זווית אפלה: הגדרה ומאפיינים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

זווית null הוא אחד המדדים אשר הוא 0, הן מעלות ברדיאנים או מערכת אחרת של מדידת זווית. לכן חסר רוחב או פתיחה, כמו זה שנוצר בין שני קווים מקבילים.

למרות שהגדרתו נשמעת די פשוטה, זווית האפס מועילה מאוד ביישומים רבים בתחום הפיזיקה וההנדסה, כמו גם בניווט ועיצוב.

איור 1. בין המהירות לתאוצה של המכונית יש זווית אפס, ולכן המכונית עוברת מהר יותר ויותר. מקור: Wikimedia Commons.

ישנם כמויות פיזיות שיש ליישר במקביל בכדי להשיג אפקטים מסוימים: אם מכונית נעה בקו ישר לאורך כביש מהיר ובין וקטור המהירות שלה v לבין וקטור התאוצה שלה , יש 0 °, המכונית נעה מהר יותר ומהירה, אך אם המכונית הבלמים, תאוצתו מנוגדת למהירותה (ראה איור 1).

באיור שלהלן מוצגים סוגים שונים של זווית כולל זווית האפס מימין. כפי שניתן לראות, זווית ה- 0º חסרה רוחב או פתיחה.

איור 2. סוגי זווית, כולל זווית האפס. מקור: Wikimedia Commons. אוריאס.

דוגמאות לזוויות אפסיות

ידוע כי קווים מקבילים יוצרים זווית אפס זו עם זו. כשיש לך קו אופקי, הוא מקביל לציר ה- x של מערכת הקואורדינציה הקרטזית, ולכן נטייתו ביחס אליו היא 0. במילים אחרות, לקווים האופקיים יש שיפוע אפס.

איור 3. לקווים האופקיים יש שיפוע אפס. מקור: פ. זפטה.

גם היחס הטריגונומטרי של זווית האפס הוא 0, 1 או אינסוף. לכן זווית האפס קיימת במצבים פיזיים רבים המערבים פעולות עם וקטורים. הסיבות הללו הן:

-Sin 0º = 0

-Cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-ש 0 ° = 1

-Cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

והם יעזרו לנתח כמה דוגמאות לסיטואציות בהן נוכחות זווית האפס ממלאת תפקיד מהותי:

- השפעות זווית האפס על גודל פיזי

הוספת וקטור

כאשר שני ווקטורים מקבילים, הזווית ביניהם היא אפס, כפי שניתן לראות בתרשים 4 א לעיל. במקרה זה, סכום שניהם מתבצע על ידי הצבה בזה אחר זה ועוצמת וקטור הסכום היא סכום גודל הגודל של התוספות (איור 4 ב).

איור 4. סכום של וקטורים מקבילים, במקרה זה הזווית ביניהם היא זווית אפסית. מקור: פ. זפטה.

כאשר שני ווקטורים מקבילים, הזווית ביניהם היא אפס, כפי שניתן לראות בתרשים 4 א לעיל. במקרה זה, סכום שניהם מתבצע על ידי הצבה בזה אחר זה וגודל וקטור הסכום הוא סכום גודל הגודל של התוספות (איור 4 ב)

מומנט או מומנט

המומנט או המומנט גורמים לסיבוב של גוף. זה תלוי בעוצמת הכוח המופעל ובאופן השימוש בו. דוגמה מאוד מייצגת היא המפתח שבדמות.

לקבלת האפקט המפנה הטוב ביותר, מופעל כוח בניצב על ידית הברגים, למעלה או למטה, אך לא צפוי סיבוב אם הכוח מקביל לידית.

איור 5. כאשר הזווית בין וקטורי המיקום והכוח היא אפס, לא נוצר מומנט ולכן אין אפקט סיבוב. מקור: פ. זפטה.

מבחינה מתמטית המומנט τ מוגדר כתוצר וקטורי או תוצר צולב בין הווקטורים r (וקטור מיקום) ו- F (וקטור הכוח) של איור 5:

τ = r x F

גודל המומנט הוא:

τ = r F sin θ

Θ להיות הזווית בין r ו F . כאשר sin θ = 0 המומנט הוא אפס, במקרה זה θ = 0º (או גם 180º).

