מהם וקטורים מזוהים? (עם תרגילים שנפתרו) - גוּפָנִי - 2025

וקטורי המישור או המישור הם אלה אשר נמצאים על אותו המישור. כשיש רק שני ווקטורים, אלה הם תמיד מזדמנים, מכיוון שיש מטוסים אינסופיים, תמיד אפשר לבחור אחד שמכיל אותם.

אם יש לך שלושה וקטורים או יותר, יכול להיות שחלק מהם אינם נמצאים באותו מישור כמו האחרים, ולכן הם לא יכולים להיחשב כמתכננים. באיור שלהלן מופיעה קבוצה של וקטורים מצולמים המצוינים ב A , B , C ו- D :

איור 1. ארבעה וקטורים מזויפים. מקור: תוצרת עצמית.

וקטורים קשורים להתנהגות ולמאפיינים של כמויות פיזיקליות הרלוונטיות למדע והנדסה; למשל מהירות, תאוצה וכוח.

כוח מייצר השפעות שונות על עצם כאשר האופן בו הוא מיושם מגוון, למשל על ידי שינוי עוצמה, כיוון וכיוון. אפילו שינוי רק אחד מהפרמטרים הללו התוצאות שונות באופן משמעותי.

ביישומים רבים, הן בסטטיסטיקה והן בדינמיקה, הכוחות הפועלים על גוף נמצאים באותו מישור, ולכן הם נחשבים כמתכננים.

התנאים שהווקטורים יהיו בעלי גומלין

על מנת ששלושה וקטורים יהיו מסודרים הם חייבים לשכב באותו מישור וזה קורה אם הם עומדים באחד מהתנאים הבאים:

וקטורים מקבילים ולכן רכיביהם פרופורציונאליים ותלויים באופן ליניארי.

-המוצר המעורב שלך בטל.

אם יש לך שלושה ווקטורים וניתן לכתוב את אחד מהם כשילוב ליניארי של שני האחרים, הווקטורים האלה הם מישוריים. לדוגמה, וקטור שמקורו בסכום של שניים אחרים, השלושה כולם באותו מישור.

לחלופין, ניתן להגדיר את תנאי הזיווג באופן הבא:

מוצר מעורב בין שלושה ווקטורים

המוצר המעורב בין הווקטורים מוגדר עם שלושה וקטורים u , v ו- w, וכתוצאה מכך סקלר שנובע מביצוע הפעולה הבאה:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

ראשית, המוצר הצלב שנמצא בסוגריים מתבצע: v x w , שהתוצאה שלו היא וקטור רגיל (בניצב) למישור בו שניהם v ו- w שוכנים .

אם u נמצא באותו מישור כמו v ו- w , באופן טבעי המוצר הסקלרי (מוצר נקודה) בין u לבין הווקטור הרגיל חייב להיות 0. בדרך זו מוודאים כי שלושת הווקטורים הם מישוריים (הם שוכנים באותו מישור).

כאשר המוצר המעורב אינו אפס, התוצאה שלו שווה לנפח צנרת המקביל שיש בו הווקטורים u , v ו- w כצדדים סמוכים.

יישומים

כוחות קופלנארים, מקבילים ולא קולינאריים

הכוחות במקביל מופעלים כולם באותה נקודה. אם הם גם מתכננים, ניתן להחליף אותם בכוח אחד, המכונה הכוח המתקבל ובעל השפעה זהה לכוחות המקוריים.

אם גוף נמצא בשיווי משקל הודות לשלושה כוחות coplanar, במקביל ולא קולניאריים (לא מקבילים), המכונים A , B ו- C, המשפט של למי מצביע על כך שהקשר בין כוחות אלה (גודל) הוא הבא:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

כאשר α, β ו- γ זוויות הפוכות לכוחות המופעלים, כפי שמוצג באיור הבא:

איור 2. איור 2. שלושה כוחות coplanar A, B ו- C פועלים על עצם. מקור: קיווווק בוויקיפדיה האנגלית

תרגילים שנפתרו

-תרגיל 1

מצא את הערך של k כך שהווקטורים הבאים יהיו בעלי מישוריים:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

פִּתָרוֹן

מכיוון שיש לנו את מרכיבי הווקטורים, נעשה שימוש בקריטריון של המוצר המעורב, ולכן:

u ( v x w ) = 0

לפתור את v x w קודם . הווקטורים יבואו לידי ביטוי במונחים של וקטורי היחידה i , j ו- k המבדילים את שלושת הכיוונים הניצביים בחלל (רוחב, גובה ועומק):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

כעת אנו רואים את המוצר הסקלרי בין u לבין הווקטור שנבע מהפעולה הקודמת, תוך הגדרת הפעולה שווה ל 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

הערך המבוקש הוא: k = - 6

אז הווקטור u הוא:

u = <-3, -6, 2>

- תרגיל 2

באיור נראה אובייקט שמשקלו W = 600 N, תלוי בשיווי משקל בזכות הכבלים שהונחו בזוויות המוצגות באיור 3. האם ניתן להחיל את המשפט של למי במצב זה? בכל מקרה, מצא את גודל T ₁ , T ₂ ו- T ₃ המאפשרים שיווי משקל.

איור 3. משקל תלוי בשיווי משקל תחת פעולת שלושת הלחצים המוצגים. מקור: תוצרת עצמית.

פִּתָרוֹן

משפטו של למי ישים במצב זה אם נשקול הצומת עליו מופעלים שלושת הלחצים, מכיוון שהם מהווים מערכת של כוחות מזוהמים. ראשית, נעשה דיאגרמת הגוף החופשי למשקל התלייה, על מנת לקבוע את גודל T _3:

איור 4. תרשים גוף חופשי לתליית משקל. מקור: תוצרת עצמית.

מתנאי שיווי המשקל עולה כי:

הזוויות בין הכוחות מסומנות באדום בתמונה הבאה, ניתן לאמת בקלות כי סכומן הוא 360 מעלות. כעת ניתן ליישם את משפטו של למי, מכיוון שאחד הכוחות ושלושת הזוויות שביניהם ידועים:

איור 5.- באדום הזוויות ליישום המשפט של למי. מקור: תוצרת עצמית.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

לכן: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498.5 N

שוב מוחל המשפט של למי כדי לפתור את T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 N

הפניות

1. Figueroa, D. סדרה: פיזיקה למדעים והנדסה. כרך 1. קינמטיקה. 31-68.
2. גוּפָנִי. מודול 8: וקטורים. התאושש מ: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. מכניקה למהנדסים. סטָטִי מהדורה 6. חברת הוצאת קונטיננטל, 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. מכניקה למהנדסים: סטטיקה ודינמיקה. מהדורה שלישית. מקגרו היל. 1-15.
5. ויקיפדיה. וֶקטוֹר. התאושש מ: es.wikipedia.org.