תנועת מטוטלת: מטוטלת פשוטה, הרמונית פשוטה - גוּפָנִי - 2025

מטוטלת הוא אובייקט (רצוי נקודה המוני) היו תלויים על בלימה (רצוי ללא מסה) מנקודה קבועה, הנעה הודות לכוח הכובד, כי כוח בלתי נראה מסתורי, בין היתר, שומר היקום מודבק.

התנועה המטוטלת היא זו המתרחשת בחפץ מצד אחד לצד אחר, תלויה מסיב, כבל או חוט. הכוחות שמתערבים בתנועה זו הם השילוב של כוח הכובד (אנכי, לכיוון מרכז כדור הארץ) לבין מתח החוט (כיוון החוט).

מטוטלת מתנדנדת, מראה מהירות ותאוצה (wikipedia.org)

זה מה שעוני מטוטלת (מכאן שמו) או נדנדות בגן המשחקים. במטוטלת אידיאלית תנועת התנודה תימשך תמיד. במטוטלת אמיתי, לעומת זאת, התנועה בסופו של דבר נעצרת לאחר זמן בגלל חיכוך באוויר.

המחשבה על מטוטלת הופכת אותו בלתי נמנע לעורר את דמותו של שעון המטוטלת, את זיכרונו של אותו שעון ישן ומרשים מבית הכפר של הסבים והסבתות. או אולי סיפור האימה של אדגר אלן פו, "הבאר והמטוטלת", אשר קריינותו נעוצה בהשראת אחת משיטות העינויים הרבות ששימשו את האינקוויזיציה הספרדית.

האמת היא שלסוגי המטוטלות השונות יש יישומים מגוונים מעבר למדידת זמן, כמו למשל קביעת האצת כוח הכבידה במקום מסוים ואפילו הדגמת סיבוב כדור הארץ כפי שעשה הפיזיקאי הצרפתי ז'אן ברנרד ליאון. פוקו.

מטוטלת פוקו. מחבר: Veit Froer (wikipedia.org).

המטוטלת הפשוטה ותנועת הרטט ההרמונית הפשוטה

מטוטלת פשוטה

המטוטלת הפשוטה, למרות שהיא מערכת אידיאלית, מאפשרת לבצע גישה תיאורטית לתנועת המטוטלת.

למרות שהמשוואות של תנועת מטוטלת פשוטה יכולות להיות מורכבות במקצת, האמת היא שכאשר המשרעת (A), או העקירה ממיקום שיווי המשקל, של התנועה היא קטנה, ניתן לקרב אותה עם המשוואות של תנועה הרמונית פשוטים שאינם מסובכים יתר על המידה.

תנועה הרמונית פשוטה

התנועה ההרמונית הפשוטה היא תנועה תקופתית, כלומר היא חוזרת על עצמה בזמן. יתר על כן, מדובר בתנועה מתנדנדת אשר תנודה מתרחשת סביב נקודת שיווי משקל, כלומר נקודה שבה התוצאה הנקייה של סכום הכוחות המופעלים על הגוף היא אפס.

באופן זה מאפיין מהותי של תנועת המטוטלת הוא התקופה שלו (T), שקובעת את הזמן שנדרש לבצע מחזור שלם (או תנודה מלאה). תקופת המטוטלת נקבעת על ידי הביטוי הבא:

איפה, l = אורך המטוטלת; ו- g = ערך התאוצה כתוצאה מכוח הכבידה.

כמות הקשורה לתקופה היא התדר (f), שקובע את מספר המחזורים שעובר המטוטלת בשנייה אחת. בדרך זו ניתן לקבוע את התדירות מהתקופה עם הביטוי הבא:

דינמיקת תנועה של המטוטלת

הכוחות שמתערבים בתנועה הם המשקל, או מה זהה, כוח הכובד (P) ומתח החוט (T). השילוב של שני הכוחות הללו הוא הגורם לתנועה.

בעוד שהמתח מכוון תמיד לכיוון החוט או החבל המצטרף למסה לנקודה הקבועה, ולכן אין צורך לפרק אותו; המשקל מופנה תמיד אנכית אל מרכז המסה של כדור הארץ, ולכן יש לפרק אותו למרכיביו המשיקים והרגילים או הרדיאליים.

