עקרון כפול: טכניקות ספירה ודוגמאות - מתמטיקה - 2026

עיקרון כפלי הוא טכניקה המשמשת כדי לפתור בעיות ספירה כדי למצוא את הפתרון מבלי לפרט מרכיביו. זה ידוע גם כעקרון הבסיסי של ניתוח קומבינטורי; זה מבוסס על כפל רצוף כדי לקבוע כיצד אירוע יכול להתרחש.

עקרון זה קובע כי אם ניתן לקבל החלטה (ד ₁ ) בדרכים n וניתן לקבל החלטה אחרת (ד ₂ ) בדרכים m, המספר הכולל של הדרכים בהן ניתן לקבל החלטות d ₁ ו- d ₂ יהיה שווה להכפיל מ- n _* m. על פי העיקרון, כל החלטה מתקבלת זו אחר זו: מספר דרכים = N _{1 *} N ₂ … _* N _x דרכים.

דוגמאות

דוגמא 1

פאולה מתכננת ללכת לקולנוע עם חברותיה, ולבחור את הבגדים שהיא תלבש, אני מפרידה 3 חולצות ו -2 חצאיות. כמה דרכים יכולות פאולה להתלבש?

פִּתָרוֹן

במקרה זה, פאולה צריכה לקבל שתי החלטות:

d ₁ = בחר בין 3 חולצות = n

d ₂ = בחר בין 2 חצאיות = מ '

יש ככה פאולה n _* החלטות מטר לעשות או דרכים שונות ההלבשה.

n _* m = 3 _* 2 = 6 החלטות.

העיקרון הכפול נולד מהטכניקה של דיאגרמת העץ, שהיא תרשים המתייחס לכל התוצאות האפשריות, כך שכל אחד יכול להתרחש מספר סופי של פעמים.

דוגמא 2

מריו היה צמא מאוד, אז הוא הלך למאפייה לקנות מיץ. לואיס דואג לו ואומר לו שזה מגיע בשני גדלים: גדולים וקטנים; וארבעה טעמים: תפוח, תפוז, לימון וענבים. כמה דרכים יכול מריו לבחור במיץ?

פִּתָרוֹן

בתרשים ניתן לראות כי למריו יש 8 דרכים שונות לבחור את המיץ וכי כמו בעקרון הכפול, תוצאה זו מתקבלת על ידי הכפלת n _* m. ההבדל היחיד הוא שבאמצעות תרשים זה תוכלו לראות כיצד נראים הדרכים בהן מריו בוחר במיץ.

מצד שני, כאשר מספר התוצאות האפשריות גדול מאוד, יהיה מעשי יותר להשתמש בעקרון הכפול.

טכניקות ספירה

טכניקות ספירה הן שיטות המשמשות לביצוע ספירה ישירה, וכך יודעים את מספר הסידורים האפשריים שיכולים להיות לאלמנטים של סט נתון. טכניקות אלה מבוססות על מספר עקרונות:

עקרון תוספת

עקרון זה קובע כי אם שני אירועים m ו- n לא יכולים להתרחש בו זמנית, מספר הדרכים בהן האירוע הראשון או השני יכול להתרחש יהיה סכום של m + n:

מספר צורות = m + n… + x צורות שונות.

דוגמא

אנטוניו רוצה לצאת לטיול אך לא מחליט לאיזה יעד; בסוכנות התיירות הדרומית הם מציעים לך קידום לנסוע לניו יורק או לאס וגאס, ואילו סוכנות התיירות המזרחית ממליצה לנסוע לצרפת, איטליה או ספרד. כמה אלטרנטיבות נסיעות שונות מציע לך אנטוניו?

פִּתָרוֹן

בסוכנות התיירות הדרומית יש אנטוניו 2 חלופות (ניו יורק או לאס וגאס), ואילו אצל סוכנות התיירות המזרחית יש לו 3 אפשרויות (צרפת, איטליה או ספרד). מספר החלופות השונות הוא:

מספר החלופות = m + n = 2 + 3 = 5 חלופות.

עקרון הפרמוטציה

זה קשור באופן ספציפי להזמין את כל האלמנטים המרכיבים סט או חלקם, כדי להקל על ספירת כל הסידורים האפשריים שניתן לעשות עם האלמנטים.

מספר הפרמוטציות של n אלמנטים שונים, שצולמו בבת אחת, מיוצג כ:

_n P _n = n!

