פירמידה משושה: הגדרה, מאפיינים ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

פירמידת משושה היא פאון נוצר על ידי משושה, המהווה את הבסיס, ושש המשולשים שמתחילות מן הקודקודים של המשושה נפגש בנקודה מחוץ למטוס המכיל את הבסיס. נקודה זו של מקביליות מכונה קודקוד הפירמידה או קצהו.

פוליהדרון הוא גוף גיאומטרי תלת ממדי סגור שפניו הן דמויות מישוריות. משושה הוא דמות מישור סגור (מצולע) המורכבת משש צדדים. אם כל ששת הצדדים הם באורך זהה ויוצרים זוויות שוות, נאמר שהוא רגיל; אחרת זה לא סדיר.

הַגדָרָה

פירמידה משושה מכילה שבעה פרצופים, הבסיס וששת המשולשים הרוחביים, שהבסיס הוא היחיד שאינו נוגע בקודקוד.

הפירמידה אמורה להיות ישרה אם כל המשולשים הרוחביים הם ישר. במקרה זה, גובה הפירמידה הוא הקטע שעובר מהקודקוד למרכז המשושה.

באופן כללי, גובה הפירמידה הוא המרחק בין קודקוד ומישור הבסיס. הפירמידה אמורה להיות אלכסונית, אם לא כל המשולשים הרוחביים הם ישר.

אם המשושה רגילה וגם הפירמידה ישר, אומרים שהיא פירמידה משושה רגילה. באופן דומה, אם המשושה אינה סדירה או שהפירמידה אלכסונית, אומרים שהיא פירמידה משושה לא סדירה.

מאפיינים

קעור או קמור

מצולע הוא קמור אם המידה של כל זוויות הפנים היא פחות מ- 180 מעלות. מבחינה גיאומטרית, הדבר שווה לאמירה כי בהינתן צמד נקודות בתוך המצולע, קטע הקו המצטרף אליהם נמצא במצולע. אחרת אומרים שהמצולע הוא קעור.

אם המשושה קמור, נאמר כי הפירמידה היא פירמידה משושה קמורה. אחרת, יאמר שהיא פירמידה משושה קעורה.

קצוות

שולי הפירמידה הם צידי ששת המשולשים המרכיבים אותה.

אפותם

הכותרת של הפירמידה היא המרחק בין קודקוד הצדדים של בסיס הפירמידה. הגדרה זו הגיונית רק כאשר הפירמידה רגילה, מכיוון שאם היא אינה סדירה, המרחק הזה משתנה בהתאם למשולש הנחשב.

לעומת זאת, בפירמידות רגילות האותם יתאים לגובה של כל משולש (מכיוון שכל אחת מהן היא שדיים) וזה יהיה זהה בכל המשולשים.

המפתח של הבסיס הוא המרחק בין אחד מצדי הבסיס למרכזו. מהאופן בו היא מוגדרת, גם לאותם של הבסיס הגיוני רק בפירמידות רגילות.

ציוצים

גובה הפירמידה המשושה יצוין על ידי h , כריתת הבסיס (במקרה הרגיל) על ידי APb ותיאום הפירמידה (גם במקרה הרגיל) על ידי AP .

מאפיין של פירמידות משושים רגילות הוא ש- h , APb ו- AP יוצרים משולש ימני עם AP היפוטוזה ורגליים h ו- APb . לפי משפט פיתגורס יש לנו AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

התמונה למעלה מייצגת פירמידה רגילה.

כיצד לחשב את השטח? נוסחאות

קחו למשל פירמידה משושה רגילה. תן A להיות המדד של כל צד של המשושה. ואז A תואם את מידת הבסיס של כל משולש בפירמידה, ולכן לקצוות הבסיס.

שטח המצולע הוא תוצר ההיקף (סכום הצדדים) ואבן הבסיס המחולקת על ידי שניים. במקרה של משושה זה יהיה 3 * A * APb.

