מה המספר PRANDTL? (ערכים בגזים ונוזלים) - גוּפָנִי - 2025

מספר ה- Prandtl , המקוצר Pr, הוא כמות חסרת ממדים המתייחסת לפיזוריות התנע, דרך הצמיגות הקינטית v (האות היוונית הנקראת "נו") של נוזל, עם הדיפוזיביות התרמית שלו α בצורה של המנה:

איור 1. המהנדס הגרמני לודוויג פרנדטל במעבדתו בהנובר בשנת 1904. מקור: Wikimedia Commons.

מבחינת מקדם צמיגות הנוזל או צמיגות דינמית μ, החום הספציפי של הנוזל _Cp ומקדם המוליכות התרמית שלו K, מספר ה- Prandtl בא לידי ביטוי באופן מתמטי באופן הבא:

כמות זו נקראת על פי המדען הגרמני לודוויג פראנדטל (1875–1953), אשר תרם תרומות רבות למכניקת הנוזלים. מספר ה- Prandtl הוא אחד המספרים החשובים למודל זרימת הנוזלים ובמיוחד דרך העברת החום בהם באמצעות הסעה.

מההגדרה שניתנה יוצא כי מספר ה- Prandtl הוא מאפיין של הנוזל, מכיוון שהוא תלוי בתכונותיו. באמצעות ערך זה ניתן להשוות את יכולתו של הנוזל להעביר מומנטום וחום.

הסעה טבעית ומאולצת בנוזלים

החום מועבר דרך מדיום על ידי מנגנונים שונים: הסעה, הולכה וקרינה. כאשר יש תנועה ברמה המאקרוסקופית של הנוזל, כלומר יש תנועה מסיבית של הנוזל, החום מועבר במהירות דרך מנגנון ההסעה.

לעומת זאת, כאשר המנגנון הטרום-מכני הוא הולכה, תנועת הנוזל מתרחשת ברמה המיקרוסקופית, אטומית או מולקולרית, תלוי בסוג הנוזל, אך תמיד לאט יותר מאשר באמצעות הסעה.

מהירות הנוזל ומשטר הזרימה שיש לו - למינרי או סוער - משפיעים גם על זה, מכיוון שככל שהוא מהיר יותר, העברת החום מהירה יותר.

הסעה מתרחשת באופן טבעי כאשר הנוזל נע בגלל הבדל בטמפרטורה, למשל כשמסת אוויר חם עולה ואחרת של אוויר קר יורדת. במקרה זה אנו מדברים על הסעה טבעית.

אולם ניתן לכפות את הסעה באמצעות מאוורר בכדי לאלץ את האוויר לזרום, או באמצעות משאבה להנעת המים בתנועה.

באשר לנוזל, הוא יכול להסתובב דרך צינור סגור (נוזל מוגבל), צינור פתוח (כמו למשל תעלה) או משטח פתוח.

בכל המצבים הללו ניתן להשתמש במספר Prandtl כדי לדגם העברת חום, יחד עם מספרים חשובים אחרים במכניקת נוזלים, כמו מספר ריינולדס, מספר מאצ ', מספר גרשוף, מספר נוסלט, חספוס או חספוס הצינור ועוד.

הגדרות חשובות בהעברת חום בנוזל

בנוסף למאפייני הנוזל, הגיאומטריה של המשטח מתערבת גם בהובלת החום, כמו גם בסוג הזרימה: למינרי או סוער. מכיוון שמספר ה- Prandtl כרוך בהגדרות רבות, הנה סיכום קצר של אלה החשובים ביותר:

דחיסות דינמית

זו ההתנגדות הטבעית של נוזל לזרום, בשל האינטראקציות השונות בין מולקולותיו. זה נקרא μ ויחידותיו במערכת הבינלאומית (SI) הן Ns / m ² (ניוטון x שני / מטר מרובע) או Pa.s (פסקל X שנייה), הנקראות poise. זה הרבה יותר נוזלים מאשר בגזים ותלוי בטמפרטורת הנוזל.

צמיגות קינמטית

זה מצוין כ- v (אות יוונית הנקראת "נו") ומוגדר כיחס בין הצמיגות הדינמית μ לבין הצפיפות ρ של נוזל:

יחידותיו הן מ ² / s.

מוליכות תרמית

זה מוגדר כיכולת של חומרים להוביל חום דרכם. זהו כמות חיובית והיחידות שלו הן Wm / K (ואט x מטר / קלווין).

חום ספציפי

כמות החום שיש להוסיף לקילוגרם של חומר כדי להעלות את הטמפרטורה שלה ב- 1 מעלות צלזיוס.

Diffusivity תרמית

זה מוגדר כ:

היחידות לפיזור תרמי זהות לאלה עבור צמיגות קינמטית: m ² / s.

