זוויות משלימות: מה הן, חישוב, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

שתיים או יותר הינן זוויות משלימות אם סכום המידות שלהם תואם את מידת הזווית הישר. המידה של זווית ישרה, המכונה גם זווית מישורית, במעלות היא 180 מעלות וברדיאנים היא π.

לדוגמה, אנו מגלים כי שלוש הזוויות הפנימיות של משולש הן משלימות, מכיוון שסכום המידות שלהן הוא 180 מעלות. שלוש זוויות מוצגות באיור 1. מהאמור לעיל עולה כי α ו- ß הם משלימים, מכיוון שהם סמוכים והסכום שלהם משלים זווית ישרה.

איור 1: α ו- ß הם משלימים. α ו- γ הם משלימים. מקור: פ. זפטה.

כמו כן באותה דמות, יש לנו את הזוויות α ו- γ שגם הן משלימות, מכיוון שסכום המידות שלהם שווה למדד של זווית מישור, כלומר 180º. לא ניתן לומר שהזוויות β ו- γ הן משלימות מכיוון שכיוון ששתי הזוויות מעורפלות, המדדים שלהם גדולים מ- 90 מעלות ולכן הסכום שלהם עולה על 180 מעלות.

מקור: lifeder.com

במקום זאת ניתן לקבוע כי מידת הזווית β שווה למדידת הזווית γ, מכיוון שאם ß משלים ל α ו- γ משלים ל α, אז β = γ = 135º.

דוגמאות

בדוגמאות הבאות, הוא מתבקש למצוא את הזוויות הלא ידועות, המסומנות בסימני שאלה באיור 2. הן נעות בין הדוגמאות הפשוטות ביותר לכמה שקצת יותר מורחבות שהקורא צריך להיות זהיר יותר.

איור 2. מספר דוגמאות מעובדות לזוויות משלימות. מקור: פ. זפטה.

דוגמא א

באיור יש לנו שהזוויות הסמוכות α ו- 35º מסתכמות בזווית מישורית. כלומר, α + 35º = 180º ולכן זה נכון: α = 180º- 35º = 145º.

דוגמא ב

מכיוון ש- ß משלים עם הזווית של 50 מעלות, מכאן ש- β = 180º - 50º = 130º.

דוגמא ג

מתוך איור 2C ניתן לראות את הסכום הבא: γ + 90º + 15º = 180º. כלומר, γ משלים עם הזווית 105º = 90º + 15º. מסקנת אם כן כי:

γ = 180º- 105º = 75º

דוגמא ד

מכיוון ש- X משלים ל 72 מעלות, יוצא ש- X = 180º - 72º = 108º. יתר על כן Y הוא משלים עם X, כך Y = 180º - 108º = 72º.

ולבסוף Z הוא משלים עם 72 מעלות, לכן Z = 180º - 72º = 108º.

דוגמא ה

הזוויות δ ו- 2δ משלימות, ולכן δ + 2δ = 180º. מה שאומר ש- 3δ = 180º, וזה בתורו מאפשר לנו לכתוב: δ = 180º / 3 = 60º.

דוגמא ו

אם נקרא לזווית שבין 100º ל- 50º U, אז U משלימה לשניהם, מכיוון שנצפה כי הסכום שלהם משלים זווית מישורית.

יוצא מיד כי U = 150 מעלות. מכיוון ש- U הפוכה בקצה הקודם ל- W, אז W = U = 150 מעלות.

תרגילים

להלן מוצעים שלושה תרגילים, בכולם יש למצוא את הערך של זוויות A ו- B בתארים, כך שהקשרים המוצגים באיור 3. מתקיימים מושג זוויות משלימות בפתרון כולם.

איור 3. איור לפיתרון תרגילים I, II ו- III על זוויות משלימות. כל הזוויות במעלות. מקור: פ. זפטה.

- תרגיל אני

קבע את הערכים של הזוויות A ו- B מחלק I) באיור 3.

פִּתָרוֹן

A ו- B הם משלימים, מהם A + B = 180 מעלות, ואז הביטוי של A ו- B מוחלף כפונקציה של x, כפי שהוא מופיע בתמונה:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

מתקבלת משוואה לינארית מסדר ראשון. כדי לפתור זאת התנאים מקובצים להלן:

6 x + 60 = 180

חלוקת שני החברים ב- 6 יש לנו:

x + 10 = 30

ולבסוף פיתרון, יוצא ש- x שווה 20º.

