אורתודרון: נוסחאות, שטח, נפח, אלכסון, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

Orthohedron היא נפחית או צורה גיאומטרית תלת ממדית אשר מאופיינת על ידי בעל שש פאות מלבניות, כך הנגדי נמצאות מישורים מקבילים והם מלבנים זהים או חופפים. מצד שני, הפנים הצמודות לפנים נתונות נמצאות במישורים הניצבים לזו של הפנים הראשוניות.

האורתודרון יכול להיחשב גם כפריזמה אורתוגונאלית עם בסיס מלבני, בו זוויות הסוהר הנוצרות על ידי מישורים של שני פנים צמודים לקצה משותף נמדדות 90 מעלות. זווית הסף בין שני פנים נמדדת בצומת הפנים עם מישור מאונך המשותף להן.

תרשים 1. אורתודדרון. מקור: F. Zapata עם Geogebra.

באופן דומה, האורתודרון הוא מלבן מקביל לצוואר, מכיוון שכך מוגדר מקביל המקביל כדמות הנפחית של שש פנים, המקבילות שתיים על שתיים.

בכל צינור מקבילי הפנים הם מקבילים, אך בחלקם המוחבני המוחבני על הפנים להיות מלבניות.

חלקים מהאורתודרון

חלקי הפוליהדרון, כמו האורתודרון, הם:

אריאס

-תודות

שטחים

הזווית בין שני קצוות הפנים של האורתודרון עולה בקנה אחד עם הזווית הסוהדית הנוצרת על ידי שני הפנים האחרים הסמוכים לכל אחד מהקצוות ויוצרים זווית ישרה. התמונה הבאה מבהירה כל מושג:

איור 2. איור 2. חלקים מאורתודרון. מקור: F. Zapata עם Geogebra.

בסך הכל יש לאורתודרון 6 פנים, 12 קצוות ו -8 קודקודים.

-הזווית בין שני קצוות היא זווית ישרה.

-זווית הזווית בין שני פנים היא גם כן.

-בכל פנים יש ארבע קודקודים ובכל קודקוד שלושה פרצופים אורטוגונליים הדדית.

נוסחאות אורתודרון

אֵזוֹר

פני השטח או האזור של אורתודרון הם סכום שטחי הפנים.

אם לשלושת הקצוות הנפגשים בקודקוד יש מידות a, b ו- c, כפי שמוצג באיור 3, אז לפנים הקדמיות שטח c⋅b ולפנים התחתונה יש גם שטח cb.

ואז לשני הפנים הרוחביים שטח A⋅b כל אחד. ולבסוף, לרצפה ולתקרה יש שטח פנים כל אחד.

איור 3. תרשים אורתודדרון בממדים a, b, c. אלכסון פנימי D ואלכסוני חיצוני ד.

הוספת שטח הפנים כוללת:

לקחת גורם משותף ולהזמין את התנאים:

כרך

אם מחשבים את האורתודרון כפריזמה, נפחו מחושב כך:

במקרה זה, רצפת הממדים c ו- a נראית כבסיס מלבני, כך ששטח הבסיס הוא c⋅a.

הגובה ניתן על ידי אורך b של הקצוות האורטוגונליים לפנים של הצדדים a ו- c.

הכפלת שטח הבסיס (a⋅c) בגובה b נותנת את הנפח V של האורתודרון:

אלכסון פנימי

באורתודרון ישנם שני סוגים של אלכסונים: האלכסונים החיצוניים והאלכסונים הפנימיים.

האלכסונים החיצוניים נמצאים על הפנים המלבניות, ואילו האלכסונים הפנימיים הם הקטעים המצטרפים לשני קודקודים מנוגדים, כאשר הם מבינים על ידי קודקודים מנוגדים אלו שאינם חולקים אף קצה.

באורתודרון ישנם ארבעה אלכסונים פנימיים, כולם במידה שווה. ניתן להשיג את אורך האלכסונים הפנימיים על ידי החלת משפט פיתגורס על משולשים ימניים.

