העיקרון של ארכימדס: נוסחה, הוכחה, יישומים - גוּפָנִי - 2025

ארכימדס ' עיקרון קובע כי גוף השקוע כולו או בחלקו, מקבל כוח כלפי מעלה אנכי הנקרא דחף, אשר הוא שווה ערך למשקל של נפח הנוזל שנעקר על ידי הגוף.

חלק מהחפצים צפים במים, חלקם שוקעים וחלקם שקועים בחלקם. בכדי לשקוע כדור חוף יש להתאמץ, מכיוון שמיד נתפס הכוח שמנסה להחזיר אותו לפני השטח. במקום זאת כדור מתכת שוקע במהירות.

איור 1. בלונים צפים: העיקרון של ארכימדס בפעולה. מקור: Pixabay.

מצד שני, חפצים שקועים נראים קלים יותר, ולכן ישנו כוח המופעל על ידי הנוזל המתנגד למשקל. אבל זה לא תמיד יכול לפצות באופן מלא על כוח המשיכה. ולמרות שזה יותר ברור עם מים, גזים מסוגלים גם לייצר כוח זה על חפצים השקועים בהם.

הִיסטוֹרִיָה

ארכימדס מסירקוזה (287-212 לפני הספירה) היה זה שבוודאי גילה את העיקרון הזה, בהיותו אחד המדענים הגדולים בהיסטוריה. הם אומרים שהמלך הירו השני מסירקוזה הורה לצורף להכין עבורו כתר חדש שעבורו נתן לו כמות מסוימת של זהב.

ארכימדס

כאשר המלך קיבל את הכתר החדש, זה היה המשקל הנכון, אך הוא חשד כי הצורף הונה אותו על ידי הוספת כסף במקום זהב. איך הוא יכול להוכיח את זה בלי להרוס את הכתר?

הירו התקשר לארכימדס, אשר שמו הטוב כחוקר היה ידוע, כדי לעזור לו לפתור את הבעיה. האגדה קובעת כי ארכימדס היה שקוע באמבטיה כשמצא את התשובה, וכך היה גם רגשו, שהוא רץ עירום ברחובות סירקוזה לחפש את המלך, וצעק "יוריקה", שפירושו "מצאתי אותו".

מה מצא ארכימדס? ובכן, כאשר מתרחץ, מפלס המים באמבטיה עלה כשנכנס, מה שאומר שגוף שקוע מעביר נפח מסוים של נוזלים.

ואם היה טובל את הכתר במים, זה היה צריך גם לעקוף נפח מסוים של מים אם הכתר עשוי זהב ואחד אחר אם הוא עשוי מסגסוגת עם כסף.

נוּסחָה

כוח ההרמה אליו מכונה העיקרון של ארכימדס ידוע ככוח הדחף ההידרוסטטי או הכוח המצוף וכאמור, הוא שווה למשקל נפח הנוזלים העקורים על ידי הגוף כשהוא שקוע.

הנפח העקור שווה לנפח האובייקט שקוע, באופן מוחלט או חלקי. מכיוון שמשקלו של כל דבר הוא מ"ג, ומסת הנוזל היא צפיפות x נפח, המציין את גודל הדחף כ- B, מבחינה מתמטית יש לנו:

B = m _נוזל xg = צפיפות נוזל x נפח שקוע x כוח משיכה

B = _נוזל ρ x V _שקוע xg

שם האות היוונית ρ ("rho") מציינת צפיפות.

משקל לכאורה

משקל העצמים מחושב באמצעות הביטוי המוכר המוכר, עם זאת הדברים מרגישים קלים יותר כשהם שקועים במים.

המשקל הנראה לעין של חפץ הוא מה שיש לו כשהוא טובל במים או בנוזל אחר ולדעתו, ניתן להשיג נפח של חפץ לא סדיר כמו כתר המלך הירו, כפי שנראה להלן.

לשם כך הוא שקוע במים ומחובר למיתר המחובר לדינמומטר - מכשיר מצויד בקפיץ המשמש למדידת כוחות. ככל שמשקל העצם גדול יותר, כך התארכות הקפיץ נמדדת בסולם המסופק במנגנון.

איור 2. משקל לכאורה של חפץ שקוע. מקור: הוכן על ידי פ. זפטה.

