מודל אטומי של דירק ירדן: מאפיינים ותנוחות - גוּפָנִי - 2025

המודל האטומי דיראק-ירדן הוא ההכללה היחסותית של מפעיל המילטוניאן המשוואה המתארת את פונקציית הגל הקוונטית של האלקטרונים. שלא כמו הדגם הקודם, זה של שרדינגר, אין הכרח לכפות את הסחרור באמצעות עקרון ההדרה של פאולי, מכיוון שהוא מופיע באופן טבעי.

בנוסף, המודל של דירק-ירדן משלב בתוכו תיקונים רלטיביים, אינטראקציה בין ספין-מסלול ומונח דארווין, המהווים את המבנה הדק של הרמות האלקטרוניות של האטום.

איור 1. אורביטלים אלקטרוניים באטום המימן בשלושת רמות האנרגיה הראשונות. מקור: Wikimedia Commons.

החל משנת 1928, החלו המדענים פול אם דיראק (1902-1984) ופסקואל ג'ורדן (1902-1980), להכליל את מכניקת הקוונטים שפותחה על ידי שרדינגר, לכלול את תיקוני היחסות המיוחדים של איינשטיין.

דיראק מתחיל ממשוואת שרדינגר, המורכבת ממפעיל דיפרנציאלי, המכונה המילטוניאן, הפועל על פונקציה המכונה פונקצית גלי האלקטרונים. עם זאת, שרדינגר לא לקח בחשבון השפעות יחסיות.

הפתרונות של פונקציית הגל מאפשרים לנו לחשב את האזורים שבהם עם מידה מסוימת של הסתברות האלקטרון יימצא סביב הגרעין. אזורים או אזורים אלה נקראים אורביטלים ותלויים במספרים קוונטיים נפרדים מסוימים, המגדירים את האנרגיה והמומנטום הזוויתי של האלקטרון.

מוצבים

בתיאוריות מכניות קוונטיות, בין אם רלטיביסטיות ובין אם לא, אין מושג מסלולי כיוון שלא ניתן לציין את מיקום ולא את מהירות האלקטרון בו זמנית. יתר על כן, ציון אחד המשתנים מוביל לחוסר דיוק מוחלט באחר.

המילטוניאן מצידו הוא מפעיל מתמטי הפועל על תפקוד הגל הקוונטי ונבנה מאנרגיית האלקטרון. לדוגמא, לאלקטרון חופשי יש אנרגיה מוחלטת E שתלויה במומנטום הליניארי p כך:

E = ( p ² ) / 2m

כדי לבנות את המילטוניאן, אנו מתחילים מהביטוי הזה ומחליפים את p עבור מפעיל הקוונטים בתנופה:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

חשוב לציין שמונחי ה- p ו- p שונים, מכיוון שהראשון הוא המומנטום והשני הוא המפעיל הדיפרנציאלי הקשור לתנופה.

בנוסף, אני היחידה הדמיונית ו- constant קבוע פלאנק המחולק ב- 2π, בדרך זו מתקבל המפעיל המילטוניאני H של האלקטרון החופשי:

H = (ħ ² / 2m) ∂ ² / ∂ r ²

כדי למצוא את המילטוניון של האלקטרון באטום, הוסף את האינטראקציה של האלקטרון עם הגרעין:

H = (ħ2 / 2m) ∂ ² / ∂ r ² - eΦ (r)

בביטוי הקודם -e הוא המטען החשמלי של האלקטרון ו- Φ (r) הפוטנציאל האלקטרוסטטי המופק על ידי הגרעין המרכזי.

כעת, מפעיל H פועל על פונקציית הגל ψ על פי משוואת שרדינגר שנכתבת כך:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

ארבע המוצבים של דיראק

ראשית הנחה : למשוואת הגלים הרלטיביסטית יש מבנה זהה למשוואת הגל שרדינגר, מה שמשתנה הוא H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

המוצא השני : המפעיל המילטוניאני נבנה החל מיחסי המומנטום האנרגטיים של איינשטיין, שנכתבים כך:

E = (m ² c ⁴ + p ² c ² ) ^1/2

ביחס הקודם, אם לחלקיק יש תנופה p = 0 אז יש לנו את המשוואה המפורסמת E = mc ² המתייחסת לאנרגיה בשאר חלקיק כלשהו במסה m עם מהירות האור c.

תנודה שלישית : כדי להשיג את המפעיל המילטוניאני, משתמשים באותו כלל כימות המשמש במשוואת שרדינגר:

p = -i ħ ∂ / ∂ r

בהתחלה, לא היה ברור כיצד להתמודד עם מפעיל דיפרנציאלי זה הפועל בתוך שורש ריבועי, ולכן דיראק פנה להשיג מפעיל המילטוניאני ליניארי על מפעיל המומנטום ומשם קם את המוצא הרביעי שלו.

דו"ח רביעי : להיפטר מהשורש המרובע בנוסחת האנרגיה היחסותית, דיראק הציע את המבנה הבא עבור E ² :

כמובן שצריך לקבוע את מקדמי האלפא (α0, α1, α2, α3) כדי שזה יהיה נכון.