אורך האלכסון החיצוני של פני הרצפה של האורתודרון ממלא את הקשר הפיתגורס:

d ² = a ² + c ²

באופן דומה, האלכסון הפנימי של מידה D ממלא את מערכת הפיתגורס:

D ² = d ² + b ² .

שילוב של שני הביטויים הקודמים שיש לנו:

D ² = a ² + c ² + b ² .

לבסוף, אורכו של אחד מהאלכסונים הפנימיים של האורתודרון ניתן על ידי הנוסחה הבאה:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

דוגמאות

- דוגמה 1

לבנה בונה טנק בצורת אורתודרון שממדיו הפנימיים הם: 6 מ"ר 4 מ 'בבסיס ו -2 מ' גובה. זה שואל:

א) קבע את המשטח הפנימי של המכל אם הוא פתוח לחלוטין בחלקו העליון.

ב) חשב את נפח החלל הפנימי של המיכל.

ג) מצא את אורך האלכסון הפנימי.

ד) מה קיבולת המיכל בליטר?

פתרון ל

ניקח את הממדים של הבסיס המלבני a = 4 מ 'ו c = 6 מ' והגובה כ- b = 2 מ '

האזור של אורתודרון עם הממדים הנתונים ניתן על ידי הקשר הבא:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

זאת אומרת:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

התוצאה הקודמת היא שטח האורתודרון הסגור במידות הנתונות, אך מכיוון שמדובר במיכל שנחשף לחלוטין בחלקו העליון, כדי להשיג את פני השטח של הקירות הפנימיים של המכל, יש לחסר את שטח המכסה החסר, שהוא:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

לבסוף, המשטח הפנימי של המכל יהיה: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

פיתרון ב

הנפח הפנימי של המכל ניתן על ידי נפח האורתודרון הממדים הפנימיים של המכל:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

פיתרון ג

האלכסון הפנימי של אוקטהדרון במידות פנים המכל אורך D הניתן על ידי:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 מ ') ² + (2 מ') ² + (6 מ ') ² )

ביצוע הפעולות שצוינו:

D = √ (16 מ ² + 4 מ ² + 36 מ ² ) = √ (56 מ ² ) = ² √ (14) מ = 7.48 מ.

פיתרון ד

כדי לחשב את נפח המיכל בליטרים, יש לדעת כי נפח צנטר מעוקב שווה לקיבולת של ליטר. הוא חושב בעבר בנפח במטר מעוקב, אך צריך להפוך אותו לדצימטר מעוקב ואז לליטר:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4,800 dm ³ = 4,800 L

- תרגיל 2

לאקווריום זכוכית יש צורה מעוקבת עם צד 25 ס"מ. קבעו את השטח ב- m ² , את הנפח בליטר, ואת אורך האלכסון הפנימי בס”מ.

איור 4. אקווריום זכוכית בצורת מעוקב.

פִּתָרוֹן

השטח מחושב באמצעות אותה נוסחה אורתודרון, אך תוך התחשבות בכך שכל הממדים זהים:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 ס"מ) ² = 1,250 ס"מ ²

נפח הקוביה ניתן על ידי:

V = a ³ = (25 ס"מ) ³ = 15.625 ס"מ ³ = 15.625 (0.1 dm) ³ = 15.625 dm ³ = 15.625 L.

אורך D של האלכסון הפנימי הוא:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) ס"מ = 43.30 ס"מ.

הפניות

1. אריאס ג'יי ג'ברה: פריזמה. התאושש מ-: youtube.com.
2. חישוב.cc. תרגילים ופתרו בעיות של אזורים ונפחים. התאושש מ: calculo.cc.
3. פירמידה של סלבדור ר '+ אורתודרון עם GEOGEBRA (IHM). התאושש מ-: youtube.com
4. ויסשטיין, אריק. "אורתודרון". MathWorld. מחקר וולפרם.
5. ויקיפדיה. אורתודרון התאושש מ: es.wikipedia.com