החלת החוק השני של ניוטון בידיעה שהאובייקט במנוחה:

ΣF _y = B + T - W = 0

המשקל הנראה W _a שווה למתח במיתר T:

מכיוון שהדחף מפצה על המשקל, מכיוון שחלק הנוזלים נמצא במנוחה, אז:

מביטוי זה עולה כי הדחף נובע מהפרשי הלחץ בין הפנים העליונות של הצילינדר לפנים התחתונות. מאז W = mg = ρ נוזל. V. g, זה צריך:

שזה בדיוק הביטוי לדחף שהוזכר בסעיף הקודם.

יישומים

העיקרון של ארכימדס מופיע ביישומים מעשיים רבים, ביניהם אנו יכולים לתת שם:

- הבלון האוירוסטטי. אשר עקב צפיפותו הממוצעת פחות מזה של האוויר שמסביב, צף בו בגלל כוח הדחיפה.

- הספינות. גוף הספינות כבד יותר מהמים. אבל אם נלקחים בחשבון את כל הגולן בתוספת האוויר בפנים, היחס בין המסה הכוללת לנפח פחות מזה של המים וזו הסיבה שבגללה אוניות צפות.

- חליפות הצלה. הם בנויים מחומרים קלים ונקבוביים, והם מסוגלים לצוף מכיוון שיחס הנפח המוני נמוך מזה של המים.

- הציפה לסגירת ברז המילוי של מיכל מים. מדובר בכדור מלא באוויר בנפח גדול שצף על גבי המים, מה שגורם לכוח הדוחף - כפול אפקט המנוף - לסגור את מכסה ברז המילוי של מיכל מים כשהוא הגיע לרמה. סה"כ.

דוגמאות

דוגמא 1

האגדה מספרת כי המלך הירו נתן לצורף כמות מסוימת של זהב בכדי לייצר כתר, אך המלך חסר האמון חשב שייתכן שצורף רימה בכך שהניח מתכת פחות חשובה מזהב בתוך הכתר. אבל איך הוא יכול לדעת בלי להרוס את הכתר?

המלך הפקיד את הבעיה לארכימדס וזה, בחיפוש אחר הפיתרון, גילה את עקרונו המפורסם.

נניח שהקורונה שוקלת 2.10 ק"ג-אוויר באוויר ו -1.95 ק"ג-פי כאשר היא שקועה במים לחלוטין. במקרה זה, האם יש או הונאה?

איור 5. תרשים גוף חופשי של כתר המלך הרמון. מקור: הוכן על ידי פ. זפטה

התרשים של הכוחות מוצג באיור למעלה. כוחות אלה הם: משקל P של הכתר, דחף E והמתח T של החבל התלוי מהסולם.

זה ידוע P = 2.10 kg-f ו- T = 1.95 kg-f, נותר לקבוע את גודל דחף E :

לעומת זאת, על פי העיקרון של ארכימדס, הדחף E שווה למשקל המים העקורים מהחלל שתפוס הכתר, כלומר, צפיפות המים כפולת נפח הכתר עקב האצת הכבידה:

מהיכן ניתן לחשב את נפח הכתר:

צפיפות הכתר היא המנה בין המסה של הכתר מהמים לנפח שלה:

ניתן לקבוע את צפיפות הזהב הטהור על ידי נוהל דומה והתוצאה היא 19300 ק"ג / מ ^ 3.

בהשוואה בין שתי הצפיפות ניכר כי הכתר אינו זהב טהור!

דוגמא 2

על סמך הנתונים והתוצאה של דוגמא 1, ניתן לקבוע כמה זהב נגנב על ידי הצורף במקרה שחלק מהזהב הוחלף בכסף, שיש לו צפיפות של 10,500 ק"ג / מ ^ 3.

נקרא את צפיפות הכתר ρc, ρo צפיפות הזהב ρ _p צפיפות הכסף.

