תהליך פוליטרופי: מאפיינים, יישומים ודוגמאות - גוּפָנִי - 2025

תהליך polytropic הוא תהליך תרמודינמי המתרחש כאשר היחסים בין P לחץ והנפח V שנתנו PV ⁿ נשמרו קבוע. המפתח n הוא מספר אמיתי, בדרך כלל בין אפס לאינסוף, אך במקרים מסוימים הוא יכול להיות שלילי.

הערך של n נקרא אינדקס הפוליטרופיה וחשוב לציין כי במהלך תהליך תרמודינמי פוליטרופי, המדד האמור חייב לשמור על ערך קבוע, אחרת התהליך לא ייחשב לפוליטרופי.

איור 1. משוואה אופיינית לתהליך תרמודינמי פוליטרופי. מקור: פ. זפטה.

מאפייני תהליכים פוליטרופיים

כמה מקרים אופייניים לתהליכים פוליטרופיים הם:

- התהליך האיזותרמי (בטמפרטורה קבועה T), בו המרכיב הוא n = 1.

- תהליך איזוברי (בלחץ קבוע P), במקרה זה n = 0.

- התהליך האיזוכורי (בנפח קבוע V), עבורו n = + ∞.

- תהליכים אדיאבטיים (באנטרופיה קבועה של S), בהם המפתח הוא n = γ, כאשר γ הוא הקבוע האדיאבטי. קבוע זה הוא המנה בין קיבולת החום בלחץ קבוע Cp מחולק ביכולת החום בנפח קבוע Cv:

γ = Cp / Cv

- כל תהליך תרמודינמי אחר שאינו אחד המקרים הקודמים. אבל זה פוגש PV ⁿ = ctte עם אינדקס פוליטרופי אמיתי וקבוע n יהיה גם תהליך פוליטרופי.

איור 2. מקרים אופייניים שונים של תהליכים תרמודינמיים פוליטרופיים. מקור: Wikimedia Commons.

יישומים

אחת היישומים העיקריים של המשוואה הפוליטרופית היא חישוב העבודה שנעשתה על ידי מערכת תרמודינמית סגורה, כאשר היא עוברת ממצב ראשוני למצב סופי באופן מעין סטטי, כלומר בעקבות רצף של מצבי שיווי משקל.

עבודה על תהליכים פוליטרופיים לערכים שונים של n

עבור n ≠ 1

העבודה המכנית W המבוצעת על ידי מערכת תרמודינמית סגורה מחושבת על ידי הביטוי:

W = ∫P.dV

כאשר P הוא לחץ ו- V הוא נפח.

כמו במקרה של תהליך פוליטרופי, הקשר בין לחץ לנפח הוא:

יש לנו את העבודה המכנית שנעשתה במהלך תהליך פוליטרופי, שמתחיל במצב ראשוני 1 ומסתיים במצב הסופי 2. כל זה מופיע בביטוי הבא:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

על ידי החלפת ערך הקבוע בביטוי העבודה, אנו משיגים:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

במקרה בו ניתן לעצב את החומר העובד כגז אידיאלי, יש לנו את משוואת המצב הבאה:

PV = mRT

כאשר m הוא מספר השומות של הגז האידיאלי ו- R הוא קבוע הגז האוניברסאלי.

עבור גז אידיאלי העוקב אחר תהליך פוליטרופי עם אינדקס פוליטרופיה שונה מהאחדות ועובר ממצב עם טמפרטורה ראשונית T ₁ למצב אחר עם טמפרטורה T ₂ , העבודה נעשית על ידי הנוסחה הבאה:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

עבור n → ∞

על פי הנוסחה לעבודה שהתקבלה בסעיף הקודם, יש לנו שעבודה של תהליך פוליטרופי עם n = ∞ היא בטלה, מכיוון שהביטוי של העבודה מחולק באינסוף ולכן התוצאה נוטה לאפס .

דרך נוספת להגיע לתוצאה זו היא להתחיל מהקשר P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , אותו ניתן לכתוב מחדש כך:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

אם אנו לוקחים את השורש התשיעי בכל חבר, אנו משיגים:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

במקרה של n → ∞, יש לנו (V ₂ / V1) = 1, כלומר:

V ₂ = V ₁

כלומר, הנפח אינו משתנה בתהליך פוליטרופי עם n → ∞. לפיכך, ה- dV הדיפרנציאלי בנפח של העבודה המכנית הוא 0. תהליכים פוליטרופיים מסוג זה ידועים גם כתהליכים איזוכוריים, או תהליכי נפח קבוע.

