מספרים לא הגיוניים: היסטוריה, מאפיינים, סיווג, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

מספרי רציונליים הם אלה שביטויים יש דמויות עשרוניות אינסופיות ללא תבנית חוזרת, ולכן, לא יכול להיות שהושגו מן היחס בין כל שני מספרים שלמים.

בין המספרים הלא הגיוניים הידועים ביותר הם:

איור 1. מלמעלה למטה המספרים הלא הגיוניים הבאים: pi, המספר של אוילר, יחס הזהב ושני שורשים מרובעים. מקור: Pixabay.

ביניהם, ללא ספק π (pi) הוא המוכר ביותר, אך ישנם רבים נוספים. כולם שייכים לקבוצת המספרים האמיתיים, שהיא הקבוצה המספרית המקבצת יחד מספרים רציונאליים ולא הגיוניים.

האליפסיס באיור 1 מצביע על כך שהעשרונים נמשכים ללא הגבלת זמן, מה שקורה הוא שהמרחב של מחשבונים רגילים מאפשר רק להציג כמה בודדים.

אם אנו מסתכלים היטב, בכל פעם שאנו מייצרים את המנה בין שני מספרים שלמים, אנו מקבלים עשרון עם מספרים מוגבלים או אם לא, עם אינסוף נתונים שבהם חוזרים על אחד או יותר. ובכן, זה לא קורה עם מספרים לא הגיוניים.

היסטוריה של מספרים לא הגיוניים

המתמטיקאי הגדול הקדום פיתגורס, יליד 582 לפני הספירה בסאמוס ביוון, הקים את אסכולת המחשבה הפיתגורית וגילה את המשפט המפורסם הנושא את שמו. יש לנו כאן למטה משמאל (הבבלים אולי ידעו את זה הרבה לפני).

איור 2. משפט הפיתגורס החל על משולש עם צלעות שוות 1. מקור: Pixabay / Wikimedia Commons.

ובכן, כאשר פיתגורס (או ככל הנראה תלמיד שלו) החיל את המשפט למשולש ימני עם צלעות שוות ל -1, הוא מצא את המספר הלא הגיוני √2.

הוא עשה זאת כך:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

והוא הבין מיד שהמספר החדש הזה לא בא מהמנה המוצגת בין שני מספרים טבעיים אחרים, שהיו אלה שהיו ידועים באותה תקופה.

לפיכך הוא קרא לזה לא הגיוני, והתגלית עוררה חרדה ותדהמה רבה בקרב הפיתגוראים.

מאפיינים של מספרים לא הגיוניים

-The סט של כל המספרים רציונליים מצוין עם לי מכתב ולפעמים כמו ש * או ש ^C . האיחוד בין המספרים הלא רציונליים I או Q * למספרים הרציונליים Q, מוליד את מערך המספרים האמיתיים R.

-עם מספרים לא הגיוניים ניתן לבצע את פעולות האריתמטיקה הידועות: הוספה, חיסור, כפל, חלוקה, העצמה ועוד.

גם החלוקה ב- 0 אינה מוגדרת בין מספרים לא רציונליים.

הסכום והמוצר בין מספרים לא הגיוניים הוא לא בהכרח עוד מספר לא רציונאלי. לדוגמה:

√2 x √8 = √16 = 4

ו -4 הוא לא מספר לא הגיוני.

עם זאת, הסכום של מספר רציונלי פלוס מספר לא הגיוני אכן נותן תוצאה לא הגיונית. בדרך זו:

1 + √2 = 2.41421356237 …

התוצר של מספר רציונאלי השונה מ- 0 במספר לא הגיוני הוא גם לא הגיוני. בואו נסתכל על הדוגמא הזו:

2 x √2 = 2.828427125 …

-ההיפוך של אי-רציונליות גורם למספר לא-רציונאלי אחר. בואו ננסה כמה:

1 / √2 = 0.707106781 …

1 / √3 = 0.577350269 …

המספרים הללו מעניינים מכיוון שהם גם הערכים של כמה יחסים טריגונומטריים של זוויות ידועות. מרבית היחסים הטריגונומטריים הם מספרים לא הגיוניים, אך ישנם יוצאים מן הכלל, כמו חטא 30º = 0.5 = ½, וזה רציונלי.

בסכום מתקיימים המאפיינים הקומוטטיביים והאסוציאטיביים. אם a ו- b הם שני מספרים לא הגיוניים, פירוש הדבר הוא כי:

a + b = b + a.

ואם c הוא מספר לא רציונאלי אחר, אז:

(a + b) + c = a + (b + c).

