מספרים מורכבים: מאפיינים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

מספרי התרכובות אלה מספרים שלמים כי יש יותר משני חוצצים. אם אנו מסתכלים מקרוב, כל המספרים לפחות מתחלקים בעצמם ועל ידי 1. אלה שיש להם רק שני מחלקים אלה נקראים primes, ואלה שיש להם יותר הם מורכבים.

בואו נסתכל על המספר 2, שניתן לחלק אותו רק בין 1 ל 2. למספר 3 יש גם שני מחלקים: 1 ו- 3. לכן, שניהם ראשוניים. כעת בואו נסתכל על המספר 12, אותו אנו יכולים לחלק במדויק לפי 2, 3, 4, 6, ו- 12. בכך שיש לנו 5 מחלקים, 12 הוא מספר מורכב.

איור 1. מספרים ראשוניים בכחול יכולים להיות מיוצגים רק על ידי שורה אחת של נקודות, ולא מספרים מורכבים באדום. מקור: Wikimedia Commons.

ומה קורה עם המספר 1, זה שמחלק את כל האחרים? ובכן, זה לא ראשוני, מכיוון שאין בו שני מחלקים, והוא אינו מורכב, ולכן אני לא נופל לאף אחת משתי הקטגוריות הללו. אבל יש הרבה הרבה יותר מספרים שעושים.

ניתן לבטא מספרים מורכבים כתוצר של מספרים ראשוניים, ומוצר זה, למעט סדר הגורמים, הוא ייחודי לכל מספר. זה מובטח על ידי משפט היסוד של חשבון שהוכיח על ידי המתמטיקאי היווני אוקליד (325-365 לפני הספירה).

בואו נחזור למספר 12, אותו אנו יכולים לבטא בדרכים שונות. בואו ננסה כמה:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

הצורות המודגשות מודגשות הן מוצרים עם מספרים ראשוניים והדבר היחיד שמשתנה הוא סדר הגורמים, שאנו יודעים שאינו משנה את המוצר. הצורות האחרות, אף שהן תקפות לביטוי 12, אינן מורכבות אך ורק מקדשים.

דוגמאות למספרים מורכבים

אם אנו רוצים לפרק מספר מורכב לגורמים הראשיים שלו, עלינו לחלק אותו בין מספרים ראשוניים כך שהחלוקה מדויקת, כלומר שהשאר הוא 0.

הליך זה נקרא גורם גורם ראשוני או פירוק קנוני. ניתן להעלות גורמים עיקריים לממצאים חיוביים.

אנו מתכוונים לפרק את המספר 570, וציינו שהוא אחיד ולכן ניתן לחלק אותו ב -2 שהוא מספר ראשוני.

אנו נשתמש בסרגל כדי להפריד בין המספר בצד שמאל לבין המחלקים מימין. המרכיבים המתאימים ממוקמים תחת המספר כפי שהם מתקבלים. הפירוק הושלם כאשר הנתון האחרון בעמודה השמאלית הוא 1:

570 │2
285 │

כאשר מחלקים ב- 2 המנה הוא 285, המתחלק ב -5, מספר ראשוני אחר, המסתיים ב -5.

570 │2
285 │5
57 │

57 ניתן לחלק ב -3, גם הוא ראשוני, מכיוון שסכום הספרות שלו 5 + 7 = 12 הוא מכפיל של 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

סוף סוף נקבל 19 שהוא מספר ראשוני שמחלקיהם הם 19 ו -1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

על ידי השגת 1 אנו יכולים לבטא 570 בדרך זו:

570 = 2 על 5 x 3 על 19

ואנחנו רואים שבעצם זה תוצר של 4 מספרים ראשוניים.

בדוגמה זו אנו מתחילים לחלק ב -2, אך אותם גורמים (בסדר אחר) היו מתקבלים אם היינו מתחילים על ידי חלוקה ב -5 למשל.

איור 2. ניתן לפרק את המספר המורכב 42 באמצעות דיאגרמה בצורת עץ. מקור: Wikimedia Commons.

קריטריונים לחלוקה

כדי לפרק מספר מורכב לגורמים העיקריים שלו, יש צורך לחלק אותו בדיוק. הקריטריונים לחלוקה בין מספרים ראשוניים הם כללים המאפשרים לדעת מתי מספר מחולק על ידי אחר בדיוק, ללא צורך לנסות ולהוכיח.

- התחלקות ידי 2

כל המספרים השווים, אלה שמסתיימים ב- 0 או מספר שווה, מתחלקים ב- 2.

- חלוקה לפי 3

אם סכום הספרות של מספר הוא מכפיל של 3, המספר הוא גם ולכן ניתן לחלוקה על ידי 3.

- חלוקה ב -5

מספרים המסתיימים ב- 0 או 5 מתחלקים ב- 5.

חלוקה עד 7

המספר מתחלק ב- 7 אם כאשר מפרידים את הספרה האחרונה, מכפילים אותו ב -2 ומחסרים את המספר שנותר, הערך המתקבל הוא מכפיל של 7.