המרכיב המשיק של המשקל _Pt = mg sin θ, ואילו המרכיב הרגיל במשקל הוא P _N = mg cos θ. שניה זו מפוצה במתח החוט; המרכיב המשיק במשקל, הפועל ככוח מחזיר, אחראי אפוא בסופו של דבר לתנועה.

תזוזה, מהירות ותאוצה

העקירה של תנועה הרמונית פשוטה, ולכן המטוטלת, נקבעת על ידי המשוואה הבאה:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

כאשר ω = מהירות הסיבוב הזוויתית; t = הוא הזמן; ו- θ ₀ = הוא השלב הראשוני.

באופן זה, משוואה זו מאפשרת לנו לקבוע את מיקום המטוטלת בכל רגע. בהקשר זה, מעניין להדגיש כמה מערכות יחסים בין כמה מגדולות התנועה ההרמונית הפשוטה.

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f

מצד שני, הנוסחה השולטת במהירות המטוטלת כפונקציה של זמן מתקבלת על ידי נגזרת העקירה כפונקציה של זמן, כמו זו:

v = dx / dt = -A ω sin (ω t + θ ₀ )

בהמשך באותה צורה מתקבל הביטוי של ההאצה ביחס לזמן:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀ )

מהירות מקסימאלית ותאוצה

בהתבוננות הן בביטוי המהירות והן בתאוצה ניתן להעריך כמה היבטים מעניינים בתנועת המטוטלת.

המהירות תופסת את הערך המקסימאלי שלה במצב שיווי המשקל, ובאותו זמן התאוצה היא אפס, מכיוון שכאמור, ברגע זה, הכוח הנקי הוא אפס.

נהפוך הוא, בקצוות העקירה ההפך קורה, שם ההאצה לוקחת את הערך המקסימאלי, והמהירות גוזלת ערך אפס.

מהמשוואות של מהירות ותאוצה קל להסיק הן את המודולוס של המהירות המרבית והן את המודולוס של התאוצה המרבית. מספיק לקחת את הערך המרבי האפשרי הן לחטא (ω t + θ ₀ ) והן עבור cos (ω t + θ ₀ ), שבשני המקרים הוא 1.

│ v _max │ = A ω

│ _{מקסימום} │ = A ω ²

הרגע בו המטוטלת מגיעה למהירותה המרבית הוא כאשר הוא עובר בנקודת שיווי המשקל של כוחות מאז החטא (ω t + θ ₀ ) = 1. נהפוך הוא, ההאצה המרבית מושגת בשני קצוות התנועה מאז cos (ω t + θ ₀ ) = 1

סיכום

מטוטלת היא אובייקט קל לעיצוב וכנראה עם תנועה פשוטה אם כי האמת היא שעמוק בפנים הוא הרבה יותר מורכב מכפי שנראה.

עם זאת, כאשר המשרעת הראשונית קטנה, ניתן להסביר את תנועתה בעזרת משוואות שאינן מסובכות יתר על המידה, מכיוון שניתן לקרב אותה עם המשוואות של תנועת רעידות הרמונית פשוטה.

לסוגים שונים של מטוטלות שקיימות יש יישומים שונים הן לחיי היומיום והן בתחום המדעי.

הפניות

1. ואן באק, טום (נובמבר 2013). "משוואה לתקופת מטוטלת חדשה ונפלאה". עלון מדע הורולוגי. 2013 (5): 22–30.
2. מְטוּטֶלֶת. (ד '). בוויקיפדיה. הוחזר ב- 7 במרץ 2018 מ- en.wikipedia.org.
3. מטוטלת (מתמטיקה). (ד '). בוויקיפדיה. הוחזר ב- 7 במרץ 2018 מ- en.wikipedia.org.
4. Llorente, חואן אנטוניו (1826). תולדות האינקוויזיציה של ספרד. מקוצר ותורגם על ידי ג'ורג 'בי וויטקר. אוניברסיטת אוקספורד. עמ. XX, הקדמה.
5. פו, אדגר אלן (1842). הבור והמטוטלת. ספר קלאסי. ISBN 9635271905.