כעת עלינו לחבר את הערך x כדי למצוא את הזוויות המבוקשות. מכאן שהזווית A היא: A = 20 +15 = 35º.

ומצידו, זווית B היא B = 5 * 20 + 45 = 145 מעלות.

- תרגיל II

מצא את הערכים של הזוויות A ו- B מחלק II) באיור 3.

פִּתָרוֹן

מכיוון ש- A ו- B הם זוויות משלימות, יש לנו כי A + B = 180 מעלות. להחליף את הביטוי עבור A ו- B כפונקציה של x שניתנה בחלק II) של איור 3, יש לנו:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

שוב מתקבלת משוואה מדרגה ראשונה, שעבורה יש לקבץ את המונחים בנוחות:

6 x + 60 = 180

חלוקת שני החברים ב- 6 יש לנו:

x + 10 = 30

ממנו יוצא ש- x שווה 20º.

במילים אחרות, הזווית A = -2 * 20 + 90 = 50º. ואילו זווית B = 8 * 20 - 30 = 130 מעלות.

- תרגיל III

קבע את ערכי הזוויות A ו- B מחלק III) באיור 3 (בירוק).

פִּתָרוֹן

מכיוון ש- A ו- B הם זוויות משלימות, יש לנו כי A + B = 180 מעלות. עלינו להחליף את הביטוי ל- A ו- B כפונקציה של x הנתון באיור 3, ממנו יש לנו:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

לחלק את שני החברים ב 12 כדי לפתור את הערך של x, יש לנו:

x + 5 = 15

לבסוף נמצא ש- x שווה 10 מעלות.

כעת אנו ממשיכים להחליף למצוא את הזווית A: A = 5 * 10 -20 = 30º. ולגבי זווית B: B = 7 * 10 + 80 = 150 מעלות

זוויות משלימות בשתי הקבלות שנחתכו על ידי סנט

איור 4. זוויות בין שתי מקבילות שנחתכו על ידי סמל. מקור: פ. זפטה.

שני קווים מקבילים שנחתכים על ידי סנסנט הוא קונסטרוקציה גיאומטרית נפוצה בכמה בעיות. בין קווים כאלה נוצרים 8 זוויות כמוצג באיור 4.

מבין 8 הזוויות הללו, כמה זוגות של זוויות הם משלימים, אותם אנו מפרטים להלן:

1. הזוויות החיצוניות A ו- B, והזוויות החיצוניות G ו- H
2. זוויות הפנים D ו- C, וזוויות הפנים E ו- F
3. הזוויות החיצוניות A ו- G, והזוויות החיצוניות B ו- H
4. זוויות הפנים D ו- E, והפנים C ו- F

לצורך השלמות נקראות גם הזוויות השוות זו לזו:

1. החלופות הפנימיות: D = F ו- C = E
2. החלופות החיצוניות: A = H ו- B = G
3. המתאימים: A = E ו- C = H
4. הניגודים בקודקוד A = C ו- E = H
5. המתאימים: B = F ו- D = G
6. קודקודים מנוגדים B = D ו- F = G

- תרגיל IV

בהתייחס לתרשים 4, המציג את הזוויות בין שני קווים מקבילים שנחתכו על ידי סנסנט, קובע את הערך של כל הזוויות ברדיאנים, בידיעה שהזווית A = π / 6 רדיאנים.

פִּתָרוֹן

A ו- B הם זוויות חיצוניות משלימות כך B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

הפניות

1. Baldor, JA 1973. מטוס וגיאומטריה בחלל. תרבות מרכז אמריקה.
2. חוקים ונוסחאות מתמטיים. מערכות מדידת זווית. התאושש מ: ingemecanica.com.
3. וונטוורת ', ג. גיאומטריה של מטוס. התאושש מ: gutenberg.org.
4. ויקיפדיה. זוויות משלימות. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. מַסוֹעַ. התאושש מ: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: היסטוריה, חלקים, פעולה. התאושש מ: lifeder.com