הכלל הזה נראה קצת יותר מסובך מהקודמים, אבל במציאות זה לא כל כך, אז בואו נסתכל על דוגמא: האם 98 ניתן להתחלק ב- 7?

בואו לעקוב אחר ההוראות: אנו מפרידים את הדמות האחרונה שהיא 8, מכפילים אותה ב -2 שנותנים 16. המספר שנותר כאשר מפרידים את 8 הוא 9. אנו מחסרים 16 - 9 = 7. ומכיוון ש7 הוא מכפיל בפני עצמו, 98 ניתן לחלוקה בין 7.

חלוקה עד 11

אם סכום הדמויות במצב אחיד (2, 4, 6 …) מופרע מסכום הדמויות במצב אי-זוגי (1, 3, 5, 7 …) ומתקבל 0 או מכפיל של 11, המספר הוא ניתן לחלוקה ב -11.

הכפולים הראשונים של 11 מזוהים בקלות: הם 11, 22, 33, 44 … 99. אך היזהר, 111 אינו, במקום זאת 110 כן.

כדוגמה, בואו נראה אם ​​143 הוא מכפיל של 11.

למספר זה יש 3 ספרות, הספרה היחידה היחידה היא 4 (השנייה), שתי הספרות המוזרות הן 1 ו -3 (הראשונה והשלישית), והסכום שלהן הוא 4.

שני הסכומים מופרעים: 4 - 4 = 0 ומכיוון שמתקבל 0 מתברר כי 143 הוא מכפיל של 11.

חלוקה עד 13

יש להפחית את המספר ללא הספרה מספרים פי 9 מהספרה. אם הספירה מחזירה 0 או מכפיל של 13, המספר הוא מכפיל של 13.

כדוגמה נוודא כי 156 הוא מכפיל של 13. הספרה זו היא 6 והמספר שנותר בלעדיה הוא 15. אנו מכפילים 6 x 9 = 54 ועכשיו אנו מחסירים 54 - 15 = 39.

אבל 39 הוא 3 x 13, כך 56 הוא מכפיל של 13.

מספרים ראשוניים זה לזה

שני מספרים ראשוניים או יותר מורכבים עשויים להיות ראשוניים או משותפים. המשמעות היא שהמחלק המשותף היחיד שיש להם הוא 1.

יש שני תכונות חשובות שכדאי לזכור בכל הנוגע לפשעים:

-שלושה, מספרים ויותר ברציפות הם תמיד אחד מהשני.

ניתן לומר את אותו הדבר לגבי מספרים אי זוגיים רצופים או שניים יותר.

לדוגמה 15, 16 ו 17 הם מספרים ראשוניים זה לזה וכך גם 15, 17 ו 19.

כיצד לדעת כמה מחלקים יש למספר מורכב

למספר ראשוני יש שני מחלקים, אותו מספר ו -1. וכמה מחלקים יש למספר מורכב? אלה יכולים להיות בני דודים או תרכובות.

תן ל- N להיות מספר מורכב המתבטא במונחים של פירוקו הקנוני באופן הבא:

N = a ⁿ . ב ^מ . c ^p … r ^k

כאשר a, b, c … r הם הגורמים העיקריים ו- n, m, p … k המייצבים המתאימים. ובכן, מספר המחלקים C שיש ל- N ניתן על ידי:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) … (k + 1)

עם C = מחלקים ראשוניים + מחלקים מורכבים + 1

לדוגמא 570, הבאה לידי ביטוי כך:

570 = 2 על 5 x 3 על 19

כל הגורמים העיקריים מוגדלים ל -1, ולכן 570 כוללים:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 מחלקים

מתוך 10 מחלקים אלה אנו כבר מכירים: 1, 2, 3, 5, 19 ו- 570. חסרים 10 מחלקים נוספים, שהם מספרים מורכבים: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 ו 285. הם נמצאים על ידי התבוננות בפירוק לגורמים ראשוניים וכן הכפלת שילובים של גורמים אלה יחד.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

פירק את המספרים הבאים לגורמים ראשוניים:

א) 98

ב) 143

ג) 540

ד) 3705

פתרון ל

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2X7X7

פיתרון ב

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 על 13

פיתרון ג

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

פיתרון ד

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 על 3 x 13 על 19

- תרגיל 2

גלה אם המספרים הבאים קשורים זה לזה:

6, 14, 9

פִּתָרוֹן

המחלקים של 6 הם: 1, 2, 3, 6

ביחס ל -14 ניתן לחלק אותה: 1, 2, 7, 14

בסופו של דבר 9 יש כמחלקים: 1, 3, 9

המחלק היחיד המשותף להם הוא 1, ולכן הם ראשוניים זה לזה.

הפניות

1. Baldor, A. 1986. חשבון. מהדורות והפצות קודקס.
2. של בייג'ו. מספרים ראשוניים ומורכבים. התאושש מ: byjus.com.
3. מספרים ראשוניים ומורכבים. התאושש מ: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. סמארטיק. קריטריונים לחלוקה. התאושש מ: smartick.es.
5. ויקיפדיה. מספרים מורכבים. התאושש מ: en.wikipedia.org.