זרימת שדה חשמלי

שטף שדה חשמלי הוא כמות סקלרית שתלויה בעוצמת השדה החשמלי כמו גם בכיוון השטח שדרכו הוא עובר.

באיור 6 יש משטח עגול של אזור שדרכו קווי השדה החשמלי לעבור E . כיוון המשטח ניתן על ידי הווקטור הרגיל n . משמאל השדה והווקטור הרגיל יוצרים זווית חריפה שרירותית θ, במרכז הם יוצרים זווית אפס אחד עם השני, ובימין הם בניצב.

כאשר E ו- n בניצב, קווי השדה אינם חוצים את פני השטח ולכן השטף הוא אפס, ואילו כאשר הזווית בין E ל- n היא אפס, הקווים חוצים את פני השטח לחלוטין.

ציון שטף השדה החשמלי על ידי האות היוונית Φ (נקרא "fi"), ההגדרה שלו לשדה אחיד כמו בתמונה, נראית כך:

Φ = E • n A

הנקודה באמצע שני הווקטורים מציינת את מוצר הנקודה או את המוצר הסקלרי, המוגדר לחילופין כך:

Φ = E • n A = EAcosθ

המודגשים והחצים שמעל האות הם משאבים להבדיל בין וקטור לעוצמתו, המצוינת באותיות רגילות. מכיוון שקוס 0 = 1, השטף הוא מקסימאלי כאשר E ו- n מקבילים.

איור 6. שטף השדה החשמלי תלוי בכיוון שבין פני השטח לשדה החשמלי. מקור: פ. זפטה.

תרגילים

- תרגיל 1

שני כוחות P ו- Q פועלים במקביל על עצם נקודה X, שני הכוחות יוצרים בתחילה זווית θ ביניהם. מה קורה לעוצמת הכוח המתקבל כאשר θ יורד לאפס?

איור 7. הזווית בין שני כוחות הפועלים על גוף פוחתת עד לביטולו, ובמקרה כזה עוצמת הכוח המתקבל משיגה את ערכו המרבי. מקור: פ. זפטה.

פִּתָרוֹן

עוצמת הכוח המתקבל Q + P עולה בהדרגה עד שהיא מקסימאלית כאשר Q ו- P הם מקבילים לחלוטין (איור 7 מימין).

- תרגיל 2

ציין אם זווית האפס היא פיתרון של המשוואה הטריגונומטרית הבאה:

פִּתָרוֹן

משוואה טריגונומטרית היא כזו שבה הלא נודע הוא חלק מהטיעון של יחס טריגונומטרי. כדי לפתור את המשוואה המוצעת, נוח להשתמש בנוסחה לקוסינוס של הזווית הכפולה:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

מכיוון שבדרך זו, הוויכוח בצד שמאל הופך ל- x במקום ל- 2x. כך:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

מצד שני cos ² x + sin ² x = 1, כך:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

המונח cos ² x מבטל ונשאר:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

כעת מתבצע השינוי הבא: sinx = u והמשוואה הופכת:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

שהפתרונות שלהם הם: u = 0 ו- u = -4. אם נחזור לשינוי היו לנו שתי אפשרויות: sin x = 0 ו- sinx = -4. פיתרון אחרון זה אינו בר-קיימא, מכיוון שהסינוס של זווית כלשהי הוא בין -1 ל -1, כך שנשאר לנו האלטרנטיבה הראשונה:

sin x = 0

לכן x = 0º הוא פיתרון, אך כל זווית שהסינוס שלה הוא 0 עובד גם היא, שיכולה להיות גם 180 מעלות (π רדיאנים), 360º (2 π רדיאנים) וגם השליליים המתאימים.

הפיתרון הכללי ביותר של המשוואה הטריגונומטרית הוא: x = kπ שבו k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k מספר שלם.

הפניות

1. Baldor, A. 2004. Plane and Geometry Space with Trigonometry. Publicaciones Culture SA de CV México.
2. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. כרך 3. מערכות חלקיקים. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB).
3. Figueroa, D. (2005). סדרה: פיזיקה למדע והנדסה. אמצעי אחסון 5. אינטראקציה חשמלית. נערך על ידי דאגלס פיגארואה (USB).
4. OnlineMathLearning. סוגי זוויות. התאושש מ: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. אלגברה, טריגונומטריה וגיאומטריה אנליטית. מקגרו היל אינטרמריקנה.