האינטגרציה ואנחנו כותבים אותו בצורה הבאה
אינטגרל בלתי מוגדר
כפי שאנו רואים, האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה f (x) הוא משפחת פונקציות.
לדוגמה, אם ברצונך למצוא את האינטגרל הבלתי מוגדר של הפונקציה f (x) = 3x², תחילה עליך למצוא אנטי-יריביות ל- f (x).
קל לראות ש- F (x) = x³ הוא אנטי-יריב, שכן F '(x) = 3x². לפיכך ניתן להסיק כי
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- אינטגרלים מוגדרים
בואו ל- y = f (x) להיות פונקציה אמיתית ורציפה על מרווח סגור ותן ל- F (x) להיות אנטי-נגד של f (x). האינטגרל המובהק של f (x) בין המגבלות a ו- b נקרא המספר F (b) -F (a), והוא מצוין כדלקמן
משפט יסודי של חשבון
הנוסחה המוצגת לעיל ידועה יותר בשם "משפט היסוד של החשבון". כאן "a" נקרא הגבול התחתון ו- "b" נקרא הגבול העליון. כפי שאתה יכול לראות, האינטגרל המוגדר של הפונקציה הוא מספר.
במקרה זה, אם יחושב האינטגרל המוגדר של f (x) = 3x² במרווח, יתקבל מספר.
כדי לקבוע את המספר הזה אנו בוחרים F (x) = x³ כאנטי-מעריכה של f (x) = 3x². לאחר מכן, אנו מחשבים את F (3) -F (0) שנותן לנו את התוצאה 27-0 = 27. לסיכום, האינטגרל המובהק של f (x) במרווח הוא 27.
ניתן לציין שאם G (x) = x³ + 3 נבחר, אז G (x) הוא אנטי-נגד של f (x) שונה מ- F (x), אך זה לא משפיע על התוצאה מכיוון ש G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. מסיבה זו, קבוע האינטגרציה אינו מופיע באינטגרלים המוגדרים.
אחד היישומים השימושיים ביותר לסוג זה של אינטגרל הוא בכך שהוא מאפשר לנו לחשב את השטח (הנפח) של דמות מישור (של מוצק של מהפכה), לבסס פונקציות מתאימות וגבולות אינטגרציה (וציר סיבוב).
בתוך האינטגרלים המוגדרים נוכל למצוא הרחבות שונות של זה, כמו אינטגרלים קויים, אינטגרלים משטחיים, אינטגרלים לא תקינים, אינטגרלים מרובים, בין היתר, כולם עם יישומים שימושיים מאוד במדע והנדסה.
הפניות
- Casteleiro, JM (2012). האם קל להשתלב? מדריך ללימוד עצמי. מדריד: ESIC.
- Casteleiro, JM, and Gómez-Álvarez, RP (2002). חשבון אינטגרלי (מאויר). מדריד: מערכת ESIC.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה פרקלקולוס. פרנטיס הול PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). מתמטיקה של Precalculus: גישה לפיתרון בעיות (2, Illustrated ed.). מישיגן: פרנטיס הול.
- קישן, ח. (2005). חשבון אינטגרלי. מפרסמים ומפיצים אטלנטיים.
- פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). חשבון (מהדורה תשיעית). אולם פרנטיס.