תיאור מתמטי של העברת חום

יש משוואה מתמטית המדגמת את העברת החום דרך הנוזל, בהתחשב בכך שתכונותיו כמו צמיגות, צפיפות ואחרים נשארים קבועים:

T הוא הטמפרטורה, פונקציה של זמן t ושל וקטור המיקום r , ואילו α הוא הדיפוזיביות התרמית הנזכרת לעיל ו- Δ הוא המפעיל הלאפלקי. בקואורדינטות הקרטזיות זה היה נראה כך:

רוגזנות

חספוס ואי סדרים על פני השטח דרכם מסתובב הנוזל, למשל על הפנים הפנימיות של הצינור דרכו מסתובבים המים.

זרימת למינר

הכוונה לנוזל הזורם בשכבות, בצורה חלקה ומסודרת. השכבות אינן מתערבבות והנוזל נע לאורך מה שנקרא קווי זרימה.

איור 2. לטור העשן יש משטר למינרי בתחילת הדרך, אך אז מופיעות עציצות המעידות על משטר סוער. מקור: Pixabay.

זרימה סוערת

במקרה זה הנוזל נע בצורה לא מסודרת וחלקיקיו יוצרים סלעים.

ערכי מספר Prandtl בגזים ונוזלים

בגזים, סדר גודל של צמיגות קינמטית וגם דיפוזיביות תרמית ניתן על ידי תוצר המהירות הממוצעת של החלקיקים ונתיב חופשי ממוצע. האחרון הוא הערך של המרחק הממוצע שנערכה מולקולת גז בין שתי התנגשויות.

שני הערכים דומים מאוד, ולכן מספר Prandtl Pr קרוב ל 1. לדוגמה, עבור אוויר Pr = 0.7. המשמעות היא שתנופה וגם חום מועברים במהירות שווה בערך בגזים.

לעומת זאת במתכות נוזליות Pr פחות מ -1, מכיוון שאלקטרונים חופשיים מוליכים חום הרבה יותר טוב מתנופה. במקרה זה ν פחות מ- α ו- Pr <1. דוגמה טובה היא נתרן נוזלי, המשמש כנוזל קירור בכורים גרעיניים.

מים הם מוליך פחות יעיל של חום, עם Pr = 7, כמו גם שמנים צמיגיים, שמספר ה- Prandtl שלהם גבוה בהרבה, ויכולים להגיע ל 100,000 לשמנים כבדים, מה שאומר שחום מועבר בהם עם איטי מאוד, בהשוואה לתנופה.

טבלה 1. סדר גודל של מספר ה- Prandtl לנוזלים שונים

נוֹזֵל	ν (m 2 / s)	α (m 2 / s)	יחסי ציבור
מעטפת יבשתית	10 17	10 -6	10 23
שכבות פנימיות של השמש	10 -2	10 2	10 -4
אווירת כדור הארץ	10 -5	10 -5	אחד
אוקיינוס	10 -6	10 -7	10

דוגמא

הדיפוזיציות התרמיות של מים ואוויר בחום של 20 מעלות צלזיוס הן בהתאמה 0.00142 ו- 0.208 ס"מ ² / ש '. מצא את המספרים Prandtl עבור מים ואוויר.

פִּתָרוֹן

ההגדרה שניתנה בתחילה חלה, מכיוון שההצהרה נותנת את הערכים של α:

ובאשר לערכים של v, הם יכולים להימצא בטבלה של תכונות של נוזלים, כן, עלינו להיזהר ש- v נמצא באותן יחידות של α וכי הם תקפים על 20 מעלות צלזיוס:

ν _אוויר = 1.51x 10 ^-5 m ² / s = 0.151 ס"מ ² / s; ν _מים = 1.02 x 10 ^-6 m ² / s = 0.0102 ס"מ ² / s

לכן:

Pr (אוויר) = 0.151 / 0.208 = 0.726; Pr (מים) = 0.0102 / 0.00142 = 7.18

הפניות

1. כימיה אורגנית. נושא 3: הסעה. התאושש מ: pi-dir.com.
2. López, JM 2005. פתרו בעיות מכניקת נוזלים. סדרת Schaum. מקגרו היל.
3. Shaugnessy, E. 2005. מבוא למכניקת נוזלים. הוצאת אוניברסיטת אוקספורד.
4. Thorne, K. 2017. פיזיקה קלאסית מודרנית. פרינסטון ואוניברסיטת אוקספורד.
5. UNET. תופעות תחבורתיות. התאושש מ: unet.edu.ve.
6. ויקיפדיה. מספר Prandtl. התאושש מ: en.wikipedia.org.
7. ויקיפדיה. מוליכות תרמית. התאושש מ: en.wikipedia.org.
8. ויקיפדיה. צְמִיגוּת. התאושש מ: es.wikipedia.org.