גלים חד ממדיים: ביטוי מתמטי ודוגמאות - גוּפָנִי - 2025

הדפסה חד-צדדי גליים ממדי הם אלה הפיצו כי בכיוון אחד בלבד, ללא קשר לשאלה האם הרטט מתרחש באותו הכיוון של התפשטות או לא. דוגמה טובה לכך היא הגל העובר במיתר מתוח כמו זה של גיטרה.

בגל מישור רוחבי, החלקיקים רוטטים בכיוון אנכי (הם עולים ויורדים, ראו את החץ האדום באיור 1), אך הוא חד ממדי מכיוון שההפרעה נעה בכיוון אחד בלבד, בעקבות החץ הצהוב.

איור 1: התמונה מייצגת גל חד ממדי. שימו לב שהרכסים והעמקים יוצרים קווים מקבילים זה לזה ובאופיים לכיוון ההתפשטות. מקור: תוצרת עצמית.

גלים חד ממדיים מופיעים לעתים קרובות למדי בחיי היומיום. בסעיף הבא מתוארות כמה דוגמאות שלהם וגם של גלים שאינם חד-ממדיים, בכדי לברר בבירור את ההבדלים.

דוגמאות לגלים חד מימדיים ולגלים לא ממדיים

גלים חד מימדיים

להלן כמה דוגמאות לגלים חד ממדיים שניתן לצפות בקלות:

- דופק קול העובר דרך מוט ישר, מכיוון שמדובר בהפרעה המתפשטת לאורך כל המוט.

- גל העובר דרך תעלת מים, גם כאשר העקירה של פני המים אינה מקבילה לתעלה.

- גלים שמתפשטים על משטח או דרך חלל תלת ממדי יכולים גם הם להיות חד מימדיים, כל עוד חזיתות הגל שלהם הן מישורים המקבילים זה לזה ונוסעים בכיוון אחד בלבד.

גלים לא-ממדיים

דוגמא לגל לא חד ממדי נמצא בגלים הנוצרים על פני מים דוממים כשמפילים אבן. זהו גל דו ממדי עם חזית גל גלילית.

איור 2. התמונה מייצגת דוגמא למה גל חד ממדי אינו. שימו לב שהפסגות והעמקים יוצרים מעגלים וכיוון ההתפשטות הוא רדיאלי כלפי חוץ, זה אז גל דו ממדי עגול. מקור: Pixabay.

דוגמא נוספת לגל שאינו ממדי הוא גל הקול שמפיק חזיז על ידי התפוצצות בגובה מסוים. זהו גל תלת ממדי עם חזיתות גל כדוריות.

ביטוי מתמטי של גל חד ממדי

הדרך הכללית ביותר לבטא גל חד ממדי שמתפשט ללא הנחתה בכיוון החיובי של ציר ה- x עם מהירות v היא, מתמטית:

בביטוי זה y מייצג את ההפרעה במצב x בזמן t. צורת הגל ניתנת על ידי הפונקציה f. לדוגמה, פונקציית הגל המוצגת באיור 1 היא: y (x, t) = cos (x - vt) ותמונת הגל תואמת את המיידי t = 0.

גל כזה, המתואר על ידי פונקציית קוסינוס או סינוס, נקרא גל הרמוני. למרות שהיא אינה צורת הגל היחידה שקיימת, יש לה חשיבות עליונה מכיוון שניתן לייצג כל גל אחר כסופרפוזיציה או סכום של גלים הרמוניים. זהו משפט פורייה הידוע, המשמש כל כך נרחב לתיאור איתותים מכל הסוגים.

כאשר הגל נע בכיוון השלילי של ציר ה- x, פשוט שנה v ל- -v בטיעון, ומשאיר:

איור 3 מציג את האנימציה של גל הנוסע שמאלה: זו צורה הנקראת הפונקציה הלורצינית והביטוי המתמטי שלה הוא:

בדוגמה זו מהירות ההתפשטות היא v = 1, יחידת שטח לכל יחידת זמן-.

איור 3. דוגמה לגל לורנטזי הנוסע שמאלה במהירות v = 1. מקור: הוכן על ידי פ. זפטה עם Geogebra.

משוואת גל חד מימדית

משוואת הגלים היא משוואת נגזרת חלקית, שהפתרון שלה הוא כמובן גל. זה קובע את הקשר המתמטי בין החלק המרחבי לחלק הזמני בו, ויש לו את הצורה:

דוגמה מעובדת

להלן הביטוי הכללי y (x, t) לגל הרמוני:

א) תאר את המשמעות הפיזית של הפרמטרים A, k, ω ו- θo.

ב) איזו משמעות יש לסימני ± בטיעון הקוסינוס?

ג) ודא שהביטוי הנתון הוא אכן הפיתרון של משוואת הגל של החלק הקודם ומצא את המהירות v של ההתפשטות.

פתרון ל)

מאפייני הגל נמצאים בפרמטרים הבאים:

נגזרת שנייה ביחס ל t: ∂ ² ו / ∂t ² = -ω ² . A ⋅ cos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

תוצאות אלה מוחלפות למשוואת הגלים:

גם א וגם הקוסינוס מפושטים, מכיוון שהם מופיעים משני צידי השוויון והוויכוח של הקוסינוס זהה, לכן הביטוי מצמצם ל:

המאפשר להשיג משוואה עבור v במונחים של ω ו- k:

הפניות

1. חינוך אלקטרוני. משוואה של גלים הרמוניים חד מימדיים. התאושש מ: e-ducativa.catedu.es
2. פינת הפיזיקה. שיעורי גל. התאושש מ: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. גלים ופיזיקה קוונטית. סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. נערך על ידי דאגלס פיגארואה. אוניברסיטת סיימון בוליבר. קראקס, ונצואלה.
4. מעבדת פיזיקה. תנועת גלים. התאושש מ: fisicalab.com.
5. Peirce, A. הרצאה 21: משוואת הגל החד מימדית: הפיתרון של ד'אלמבר. התאושש מ: ubc.ca.
6. משוואת גלים. התאושש מ: en.wikipedia.com