מספרים אמיתיים: היסטוריה, דוגמאות, מאפיינים, פעולות - מתמטיקה - 2025

המספרים האמיתיים מהווים את הסט המספרי הכולל את המספרים הטבעיים, השלם, הרציונלי לא רציונלים. הם מסומנים על ידי הסמל ℝ או פשוט R וההיקף שלהם במדע, הנדסה וכלכלה הוא כזה שכאשר מדברים על "מספר", זה כמעט מובן מאליו שמדובר במספר אמיתי.

מספרים אמיתיים שימשו מאז ימי קדם, למרות שלא ניתן להם שם זה. מרגע שפיתגורוס פיתח את משפטו המפורסם, עלו מספרים שלא ניתן היה להשיג כמנתחים של מספרים טבעיים או מספרים שלמים.

איור 1. תרשים Venn המראה כיצד קבוצת המספרים האמיתיים מכילה את ערכות המספרים האחרות. מקור> ויקימדיה Commons.

דוגמאות למספרים הם √2, √3 ו- π. מספרים אלה נקראים לא הגיוניים, בניגוד למספרים רציונאליים, שמקורם במספרים של מספרים שלמים. לכן היה צורך בערכה מספרית המקיפה את שתי קבוצות המספרים.

המונח "מספר אמיתי" נוצר על ידי המתמטיקאי הגדול רנה דקארט (1596-1650), כדי להבדיל בין שני סוגי השורשים שיכולים לנבוע מפיתרון משוואת פולינום.

חלק מהשורשים הללו יכולים להיות אפילו שורשים של מספרים שליליים, דקארט כינה אותם "מספרים דמיוניים" ואלה שלא היו מספרים אמיתיים.

הזרם נמשך לאורך זמן, והוליד שתי מערכות מספריות גדולות: המספרים האמיתיים והמספרים המורכבים, קבוצה גדולה יותר הכוללת מספרים אמיתיים, מספרים דמיוניים, ואלה שהם חלק ממשי וחלק מדומיינים.

התפתחות המספרים האמיתיים המשיכה את דרכה עד שבשנת 1872, המתמטיקאי ריצ'רד דדקינד (1831-1936) הגדיר באופן רשמי את מערך המספרים האמיתיים באמצעות מה שנקרא חתכים לדקינד. הסינתזה של עבודתו פורסמה במאמר שראה אור באותה שנה.

דוגמאות למספרים אמיתיים

הטבלה שלהלן מציגה דוגמאות למספרים אמיתיים. לסט זה יש כמקבצי משנה את המספרים הטבעיים, המספרים השלמים, הרציונאליים והלא הגיוניים. כל מספר של קבוצות אלה הוא כשלעצמו מספר אמיתי.

לכן 0, שליליות, פוזיטיביות, שברים ועשרוניים הם מספרים אמיתיים.

איור 2. דוגמאות למספרים אמיתיים הם טבעיים, שלמים, רציונליים, לא הגיוניים וטרנסצנדנטיים. מקור: פ. זפטה.

ייצוג המספרים האמיתיים בקו האמיתי

ניתן לייצג מספרים אמיתיים בשורה R האמיתית , כפי שמוצג באיור. אין הכרח שה- 0 יהיה תמיד, אולם נוח לדעת שהמימושים השליליים הם שמאלה והחיוביים מימין. זו הסיבה שזו נקודת ייחוס מצוינת.

על הקו האמיתי נלקח סולם, בו נמצאים מספרים שלמים: … 3, -2, -1, 1, 2, 3 …. החץ מציין שהקו משתרע עד אינסוף. אבל זה לא הכל, בכל מרווח נחשב, תמיד נמצא מספרים אמיתיים אינסופיים.

המספרים האמיתיים מיוצגים לפי הסדר. ראשית, יש את סדר המספרים של מספרים שלמים, בהם החיוביות תמיד גדולות מ- 0, ואילו השליליות פחותות.

סדר זה נשמר במספרים האמיתיים. כדוגמת: אי השוויון הבא:

א) -1/2 <√2

b) e <π

ג) π> -1/2

איור 3.- הקו האמיתי. מקור: Wikimedia Commons.

מאפיינים של מספרים אמיתיים

המספרים האמיתיים כוללים מספרים טבעיים, מספרים שלמים, מספרים רציונליים ומספרים לא רציונליים.

