משוואות סימולטני הן משוואות אלה שיש לעמוד בהם בעת ובעונה אחת. לכן, כדי לקבל משוואות סימולטניות עליכם להיות יותר ממשוואה אחת.
כשיש לך שתי משוואות שונות או יותר, שחייבות להיות באותו פיתרון (או אותם פתרונות), נאמר שיש לך מערכת של משוואות או שנאמר שיש לך משוואות סימולטניות.
כשיש לנו משוואות סימולטניות זה יכול לקרות שאין להם פתרונות נפוצים או שיש להם כמות סופית או שיש להם כמות אינסופית.
משוואות סימולטניות
בהינתן שתי משוואות שונות Eq1 ו- Eq2, יוצא כי המערכת של שתי משוואות אלה נקראת משוואות סימולטניות.
המשוואות סימולטניות משביעות את הדעת שאם S הוא פיתרון של Eq1 אז S הוא גם פיתרון של Eq2 ולהיפך.
מאפיינים
כשמדובר במערכת של משוואות סימולטניות, אתה יכול להיות 2 משוואות, 3 משוואות או N משוואות.
השיטות הנפוצות ביותר המשמשות לפתרון משוואות סימולטניות הן: החלפה, השוואה וצמצום. ישנה גם שיטה נוספת הנקראת כלל Cramer, והיא שימושית מאוד למערכות של יותר משתי משוואות סימולטניות.
דוגמה למשוואות סימולטניות היא המערכת
Eq1: x + y = 2
Eq2: 2x-y = 1
ניתן לראות כי x = 0, y = 2 הוא פיתרון של Eq1 אבל זה לא פיתרון של Eq2.
הפיתרון השכיח היחיד שיש לשתי המשוואות הוא x = 1, y = 1. כלומר, x = 1, y = 1 הוא הפיתרון של מערכת המשוואות סימולטניות.
תרגילים שנפתרו
בשלב הבא אנו ממשיכים לפתור את מערכת המשוואות סימולטניות המוצגות לעיל, באמצעות 3 השיטות שהוזכרו.
תרגיל ראשון
לפתור את מערכת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת התחלופה.
פִּתָרוֹן
שיטת ההחלפה מורכבת מפיתרון לאחד האלמונים באחת המשוואות ואז החלפתה במשוואה השנייה. במקרה הספציפי הזה, אנו יכולים לפתור עבור "y" מ- Eq1 ונשיג את y = 2-x.
החלפת ערך זה של «y» ב- Eq2, אנו משיגים כי 2x- (2-x) = 1. לכן אנו משיגים ש- 3x-2 = 1, כלומר x = 1.
ואז, מכיוון שערך x ידוע, הוא מחליף ב- "y" ואנחנו משיגים את y = 2-1 = 1.
לכן הפיתרון היחיד למערכת המשוואות סימולטניות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 1, y = 1.
תרגיל שני
לפתור את מערכת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת ההתאמה.
פִּתָרוֹן
שיטת ההתאמה מורכבת מפיתרון לאותו לא ידוע בשתי המשוואות ואז התאמת המשוואות המתקבלות.
לפתור "x" משתי המשוואות, נקבל x = 2-y, ו x = (1 + y) / 2. כעת משוואות שתי המשוואות הללו ואנחנו משיגים ש- 2-y = (1 + y) / 2, וממנו יוצא ש -4-2y = 1 + y.
קיבוץ ה- y הלא ידוע באותו צד מביא ל- y = 1. כעת, לאחר ש- "y" ידוע, אנו ממשיכים למצוא את הערך של "x". עם החלפת y = 1, נקבל x = 2-1 = 1.
לכן הפיתרון השכיח בין המשוואות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 1, y = 1.
תרגיל שלישי
לפתור את מערכת המשוואות Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 בשיטת ההפחתה.
פִּתָרוֹן
שיטת ההפחתה מורכבת מכפלת המשוואות הניתנות על ידי המקדמים המתאימים, כך שכשמוסיפים משוואות אלה מבוטל אחד המשתנים.
בדוגמה הספציפית הזו, אין הכפל להכפיל משוואה כלשהי במקדם כלשהו, פשוט הוסף אותם. על ידי הוספת Eq1 פלוס Eq2, אנו משיגים את ה- 3x = 3, ממנו אנו משיגים את ה- x = 1.
כאשר אנו מעריכים את x = 1 ב- Eq1, אנו משיגים את ה- 1 + y = 2, ממנו יוצא כי y = 1.
לכן x = 1, y = 1 הוא הפיתרון היחיד למשוואות סימולטניות Eq1 ו- Eq2.
תרגיל רביעי
לפתור את המערכת של משוואות סימולטניות Eq1: 2x-3y = 8 ו- Eq2: 4x-3y = 12.
פִּתָרוֹן
בתרגיל זה, אין צורך בשיטה מסוימת, ולכן ניתן ליישם את השיטה הנוחה ביותר עבור כל קורא.
במקרה זה, תשתמש בשיטת ההפחתה. הכפלת Eq1 ב- -2 נותנת את המשוואה Eq3: -4x + 6y = -16. כעת, הוספת Eq3 ו- Eq2 נקבל 3y = -4, ולכן y = -4 / 3.
כעת, כאשר אנו מעריכים y = -4 / 3 ב- Eq1, אנו משיגים את ה- 2x-3 (-4/3) = 8, משם 2x + 4 = 8, ולכן x = 2.
לסיכום, הפיתרון היחיד למערכת המשוואות סימולטניות Eq1 ו- Eq2 הוא x = 2, y = -4 / 3.
תַצְפִּית
ניתן ליישם את השיטות המתוארות במאמר זה על מערכות עם יותר משתי משוואות סימולטניות.
ככל שיש יותר משוואות וככל שיש יותר אלמונים, הנוהל לפתרון המערכת מורכב יותר.
כל שיטה לפתרון מערכות משוואות תניב את אותם הפתרונות, כלומר הפתרונות אינם תלויים בשיטה המיושמת.
הפניות
- Fuentes, A. (2016). מתמטיקה בסיסית. מבוא לחשבון. Lulu.com.
- גארו, מ '(2014). מתמטיקה: משוואות ריבועיות: כיצד פותרים משוואה ריבועית. מארילו גרו.
- הייסלר, אי.פי, ופול, רס (2003). מתמטיקה לניהול וכלכלה. פירסון חינוך.
- Jiménez, J., Rofríguez, M., and Estrada, R. (2005). מתמטיקה 1 SEP. מפתן.
- Preciado, CT (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
- רוק, נ.מ. (2006). אלגברה אני קלה! כל כך קל. צוות רוק עיתונות.
- Sullivan, J. (2006). אלגברה וטריגונומטריה. פירסון חינוך.