זוויות משלימות: אילו וכיצד מחשבים אותם, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

שתי זוויות או יותר הינן זוויות משלימות אם סכום המידות שלהם תואם לזה של זווית ישרה. כידוע, מידת הזווית הישרה במעלות היא 90 מעלות, וברדיאנים הוא π / 2.

לדוגמה, שתי הזוויות הסמוכות לתחתית המשולש הימני משלימות זו את זו, מכיוון שסכום המידות שלהן הוא 90 מעלות. הדמות הבאה ממחישה מאוד בהקשר זה:

איור 1. משמאל, כמה זוויות עם קודקוד משותף. מימין, זווית של 60 מעלות המשלימה את הזווית α (אלפא). מקור: פ. זפטה.

בסך הכל ארבע זוויות מוצגות באיור 1. α ו- β משלימים מכיוון שהם סמוכים והסכום שלהם משלים זווית ישרה. באופן דומה β משלים ל- γ, שממנו יוצא ש- γ ו- α הם במידה שווה.

כעת, מכיוון שסכום α ו- δ שווה ל 90 מעלות, ניתן לומר כי α ו- δ משלימים. יתר על כן, מכיוון של- β ו- δ יש את אותה α משלימה, ניתן לומר ש- β ו- δ הם בעלי אותה מידה.

דוגמאות לזוויות משלימות

הדוגמאות הבאות מבקשות למצוא את הזוויות הלא ידועות, המסומנות בסימני שאלה באיור 2.

איור 2. דוגמאות שונות לזוויות משלימות. מקור: פ. זפטה.

- דוגמאות A, B ו- C

הדוגמאות הבאות הן לפי סדר המורכבות.

דוגמא א

באיור שלמעלה יש לנו כי הזוויות הסמוכות α ו- 40º מסתכמות בזווית ישרה. כלומר, α + 40º = 90º, ולכן α = 90º- 40º = 50º.

דוגמא ב

מכיוון ש- ß משלים לזווית של 35 מעלות, אז β = 90º - 35º = 55º.

דוגמא ג

מאיור 2C יש לנו כי הסכום של γ + 15º + 15º = 90º. במילים אחרות, γ משלים לזווית 30º = 15º + 15º. אז זה:

γ = 90º- 30º = 60º

- דוגמאות D, E ו- F

בדוגמאות אלה יש יותר זוויות שמעורבות. כדי למצוא את הלא נודע, על הקורא ליישם את מושג הזווית המשלימה פעמים רבות ככל שיידרש.

דוגמא ד

מכיוון ש- X משלים ל 72 מעלות, יוצא ש- X = 90º - 72º = 18º. יתר על כן Y משלים ל- X, כך Y = 90º - 18º = 72º.

לבסוף Z משלים עם י. מכל האמור לעיל יוצא כי:

Z = 90º - 72º = 18º

דוגמא ה

הזוויות δ ו- 2δ משלימות, ולכן δ + 2δ = 90º.

כלומר, 3δ = 90º, מה שמרמז ש δ = 90º / 3 = 30º.

דוגמא ו

אם נקרא את הזווית בין que ל- 10º U, אז U הוא משלים לשניהם, מכיוון שנצפה כי הסכום שלהם משלים זווית ישרה. ממנו יוצא U = 80º. מכיוון ש- U משלים ל ω, אז ω = 10º.

תרגילים

להלן שלושה תרגילים. בכולם יש למצוא את הערך של הזוויות A ו- B במעלות, כך שיתקיימו היחסים המוצגים באיור 3.

איור 3. איורים לתרגילי זווית משלימים. מקור: פ. זפטה.

- תרגיל 1

קבע את הערכים של הזוויות A ו- B מחלק I) באיור 3.

