מספרים דמיוניים: מאפיינים, יישומים, דוגמאות - מתמטיקה - 2025

המספרים הדמיוניים הם אלה לפתור את המשוואה שבה הלא הנודע, מוגבה לכיכר שווה למספר ריאלית שלילי. היחידה הדמיונית היא i = √ (-1).

במשוואה: z ² = - a, z הוא מספר דמיוני שמתבטא באופן הבא:

z = √ (-a) = i√ (א)

להיות מספר אמיתי חיובי. אם a = 1, אז z = i, שם אני היחידה המדומה.

איור 1. מישור מורכב המציג מספרים אמיתיים, כמה מספרים דמיוניים וכמה מספרים מורכבים. מקור: פ. זפטה.

באופן כללי, מספר דמיוני טהור z מתבטא תמיד בצורה:

z = y⋅i

כאשר y הוא מספר אמיתי ואני היחידה המדומה.

כשם שמספרים אמיתיים מיוצגים על קו, הנקרא הקו האמיתי, באופן דומה מיוצגים מספרים דמיוניים על הקו הדמיוני.

הקו הדמיוני הוא תמיד אורתוגונאלי (צורת 90 מעלות) לקו האמיתי ושני הקווים מגדירים מישור קרטזיאני הנקרא המישור המורכב.

באיור 1 מוצג המישור המורכב ועליו מספרים אמיתיים, חלקם מספרים דמיוניים וגם מספרים מורכבים:

X ₁ , X ₂ , X ₃ הם מספרים אמיתיים

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ הם מספרים דמיוניים

Z ₂ ו- Z ₃ הם מספרים מורכבים

המספר O הוא האפס האמיתי והוא גם האפס המדומה, ולכן המקור O הוא האפס המורכב שבא לידי ביטוי על ידי:

0 + 0i

נכסים

קבוצת המספרים הדמיוניים מסומנת על ידי:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., I,…., 2i,…., 3i, ……}

ותוכלו להגדיר כמה פעולות בערכה המספרית הזו. לא תמיד מתקבל מספר דמיוני מהפעולות הללו, אז בואו נסתכל עליהם בפירוט מעט יותר:

הוסף וחסר דמיון

ניתן להוסיף מספרים דמיוניים ולהחסיר זה מזה, וכתוצאה מכך מספר דמיוני חדש. לדוגמה:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

תוצר של דמיוני

כאשר נוצר מוצר של מספר דמיוני אחד עם אחר, התוצאה היא מספר אמיתי. בואו לבצע את הפעולה הבאה כדי לבדוק זאת:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

וכפי שאנחנו יכולים לראות, -6 הוא מספר אמיתי, אם כי הוא הושג על ידי הכפלת שני מספרים דמיוניים טהורים.

תוצר של מספר אמיתי על ידי דמיוני אחר

אם מספר אמיתי מכפיל עם i, התוצאה תהיה מספר דמיוני, שמתאים לסיבוב של 90 מעלות נגד כיוון השעון.

וזה ש- i ² מתאים לשני סיבובים רצופים של 90 מעלות, שזה שווה להכפלת ב- -1, כלומר, i ² = -1. ניתן לראות בתרשים הבא:

איור 2. הכפל על ידי היחידה הדמיונית i מתאים לסיבובים של 90 מעלות נגד כיוון השעון. מקור: קומוני וויקימדיה.

לדוגמה:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

העצמת דמיון

אתה יכול להגדיר את העוצמה של מספר דמיוני לאקספקט שלם:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

באופן כללי יש לנו כי i ⁿ = i ^ (n mod 4), כאשר mod הוא שארית החלוקה בין n ל- 4.

ניתן לבצע עוצמה שלילית שלילית:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

באופן כללי, המספר הדמיוני bii שהועלה לכוח n הוא:

(bii) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

דוגמאות לכך הן:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

סכום של מספר אמיתי ומספר דמיוני

כשמוסיפים מספר אמיתי עם מספר דמיוני, התוצאה אינה אמיתית ואינה מדומיינת, זהו סוג חדש של מספר המכונה מספר מורכב.

לדוגמה, אם X = 3.5 ו- Y = 3.75i, התוצאה היא המספר המורכב:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 i

שימו לב שבסכום אי אפשר לקבץ את החלקים האמיתיים והדמיוניים, כך שלמספר מורכב יהיה תמיד חלק אמיתי וחלק דמיוני.

פעולה זו מרחיבה את מערך המספרים האמיתיים לרחב המספרים המורכבים ביותר.

יישומים

שם המספרים הדמיוניים הוצע על ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה דקארט (1596-1650) כלעג או אי הסכמה עם הצעתו של אותו דבר שנעשה על ידי המתמטיקאי האיטלקי בן המאה רפאלה בומבלי.

מתמטיקאים גדולים אחרים, כמו אוילר ולייבניץ, תמכו בדקארט במחלוקת זו וקראו למספרים המדומיינים מספרים אמפיביים, שנקרעו בין היות לכלום.

שם המספרים הדמיוניים נותר בימינו, אך קיומם וחשיבותם הם ממשיים וממשים מאוד, מכיוון שהם מופיעים באופן טבעי בתחומים רבים של פיסיקה כגון:

-תורת היחסות.

-באלקטרומגנטיות.

-מכניקה קוואנטית.

תרגילים עם מספרים דמיוניים

- תרגיל 1

מצא את הפתרונות של המשוואה הבאה:

z ² + 16 = 0

פִּתָרוֹן

z ² = -16

לשים שורש רבוע בשני החברים שיש לנו:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

במילים אחרות, הפתרונות של המשוואה המקורית הם:

z = + 4i oz = -4i.

- תרגיל 2

מצא את התוצאה של העלאת היחידה הדמיונית לעוצמה 5 פחות החיסור של היחידה הדמיונית שהועלתה לכוח -5.

פִּתָרוֹן

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- תרגיל 3

מצא את התוצאה של הפעולה הבאה:

(3i) ³ + 9i

פִּתָרוֹן

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- תרגיל 4

מצא את הפתרונות של המשוואה הריבועית הבאה:

(-2x) ² + 2 = 0

פִּתָרוֹן

המשוואה מסודרת כך:

(-2x) ² = -2

ואז נלקח השורש הריבועי של שני החברים

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

ואז אנו פותרים עבור x להשיג סוף סוף:

x = ± √2 / 2 i

כלומר, ישנם שני פתרונות אפשריים:

x = (√2 / 2) i

או האחר הזה:

x = - (√2 / 2) i

- תרגיל 5

מצא את הערך של Z המוגדר על ידי:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

פִּתָרוֹן

אנו יודעים שהשורש הריבועי של מספר אמיתי שלילי הוא מספר דמיוני, למשל √ (-9) שווה ל- √ (9) x √ (-1) = 3i.

לעומת זאת, √ (-4) שווה ל- √ (4) x √ (-1) = 2i.

אז ניתן להחליף את המשוואה המקורית על ידי:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- תרגיל 6

מצא את הערך של Z הנובע מהחלוקה הבאה של שני מספרים מורכבים:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

פִּתָרוֹן

ניתן לייצר את המונה של הביטוי באמצעות המאפיין הבא:

כך:

Z = / (3 + i)

הביטוי שנוצר מפושט להלן, עוזב

Z = (3 - i)

הפניות

1. ארל, ר. מספרים מורכבים. התאושש מ: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. מתמטיקה 1. מְגוּוָן. מהדורות CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. מבחר נושאים במתמטיקה. פרסומי מונפורט.
4. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
5. ויקיפדיה. מספר דמיוני. התאושש מ: en.wikipedia.org