עבור n = 1

שוב יש לנו את הביטוי הביטוי לעבודה:

W = ∫P dV

במקרה של תהליך פוליטרופי עם n = 1, הקשר בין לחץ לנפח הוא:

PV = קבוע = C

על ידי פתרון P מהביטוי הקודם והחלפתו, יש לנו את העבודה כדי לעבור ממצב ראשוני למצב סופי 2:

זאת אומרת:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

ככל שהמצבים הראשוניים והסופיים נקבעים היטב, כך גם ה- ctte. זאת אומרת:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

לבסוף, יש לנו את הביטויים השימושיים הבאים כדי למצוא את העבודה המכנית של מערכת פוליטרופית סגורה בה n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

אם החומר העובד מורכב משומה של שומות של גז אידיאלי, ניתן ליישם את משוואת הגז האידיאלית של המדינה: PV = mRT

במקרה זה, מאז PV ₁ = ctte, יש לנו שתהליך פוליטרופי עם n = 1 הוא תהליך בטמפרטורה קבועה T (איזותרמית), כך שניתן יהיה להשיג את הביטויים הבאים לעבודה:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

איור 3. קרח נמס, דוגמה לתהליך איזותרמי. מקור: Pixabay.

דוגמאות לתהליכים פוליטרופיים

- דוגמה 1

נניח שצילינדר עם בוכנה זזה מלא בקילוגרם אוויר אחד. בתחילה האוויר תופס נפח V ₁ = 0.2 m ³ בלחץ P ₁ = 400 kPa. לאחר תהליך פוליטרופי מתקיים n = γ = 1.4, אשר במצבו הסופי לחץ P ₂ = 100 kPa. קבע את העבודה שביצעה האוויר על הבוכנה.

פִּתָרוֹן

כאשר מדד הפוליטרופיה שווה לקבוע האדיאבטי, יש תהליך בו החומר העובד (אוויר) אינו מחליף חום עם הסביבה, ולכן גם האנטרופיה לא משתנה.

לאוויר, גז אידיאלי דיאטומי, יש לנו:

γ = Cp / Cv, עם Cp = (7/2) R ו- Cv = (5/2) R

כך:

γ = 7/5 = 1.4

בעזרת הביטוי של התהליך הפוליטרופי, ניתן לקבוע את נפח האוויר הסופי:

V ₂ = ^{(1 / 1.4)} = 0.54 m ³ .

כעת יש לנו את התנאים להחיל את נוסחת העבודה שנעשתה בתהליך פוליטרופי עבור n ≠ 1 המתקבל לעיל:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

החלפת הערכים המתאימים שיש לנו:

W = (100 kPa 0.54 m ³ - 400 kPa 0.2 m ³ ) / (1 - 1.4) = 65.4 kJ

- דוגמא 2

נניח את אותו צילינדר מדוגמא 1, עם בוכנה מטלטלת מלאה בקילוגרם אוויר. בתחילה האוויר תופס נפח V1 = 0.2 m ³ בלחץ P1 = 400 kPa. אך בניגוד למקרה הקודם, האוויר מתרחב באופן איזותרמי כדי להגיע ללחץ סופי P2 = 100 kPa. קבע את העבודה שביצעה האוויר על הבוכנה.

פִּתָרוֹן

כפי שנראה בעבר, תהליכים איזותרמיים הם תהליכים פוליטרופיים עם אינדקס n = 1, אז נכון ש:

P1 V1 = P2 V2

בדרך זו ניתן לנתק בקלות את הכרך הסופי כדי להשיג:

V2 = 0.8 מ ' ³

לאחר מכן, באמצעות ביטוי העבודה שהושג בעבר למקרה n = 1, יש לנו שהעבודה שנעשתה על ידי האוויר על הבוכנה בתהליך זה היא:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0.2 m ³ ln (0.8 / 0.2) = 110.9 kJ.

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל.
2. סנגל, י. 2012. תרמודינמיקה. מהדורה 7. מקגרו היל.
3. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. נפח 4. נוזלים ותרמודינמיקה. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB).
4. לופז, ג. החוק הראשון של התרמודינמיקה. התאושש מ: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. פיזיקה למדעים והנדסה: גישה אסטרטגית. פירסון.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. יסודות הפיזיקה. למידת הלימודים בתשע-עשרה.
7. אוניברסיטת סביליה. מכונות תרמיות. התאושש מ: laplace.us.es.
8. Wikiwand. תהליך פוליטרופי. התאושש מ: wikiwand.com.