המסה הכוללת של הכתר היא:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅Vp

נפח הכתר הכולל הוא נפח הכסף בתוספת נפח הזהב:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

החלפת המשוואה למסה היא:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + ρ _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p ) Vo = (ρc - ρ _p ) V

כלומר, נפח ה- Vo הזהב המכיל את הכתר של הנפח הכולל V הוא:

Vo = V⋅ (ρc - ρ _p ) / (ρo - ρ _p ) = …

… = 0.00015 מ ^ 3 (14000 - 10500) / (19300 - 10500) = 0.00005966 מ ^ 3

כדי למצוא את המשקל בזהב שהכתר מכיל, אנו מכפילים את Vo בצפיפות הזהב:

מו = 19300 * 0.00005966 = 1.1514 ק"ג

מכיוון שמסת הכתר היא 2.10 ק"ג, אנו יודעים כי 0.94858 ק"ג זהב נגנב על ידי הצורף והוחלף בכסף.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

בלון הליום ענק מסוגל להחזיק אדם באיזון (בלי לעלות או לרדת).

נניח שמשקלו של האדם, בתוספת הסל, החבלים והבלון הוא 70 ק"ג. מה נפח ההליום הנדרש לשם כך? כמה גדול צריך להיות הבלון?

פִּתָרוֹן

נניח שהדחף מיוצר בעיקר על ידי נפח הליום וכי הדחף של שאר המרכיבים הוא קטן מאוד בהשוואה לזה של הליום שתופס נפח רב בהרבה.

במקרה זה, הוא ידרוש נפח הליום המסוגל לספק דחף של 70 ק"ג + משקל הליום.

איור 6. תרשים גוף חופשי של הבלון המלא הליום. מקור: הוכן על ידי פ. זפטה.

דחף הוא תוצר של נפח ההליום פי צפיפות ההליום ותאוצה של כוח הכבידה. הדחיפה הזו חייבת לקזז את משקל ההליום בתוספת המשקל של כל השאר.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

שממנו ניתן להסיק ש- V = M / (דה - דה)

V = 70 ק"ג / (1.25 - 0.18) ק"ג / מ ^ 3 = 65.4 מ ^ 3

כלומר, 65.4 מ '^ הליום נדרש בלחץ אטמוספרי כדי שיהיה מעלית.

אם נניח כדור כדור, נוכל למצוא את הרדיוס שלו מהקשר בין הנפח לרדיוס של כדור:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

משם R = 2.49 מ '. במילים אחרות, הוא ידרוש בלון בקוטר 5 מ 'מלא הליום.

תרגיל 2

חומרים עם צפיפות נמוכה יותר מאשר מים צפים בתוכה. נניח שיש לך קלקר (פקק לבן), עץ וקוביות קרח. הצפיפות שלהם בק"ג למ"ק הם בהתאמה: 20, 450 ו -915.

מצא איזה חלק מהנפח הכולל נמצא מחוץ למים וכמה גבוה הוא עומד מעל פני המים, לוקח 1000 קילוגרם למטר מעוקב כצפיפות האחרונה.

פִּתָרוֹן

ציפה מתרחשת כאשר משקל הגוף שווה לדחף הנובע מהמים:

E = M⋅g

איור 7. תרשים גוף חופשי של אובייקט שקוע בחלקו. מקור: הוכן על ידי פ. זפטה.

משקל הוא הצפיפות של הגוף Dc כפול בנפח V ועל ידי האצת הכובד g.

הדחף הוא משקל הנוזל העקור על פי עיקרון ארכימדס ומחושב על ידי הכפלת צפיפות D של המים בנפח V שקוע על ידי האצת כוח הכבידה.

זה:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

מה שאומר ששבר הנפח השקוע שווה למכסה שבין צפיפות הגוף לצפיפות המים.

כלומר, שבריר הנפח הבולט (V '' / V) הוא

אם h גובה התלייה ו- L הצד של הקוביה, ניתן לכתוב את חלק הנפח כ

אז התוצאות עבור החומרים שהוזמנו הן:

קלקר (פקק לבן):

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98% מהמים

עץ:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55% מהמים

קרח:

(h / L) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8.5% מהמים

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 417-455.
2. Cengel Y, Cimbala J. 2011. מכניקת נוזלים. יסודות ויישומים. מהדורה ראשונה. מקגרו היל.
3. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. נפח 4. נוזלים ותרמודינמיקה. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB). 1 - 42.
4. Giles, R. 2010. מכניקת נוזלים והידראוליקה. מקגרו היל.
5. Rex, A. 2011. יסודות הפיזיקה. פירסון. 239-263.
6. Tippens, P. 2011. פיזיקה: מושגים ויישומים. מהדורה 7. מקגרו היל.