תכונה אסוציאטיבית: תוספת, כפל, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

הפעולה האסוציאטיבית של בנוסף מייצגת את האופי האסוציאטיבי של המבצע בנוסף בסדרות מתמטיות שונות. בתוכו, קשורים שלושה (או יותר) מרכיבים של סטים כאמור, המכונים a, b ו- c, כך שזה תמיד נכון:

a + (b + c) = (a + b) + c

בדרך זו מובטח כי ללא קשר לדרך ההתאחדות לביצוע הפעולה, התוצאה זהה.

איור 1 אנו משתמשים בתכונה האסוציאטיבית של תוספת פעמים רבות בעת ביצוע פעולות חשבון ואלגבריות. (ציור: הרכב freepik: פ. זפטה)

אך יש לציין כי הרכוש האסוציאטיבי אינו נרדף לרכוש הקומוטטיבי. כלומר, אנו יודעים כי סדר התוספות אינו משנה את הסכום או כי סדר הגורמים אינו משנה את המוצר. אז עבור הסכום אפשר לכתוב כך: a + b = b + a.

עם זאת, במאפיין האסוציאטיבי זה שונה, מכיוון שנשמר סדר האלמנטים שיש להוסיף ומה משתנה הפעולה שמתבצעת קודם. מה שאומר שהוספה ראשונה (b + c) והוספת א לתוצאה זו לא משנה מלתחיל להוסיף a עם התוצאה לתוספת c.

פעולות חשובות רבות כמו תוספת הן אסוציאטיביות, אך לא כולן. לדוגמה, בחיסור של מספרים אמיתיים זה קורה כי:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

אם a = 2, b = 3, c = 1, אז:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

רכוש אסוציאטיבי של כפל

כפי שנעשה בתוספת, המאפיין האסוציאטיבי של הכפל קובע כי:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

במקרה של קבוצת המספרים האמיתיים, קל לאמת שזה תמיד המצב. לדוגמה, באמצעות הערכים a = 2, b = 3, c = 1, יש לנו:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

מספרים אמיתיים ממלאים את התכונה האסוציאטיבית של תוספת וגם כפל. מצד שני, בסט אחר, כמו זה של וקטורים, הסכום הוא אסוציאטיבי, אך המוצר הצלב או המוצר הווקטורי אינם.

יישומים של התכונה האסוציאטיבית של הכפל

יתרון בפעולות בהן מתקיים הרכוש האסוציאטיבי הוא היכולת לקבץ בצורה הנוחה ביותר. זה מקל על הרזולוציה הרבה יותר.

לדוגמה, נניח שבספרייה קטנה ישנם 3 מדפים עם 5 מדפים כל אחד. בכל מדף 8 ספרים. כמה ספרים יש בסך הכל?

אנו יכולים לבצע את הפעולה כך: ספרים בסך הכל = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 ספרים.

או ככה: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 ספרים.

איור 2. יישום אחד של המאפיין האסוציאטיבי של הכפל הוא חישוב מספר הספרים בכל מדף. תמונה שנוצרה על ידי F. Zapata.

דוגמאות

-בסטים של מספרים טבעיים, שלמים, רציונליים, אמיתיים ומורכבים מתקיימים התכונה האסוציאטיבית של תוספת וכפל.

איור 3. עבור מספרים אמיתיים, מתקיים המאפיין האסוציאטיבי של התוספת. מקור: Wikimedia Commons.

עבור פולינומים הם חלים גם בניתוחים אלה.

במקרים של פעולות חיסור, חלוקה וייחוס, המאפיין האסוציאטיבי אינו מכיל מספרים אמיתיים או פולינומים.

במקרה של מטריצות, הרכוש האסוציאטיבי מתקיים לצורך הוספה וכפלה, אם כי במקרה האחרון, אין אפשרות לקיים את הידיעות. משמעות הדבר היא, בהינתן המטריצות A, B ו- C, זה נכון כי:

(A x B) x C = A x (B x C)

אבל … A x B ≠ B x A

המאפיין האסוציאטיבי בווקטורים

וקטורים יוצרים קבוצה שונה ממספרים אמיתיים או מספרים מורכבים. הפעולות שהוגדרו עבור קבוצת הווקטורים שונות במקצת: יש חיבור, חיסור ושלושה סוגים של מוצרים.

סכום הווקטורים ממלא את המאפיין האסוציאטיבי, וכך גם מספרים, פולינומים ומטריצות. באשר למוצרים הסקלריים, סקלריים על ידי וקטור וצלב שנעשים בין וקטורים, האחרונים אינם ממלאים אותו, אך המוצר הסקלרי, שהוא סוג אחר של פעולה בין וקטורים, אכן ממלא אותו תוך התחשבות בפריטים הבאים:

-מוצר סקלרי וקטור מביא וקטור.

וכאשר מכפילים שני וקטורים בקנה מידה, תוצאות סקלריות.

לכן בהינתן הווקטורים v , u ו- w, ובנוסף סקלר λ, ניתן לכתוב:

- סכום הווקטורים: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-מוצר סקלרי: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

האחרון אפשרי הודות לעובדה ש- v • u הוא סקלר, ו- λ v הוא וקטור.

למרות זאת:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

פקטוריזציה של פולינומים על ידי קיבוץ מונחים

אפליקציה זו מעניינת מאוד, מכיוון שכאמור, הנכס האסוציאטיבי מסייע בפתרון בעיות מסוימות. סכום המונומיום הוא אסוציאטיבי וניתן להשתמש בו לפקטורציה כאשר גורם משותף ברור אינו מופיע במבט ראשון.

לדוגמה, נניח שאתה מתבקש לפקטור: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. לפולינום זה אין גורם משותף, אך בואו נראה מה יקרה אם הוא מקובץ כך:

לסוגריים הראשונים גורם משותף של גרזן ² :

בשני הגורם המשותף הוא 3:

תרגילים

- תרגיל 1

בבניין בית ספר יש 4 קומות ובכל אחת מהן 12 כיתות עם 30 שולחנות כתיבה. כמה שולחנות יש לבית הספר בסך הכל?

פִּתָרוֹן

בעיה זו נפתרת על ידי החלת התכונה האסוציאטיבית של הכפל, בואו נראה:

המספר הכולל של שולחנות עבודה = 4 קומות x 12 כיתות / רצפה x 30 שולחנות / כיתה = (4 x 12) x 30 שולחנות עבודה = 48 x 30 = 1440 שולחנות עבודה.

או אם אתה מעדיף: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 שולחנות עבודה

- תרגיל 2

בהינתן הפולינומים:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

החל את המאפיין האסוציאטיבי של התוספת כדי למצוא A (x) + B (x) + C (x).

פִּתָרוֹן

אתה יכול לקבץ את השניים הראשונים ולהוסיף את השלישי לתוצאה:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

מיד מתווסף הפולינום C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

הקורא יכול לוודא שהתוצאה זהה אם היא נפתרת על ידי האפשרות A (x) +.

הפניות

1. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
2. מתמטיקה היא כיף, חוקים קומוטטיביים, אסוציאטיביים וחלוקת חלוקות. התאושש מ: mathisfun.com.
3. מחסן מתמטיקה. הגדרת רכוש אסוציאטיבי. התאושש מ: mathwarehouse.com.
4. מדע. רכוש אסוציאטיבי וקומולטטיבי של תוספת וכפל (עם דוגמאות). התאושש מ: sciencing.com.
5. ויקיפדיה. רכוש אסוציאטיבי. התאושש מ: en.wikipedia.org.