ניתן לראות כי שטח הפירמידה המשושה הרגיל שווה פי שישה משטח כל משולש של הפירמידה בתוספת שטח הבסיס. כאמור, גובהו של כל משולש תואם את התיאום של הפירמידה, AP.

לכן השטח של כל משולש בפירמידה ניתן על ידי A * AP / 2. לפיכך, שטח הפירמידה המשושה הרגילה הוא 3 * A * (APb + AP), כאשר A הוא שולי הבסיס, APb הוא אפוטם של הבסיס ו- AP הכינוי של הפירמידה.

חישוב בפירמידות משושה לא סדירות

במקרה של פירמידה משושה לא סדירה אין נוסחה ישירה לחישוב השטח כמו במקרה הקודם. הסיבה לכך היא שלכל משולש בפירמידה יהיה אזור אחר.

במקרה זה, יש לחשב את שטח כל משולש בנפרד ואת שטח הבסיס. אז שטח הפירמידה יהיה הסכום של כל השטחים שחושבו בעבר.

כיצד לחשב את עוצמת הקול? נוסחאות

נפח הפירמידה בעל צורה משושה רגילה הוא תוצר גובה הפירמידה ושטח הבסיס מחולק בשלושה. לפיכך, הנפח של פירמידה משושה רגילה ניתן על ידי A * APb * h, כאשר A הוא שולי הבסיס, APb הוא אפוטם של הבסיס ו- h הוא גובה הפירמידה.

חישוב בפירמידות משושה לא סדירות

באופן אנלוגי לאזור, במקרה של פירמידה משושה לא סדירה אין נוסחה ישירה לחישוב הנפח שכן בקצות הבסיס אין אותה מדידה מכיוון שמדובר במצולע לא סדיר.

במקרה זה, יש לחשב את שטח הבסיס בנפרד והנפח יהיה (h * שטח הבסיס) / 3.

דוגמא

מצא את השטח והנפח של פירמידה משושה רגילה בגובה של 3 ס"מ, שבסיסה משושה רגיל של 2 ס"מ מכל צד ואופן הבסיס הוא 4 ס"מ.

פִּתָרוֹן

ראשית, יש לחשב את הכינוי של הפירמידה (AP) שהוא הנתונים היחידים החסרים. בהתבוננות בתמונה שלמעלה ניתן לראות כי גובה הפירמידה (3 ס"מ) ואבן הבסיס (4 ס"מ) יוצרים משולש ימני; לפיכך, כדי לחשב את התיאום של הפירמידה משתמשים במשפט פיתגורס:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

לפיכך, באמצעות הנוסחה שנכתבה לעיל יוצא כי השטח שווה ל- 3 * 2 * (4 + 5) = 54 ס"מ ^ 2.

לעומת זאת, בעזרת נוסחת הנפח מתקבל כי נפח הפירמידה הנתונה הוא 2 * 4 * 3 = 24 ס"מ ^ 3.

הפניות

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). מתמטיקה: גישה לפיתרון בעיות עבור מורים לחינוך יסודי. עורכי לופז מטוס.
2. פרגוסו, רס, וקררה, ס.א. (2005). מתמטיקה 3. פרוגרסו עריכה.
3. גלרדו, ג 'ופילאר, ראש הממשלה (2005). מתמטיקה 6. פרוגרסו עריכה.
4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, MP (2005). קורס מתמטיקה שלישי. פרוגרסו עריכה.
5. Kinsey, L., & מור, TE (2006). סימטריה, צורה ומרחב: מבוא למתמטיקה באמצעות גיאומטריה (מאויר, מהדורה מחודשת). ספרינגר מדע ומדיה עסקית.
6. מיטשל, סי (1999). עיצובים קויים מסנוורים מסנוורים (מאוייר מאויר). Scholastic בע"מ
7. ר ', חבר פרלמנט (2005). אני מציירת 6. פרוגרסו עריכה.