- המאפיין החלוקתי של הכפל ביחס לתוספת הוא מאפיין ידוע נוסף שנכון גם למספרים לא הגיוניים. במקרה הזה:

א. (b + c) = ab + ac

לא-הגיוני יש להיפך: -א. כאשר הם מתווספים יחד התוצאה היא 0:

a + (- a) = 0

בין שני רציונלים שונים, יש לפחות מספר לא הגיוני אחד.

מיקום מספר לא הגיוני בקו האמיתי

הקו האמיתי הוא קו אופקי בו נמצאים המספרים האמיתיים, מהם המספרים הלא הגיוניים חלק חשוב.

כדי למצוא מספר לא הגיוני בקו האמיתי, בצורה גיאומטרית, נוכל להשתמש במשפט פיתגורס, סרגל ומצפן.

כדוגמה אנו הולכים לאתר √5 על הקו האמיתי, עבורו אנו מציירים משולש ימני עם הצדדים x = 2 ו- y = 1, כפי שמוצג באיור:

איור 3. שיטה לאיתור מספר לא הגיוני בקו האמיתי. מקור: פ. זפטה.

לפי משפט פיתגורס, ההיפוטוס של משולש כזה הוא:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

עכשיו המצפן ממוקם עם הנקודה 0, שם נמצא גם אחד הקודקודים של המשולש הימני. נקודת עיפרון המצפן צריכה להיות בקודקוד A.

קשת היקף נמשכת החוצה לקו האמיתי. מכיוון שהמרחק בין מרכז ההיקף לכל נקודה עליו הוא הרדיוס, השווה ל- √5, נקודת הצומת נמצאת גם רחוקה √5 מהמרכז.

מהגרף ניתן לראות כי √5 הוא בין 2 ל- 2.5. מחשבון נותן לנו את הערך המשוער של:

√5 = 2.236068

וכך, על ידי בניית משולש עם הצדדים המתאימים, ניתן יהיה למצוא מיקומים לא רציונליים אחרים, כמו √7 ואחרים.

סיווג מספרים לא הגיוניים

מספרים לא הגיוניים מסווגים לשתי קבוצות:

-אַלגֶבּרִי

-טרנסנדנטאלי או טרנסצנדנטלי

מספרים אלגבריים

מספרים אלגבריים, שעשויים להיות לא הגיוניים או לא, הם פתרונות של משוואות פולינום שהצורה הכללית שלהם היא:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

דוגמה למשוואה פולינומית היא משוואה ריבועית כזו:

x ³ - 2x = 0

קל להראות שהמספר הלא הגיוני √2 הוא אחד הפתרונות של משוואה זו.

מספרים נשגבים

מצד שני, המספרים הטרנסצנדנטיים, למרות שהם לא הגיוניים, לעולם אינם מתעוררים כפתרון למשוואת פולינום.

המספרים הטרנסצנדנטיים שנמצאים בתדירות הגבוהה ביותר במתמטיקה שימושית הם π, בגלל היחס שלה להיקף ולמספר e, או המספר של אוילר, שהוא הבסיס של לוגריתמים טבעיים.

תרגיל

ריבוע אפור מונח על ריבוע שחור במיקום המצוין בתמונה. שטח הריבוע השחור ידוע להיות 64 ס"מ ² . כמה הם אורכי שני הריבועים?

איור 4. איור 4. שני ריבועים מהם אנו רוצים למצוא את אורך הדפנות. מקור: פ. זפטה.

תשובה

שטח ריבוע עם צלע L הוא:

A = L ²

מכיוון שהריבוע השחור הוא 64 ס"מ ² בשטח, הצד שלו צריך להיות 8 ס"מ.

מדידה זו זהה לאלכסון הריבוע האפור. החלת המשפט של פיתגורס באלכסון זה, ונזכור שצידי הריבוע מודדים זהה, יהיה לנו:

8 ² = L _g ² + L _g ²

כאשר L _g הוא הצד של הריבוע האפור.

לכן: 2L _g ² = 8 ²

החלת שורש ריבועי לשני צידי השוויון:

L _g = (8 / √2) ס"מ

הפניות

1. Carena, M. 2019. מדריך מתמטיקה לפני האוניברסיטה. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
2. Figuera, J. 2000. מתמטיקה ט '. תוֹאַר. מהדורות CO-BO.
3. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
4. פורטל חינוכי. מספרים לא הגיוניים ותכונותיהם. התאושש מ: portaleducativo.net.
5. ויקיפדיה. מספרים אי - רציונליים. התאושש מ: es.wikipedia.org.