פִּתָרוֹן

מהדמות המוצגת ניתן לראות כי A ו- B הם משלימים, ולכן A + B = 90º. אנו מחליפים את הביטוי ל- A ו- B כפונקציה של x הניתנת בחלק I):

(x / 2 + 7) + (2x + 15) = 90

לאחר מכן מקובצים את המונחים באופן מתאים ומתקבלת משוואה לינארית פשוטה:

(5x / 2) + 22 = 90

הפחתת 22 בשני החברים שיש לנו:

5x / 2 = 90 -22 = 68

ולבסוף הערך של x מנוקה:

x = 2 * 68/5 = 136/5

כעת נמצא את הזווית A על ידי החלפת הערך של X:

A = (136/5) / 2 +7 = 103/5 = 20.6 º.

בעוד שזווית B היא:

B = 2 * 136/5 + 15 = 347/5 = 69.4 מעלות.

- תרגיל 2

מצא את הערכים של הזוויות A ו- B של תמונה II, איור 3.

פִּתָרוֹן

שוב, מכיוון שה- A ו- B הם זוויות משלימות, יוצא כי: A + B = 90º. להחליף את הביטוי עבור A ו- B כפונקציה של x שניתנה בחלק II) של איור 3, יש לנו:

(2x - 10) + (4x +40) = 90

כמו שמונחים מקובצים זה לזה כדי להשיג את המשוואה:

6 x + 30 = 90

חלוקת שני החברים ב- 6 תקבלו:

x + 5 = 15

ממנו יוצא ש- x = 10º.

לכן:

A = 2 * 10 - 10 = 10º

B = 4 * 10 + 40 = 80 מעלות.

- תרגיל 3

קבע את ערכי הזוויות A ו- B מחלק III) באיור 3.

פִּתָרוֹן

שוב הנתון מנותח בקפידה כדי למצוא את הזוויות המשלימות. במקרה זה יש לנו כי A + B = 90 מעלות. להחליף את הביטוי עבור A ו- B כפונקציה של x הנתון באיור, יש לנו:

(-x +45) + (4x -15) = 90

3 x + 30 = 90

חלוקת שני החברים ב- 3 תוצאות כדלקמן:

x + 10 = 30

ממנו יוצא ש- x = 20º.

במילים אחרות, הזווית A = -20 +45 = 25º. ומצידו: B = 4 * 20 -15 = 65 מעלות.

זוויות צדדיות בניצב

אומרים ששתי זוויות הן בעלות צדדים בניצב אם לכל צד יש ניצב תואם מצד שני. הדמות הבאה מבהירה את המושג:

איור 4. זוויות צדדים בניצב. מקור: פ. זפטה.

באיור 4 ניתן לראות למשל את הזוויות α ו- θ. עכשיו שימו לב שלכל זווית יש את הניצב המקביל בזווית השנייה.

נראה גם כי ל- α ו- the יש את אותה זווית משלימה z, ולכן הצופה מסיק מיד כי α ו- θ הם בעלי אותה מידה. נראה אז שאם לשתי זוויות יש צדדים בניצב זה לזה, הם שווים, אבל בואו נסתכל על מקרה אחר.

שקול עכשיו את הזוויות α ו- ω. לשתי זוויות אלה יש גם צדדים בניצב תואמים, אולם אי אפשר לומר שהם בעלי מידה שווה, שכן האחד חריף והשני סתום.

שימו לב ש- ω + θ = 180 מעלות. יתר על כן θ = α. אם תחליף ביטוי זה ל- z במשוואה הראשונה תקבל:

δ + α = 180º, כאשר δ ו- α הם זוויות צדדיות בניצב.

כלל כללי לזוויות הצדדים הניצב

1. Baldor, JA 1973. מטוס וגיאומטריה בחלל. תרבות מרכז אמריקה.
2. חוקים ונוסחאות מתמטיים. מערכות מדידת זווית. התאושש מ: ingemecanica.com.
3. וונטוורת ', ג. גיאומטריה של מטוס. התאושש מ: gutenberg.org.
4. ויקיפדיה. זוויות משלימות. התאושש מ: es.wikipedia.com
5. ויקיפדיה. מַסוֹעַ. התאושש מ: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: היסטוריה, חלקים, פעולה. התאושש מ: lifeder.com