-ממלא את הרכוש הקומיטטיבי של התוספת: סדר התוספות אינו משנה את הסכום. אם a ו- b הם שני מספרים אמיתיים, זה תמיד נכון כי:

a + b = b + a

-ה 0 הוא היסוד הנייטרלי של הסכום: a + 0 = a

-לסכום מתקיים הרכוש האסוציאטיבי. אם a, b ו- c הם מספרים אמיתיים: (a + b) + c = a + (b + c).

ההפך ממספר אמיתי הוא -ה.

החיסור מוגדר כסכום ההפך: a - b = a + (-b).

-מילוי התכונה הקומיטטיבית של המוצר: סדר הגורמים אינו משנה את המוצר: ab = ba

-מוצר מוחל גם המאפיין האסוציאטיבי: (ab) .c = a. (Bc)

-ה 1 הוא היסוד הנייטרלי של הכפל: a.1 = a

-הרכוש החלוקתי של הכפל תקף ביחס לתוספת: א. (b + c) = ab + ac

-החלוקה לפי 0 אינה מוגדרת.

לכל מספר אמיתי a, למעט 0, יש היפוך כפול של ^-1 כך aa ^-1 = 1.

-אם a הוא מספר אמיתי: ⁰ = 1 ו- ¹ = a.

-הערך המוחלט או המודולוס של מספר אמיתי הוא המרחק בין המספר האמור ל- 0.

פעולות עם מספרים אמיתיים

בעזרת המספרים האמיתיים תוכלו לבצע את הפעולות הנעשות עם שאר הקבוצות המספריות, כולל חיבור, חיסור, כפל, חלוקה, העצמה, הקצנה, לוגריתמים ועוד.

כמו תמיד, החלוקה ב- 0 אינה מוגדרת, וגם לא הלוגריתמים של מספרים שליליים או 0, למרות שזה נכון שיומן 1 = 0 וכי הלוגריתמים של המספרים בין 0 ל -1 הם שליליים.

יישומים

היישומים של מספרים אמיתיים לכל מיני מצבים הם מגוונים ביותר. מספרים אמיתיים מופיעים כתשובות לבעיות רבות במדע מדויק, מדעי המחשב, הנדסה, כלכלה ומדעי החברה.

כל מיני עוצמות וכמויות כמו מרחקים, זמנים, כוחות, עוצמת הצליל, כסף ועוד רבים, מבטאים את עצמם במספרים אמיתיים.

ניתן לשלוט באופן דיגיטלי על העברת אותות טלפון, תמונה וקול של וידיאו, טמפרטורת מזגן, דוד או מקרר, שמשמעותה הפיכת כמויות פיזיות לרצפים מספריים.

הדבר קורה בעת ביצוע עסקה בנקאית דרך האינטרנט או התייעצות עם מסרים מיידיים. המספרים האמיתיים נמצאים בכל מקום.

התרגיל נפתר

אנו הולכים לראות עם תרגילים כיצד המספרים הללו עובדים במצבים נפוצים בהם אנו נתקלים ביום יום.

תרגיל 1

סניף הדואר מקבל רק חבילות שהאורך שלהן, בתוספת מדידת ההיקף, אינן עולות על 108 אינץ '. לפיכך, כדי שהחבילה המוצגת תתקבל, יש למלא כי:

L + 2 (x + y) ≤ 108

א) האם חבילה שאורכה 6 אינץ ', גובה 8 אינץ' ואורך מטר היא תעבור אותה?

ב) מה עם אחד שמודד 2 x 2 x 4 ft ³ ?

ג) מהו הגובה מהקובל ביותר עבור חבילת הבסיס שלה הוא ריבוע ואמצעי 9 x 9 אינץ ' ² ?

תשובה ל

L = 5 רגל = 60 אינץ '

x = 6 אינץ '

y = 8 אינץ '

הפעולה לפתור היא:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) אינץ '= 60 + 2 x 14 אינץ' = 60 + 28 אינץ '= 88 אינץ'

החבילה מתקבלת.

תשובה ב

הממדים של החבילה הזו קטנים יותר מהחבילה א), כך ששניהם עוברים את זה.

תשובה ג

בחבילה זו:

x = L = 9 אינץ '

יש לציין כי:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

≤ 40.5 אינץ '

הפניות

1. Carena, M. 2019. מדריך מתמטיקה לפני האוניברסיטה. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
2. דייגו, א. מספרים אמיתיים ותכונותיהם. התאושש מ: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. מתמטיקה ט '. תוֹאַר. מהדורות CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. סטיוארט, ג'יי 2006. פרקלקולוס: מתמטיקה לחישוב. 5. מַהֲדוּרָה. לימוד Cengage.