דוגמא

ארבעה חברים רוצים להצטלם ורוצים לדעת כמה דרכים שונות ניתן לסדר אותם.

פִּתָרוֹן

אתה רוצה לדעת את הסט של כל הדרכים האפשריות בהן ניתן להציב את 4 האנשים כדי לצלם את התמונה. לפיכך, עליכם:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 צורות שונות.

אם מספר הפרמוטציות של n אלמנטים זמינים נלקח על ידי חלקים של קבוצה המורכבת מאלמנטים r, הוא מיוצג כ:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

דוגמא

בכיתה יש 10 מושבים. אם 4 תלמידים משתתפים בשיעור, בכמה דרכים שונות יכולים התלמידים למלא את התפקידים?

פִּתָרוֹן

יש לנו כי המספר הכולל של קבוצת הכסאות הוא 10, ומתוכם רק 4 ישמשו. הנוסחה הנתונה מיושמת בכדי לקבוע את מספר התמורות:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 דרכי מילוי העמדות.

ישנם מקרים בהם חלק מהרכיבים הזמינים בערכה חוזרים על עצמם (הם זהים). כדי לחשב את מספר המערכים הנוטלים את כל האלמנטים בו זמנית, משתמשים בנוסחה הבאה:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

דוגמא

כמה מילים ארבע אותיות שונות יכולות להיווצר מהמילה "זאב"?

פִּתָרוֹן

במקרה זה ישנם 4 אלמנטים (אותיות) שניים מהם זהים לחלוטין. בעזרת הנוסחה הנתונה, ידוע כמה מילים שונות נובעות:

_n P _r = n! ÷ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 מילים שונות.

עקרון השילוב

מדובר בסידור כל האלמנטים או חלקם המרכיבים סט ללא סדר ספציפי. לדוגמה, אם יש לך סידור XYZ, הוא יהיה זהה לסידורי ZXY, YZX, ZYX, בין השאר; הסיבה לכך היא שלמרות שלא הייתה באותו סדר, האלמנטים של כל סידור זהים.

כאשר אלמנטים מסוימים (r) נלקחים מהסט (n), עקרון השילוב ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

דוגמא

בחנות מוכרים 5 סוגים שונים של שוקולד. בכמה דרכים שונות ניתן לבחור 4 שוקולדים?

פִּתָרוֹן

במקרה זה, יש לבחור 4 שוקולדים מתוך 5 הסוגים שהם מוכרים בחנות. הסדר בו הם נבחרים אינו משנה ובנוסף, ניתן לבחור סוג שוקולד יותר מפעמיים. החלת הנוסחה עליכם:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ ג ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ ג ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 דרכים שונות לבחור 4 שוקולדים.

כאשר כל האלמנטים (r) בערכה (n) נלקחים, עקרון השילוב ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

_n C _{n =} n!

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

יש קבוצת בייסבול עם 14 חברים. בכמה דרכים ניתן להקצות 5 עמדות למשחק?

פִּתָרוֹן

הסט מורכב מ- 14 אלמנטים ואתה רוצה להקצות 5 עמדות ספציפיות; כלומר, סדר חשוב. נוסחת הפרמוטציה מיושמת כאשר n אלמנטים זמינים נלקחים על ידי חלקים מסט שנוצר על ידי r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

כאשר n = 14 ו- r = 5. הוא מחליף בנוסחה:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 דרכים להקצות את 9 עמדות המשחק.

תרגיל 2

אם משפחה בת 9 יוצאת לטיול ורוכשת את הכרטיסים שלה עם מקומות ישיבה ברציפות, כמה דרכים שונות הן יכולות לשבת?

פִּתָרוֹן

מדובר על 9 אלמנטים אשר יתפסו 9 מושבים ברציפות.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 דרכי ישיבה שונות.

הפניות

1. הופקינס, ב '(2009). מקורות להוראת מתמטיקה נפרדת: פרויקטים בכיתה, מודולי היסטוריה ומאמרים.
2. ג'ונסונבו, ר '(2005). מתמטיקה נפרדת. פירסון חינוך,.
3. Lutfiyya, LA (2012). פותר בעיות מתמטיקה סופי ודיסקרטי. עורכי אגודות מחקר וחינוך.
4. פדרו, פ.צ. (2001). מתמטיקה נפרדת. פוליטק. של קטלוניה.
5. שטיינר, א '(2005). מתמטיקה למדעים יישומיים. Reverte.