המשוואה של דיראק

בצורתה הקומפקטית, משוואת דיראק נחשבת לאחת המשוואות המתמטיות היפות ביותר בעולם:

איור 2. משוואת דיראק בצורה קומפקטית. מקור: פ. זפטה.

ואז מתברר כי האלפא המתמיד לא יכול להיות כמויות סקלריות. הדרך היחידה למימוש השוויון של המוצא הרביעי היא שהם מטריצות 4 × 4 קבועות, המכונות מטריצות דיראק:

אנו מסתכלים מייד שתפקוד הגל מפסיק להיות פונקציה סקלרית והופך להיות וקטור עם ארבעה רכיבים הנקראים ספינור:

אטום דיראק-ירדן

כדי להשיג את המודל האטומי יש לעבור מהמשוואה של האלקטרון החופשי לזה של האלקטרון בשדה האלקטרומגנטי המיוצר על ידי הגרעין האטומי. אינטראקציה זו נלקחת בחשבון על ידי שילוב הפוטנציאל הסקלרי Φ והפוטנציאל הווקטורי A בהמילטוניה:

פונקציית הגל (ספינור) הנובעת משילוב המילטוניאן זה כוללת את המאפיינים הבאים:

- ממלא תורת היחסות המיוחדת, מכיוון שהיא לוקחת בחשבון את האנרגיה המהותית של האלקטרון (המונח הראשון של המילטוניאן הרלטיביסטי)

- יש לו ארבעה פתרונות המתאימים לארבעת המרכיבים של ספינור

- שני הפתרונות הראשונים תואמים אחד לסיבוב + ½ והשני לסיבוב - ½

- לבסוף, שני הפתרונות האחרים חוזים את קיומו של אנטי-חומר, מכיוון שהם תואמים לזה של פוזיטרון עם סיבובים הפוכים.

היתרון הגדול של משוואת דיראק הוא בכך שניתן לפרק את התיקונים לשרידינגר המילטוניאן H (o) למספר מונחים אותם נציג להלן:

בביטוי הקודם V הוא הפוטנציאל הסקלרי, מכיוון שהפוטנציאל הווקטורי A אפס אם ההנחה שהפרוטון המרכזי הוא נייח ולכן אינו מופיע.

הסיבה לכך שתיקוני ה- Dirac לפתרונות שרדינגר בפונקציית הגל הם עדינים. הם נובעים מהעובדה ששלושת המונחים האחרונים של המילטוניאן המתוקנים מחולקים כולם על ידי המהירות c של ריבוע האור, מספר עצום, מה שהופך את המונחים הללו לקטנים באופן מספרי.

תיקונים יחסיים לספקטרום האנרגיה

בעזרת משוואת דיראק-ירדן אנו מוצאים תיקונים לספקטרום האנרגיה של האלקטרון באטום המימן. תיקונים לאנרגיה באטומים עם יותר מאלקטרון אחד בצורה משוערת נמצאים גם באמצעות מתודולוגיה המכונה תורת הפרעות.

באופן דומה, מודל ה- Dirac מאפשר לנו למצוא את תיקון המבנה הדק ברמות האנרגיה המימן.

עם זאת, תיקונים עדינים עוד יותר כמו המבנה ההיפר-פין ומשמרת הטלה מתקבלים ממודלים מתקדמים יותר כמו תיאוריית שדות הקוונטים, שנולדה בדיוק מתרומות מודל ה- Dirac.

באיור הבא נראים כיצד התיקונים הרלטיביים של דיראק לרמות האנרגיה נראים:

איור 3. איור 3. תיקונים של מודל ה- Dirac לרמות אטום המימן. מקור: Wikimedia Commons.

לדוגמה, הפתרונות למשוואת דיראק מנבאים נכון שינוי שנצפה ברמה 2. זהו תיקון המבנה הדק הידוע בקו Lyman-alpha של ספקטרום המימן (ראה איור 3).

אגב, המבנה הדק הוא השם שניתן בפיזיקה האטומית להכפלת הקווים של ספקטרום הפליטה של ​​האטומים, שהוא תוצאה ישירה של ספין אלקטרוני.

איור 4. איור 4. מבנה דק שמתפצל למצב האדמה n = 1 והמצב הנרגש הראשון n = 2 באטום המימן. מקור: R Wirnata. תיקונים יחסיים לאטומים דמויי מימן. Researchgate.net

מאמרי עניין

מודל האטומי של דה ברוגלי.

המודל האטומי של צ'אדוויק.

מודל אטומי של הייזנברג.

המודל האטומי של פרין.

המודל האטומי של תומסון.

המודל האטומי של דלתון.

המודל האטומי של שרדינגר.

מודל אטומי של דמוקריטוס.

המודל האטומי של בוהר.

הפניות

1. תיאוריה אטומית. התאושש מ- wikipedia.org.
2. רגע מגנטי אלקטרוני. התאושש מ- wikipedia.org.
3. קוונטה: ספר מושגים. (1974). הוצאת אוניברסיטת אוקספורד. התאושש מ- Wikipedia.org.
4. מודל אטומי של דיראק ירדן. התאושש מ- prezi.com.
5. היקום הקוונטי החדש. הוצאת אוניברסיטת קיימברידג '. התאושש מ- Wikipedia.org.