המתמטיקה הדיסקרטית מתאימה שטח של מתמטיקה כי הוא אחראי לומד את קבוצת מספרים טבעיים; כלומר, מערך המספרים הספירים האינסופיים והאינסופיים בהם ניתן לספור את האלמנטים בנפרד, אחד אחד.

סטים אלה ידועים כסטים נפרדים; דוגמה לסטים אלה הם מספרים שלמים, גרפים או ביטויים לוגיים, והם מיושמים בתחומי מדע שונים, בעיקר במדעי המחשב או המחשוב.

תיאור

במתמטיקה בדידה התהליכים ניתנים לספור, הם מבוססים על מספרים שלמים. המשמעות היא שלא משתמשים במספרים עשרוניים ולכן לא משתמשים בקירוב או במגבלות, כמו באזורים אחרים. לדוגמה, אלמוני יכול להיות שווה ל -5 או 6, אך לעולם לא 4.99 או 5.9.

מצד שני, בייצוג הגרפי המשתנים יהיו בדידים וניתנים ממערכת נקודות סופית, אשר סופרים בזה אחר זה, כמוצג בתמונה:

מתמטיקה נפרדת נובעת מהצורך להשיג מחקר מדויק שניתן לשלב ולבדוק, על מנת ליישם אותו בתחומים שונים.

לשם מה מתמטיקה נפרדת?

מתמטיקה נפרדת משמשת באזורים מרובים. בין העיקרים שבהם הם:

קומבינטורי

חקר קבוצות סופיות בהן ניתן להזמין או לשלב אלמנטים ולספור אותם.

תיאוריית הפצה דיסקרטית

חקר אירועים המתרחשים בחללים בהם ניתן יהיה לספור דגימות, בהן משתמשים בהפצות רצופות כדי להתקרב להפצות בדידות, או להפך.

תורת המידע

הכוונה לקידוד מידע המשמש לתכנון ושידור ואחסון נתונים, כמו אותות אנלוגיים.

מחשוב

באמצעות מתמטיקה נפרדת, נפתרות בעיות באמצעות אלגוריתמים, כמו גם את מה שניתן לחשב ואת הזמן שלוקח לעשות זאת (מורכבות).

החשיבות של מתמטיקה נפרדת בתחום זה גדלה בעשורים האחרונים, במיוחד לפיתוח שפות תכנות ותוכנות.

קריפטוגרפיה

זה מסתמך על מתמטיקה נפרדת כדי ליצור מבני אבטחה או שיטות הצפנה. דוגמה ליישום זה היא סיסמאות, שליחת ביטים המכילים מידע בנפרד.

באמצעות חקר תכונות המספרים של מספרים ומספרים ראשוניים (תיאוריה של המספרים) ניתן ליצור או להרוס שיטות אבטחה אלה.

הִגָיוֹן

משתמשים בכדי להוכיח משפטים או, למשל, לאמת תוכנה.

תורת הגרפים

זה מאפשר פיתרון של בעיות לוגיות, באמצעות צמתים וקווים המהווים סוג של גרף, כפי שמוצג בתמונה הבאה:

במתמטיקה ישנם קבוצות שונות המקבצות מספרים מסוימים על פי מאפייניהן. כך, למשל, יש לנו:

- קבוצה של מספרים טבעיים N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … + ∞}.

- מערכת מספרים שלמים E = {-∞…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… + ∞}.

תת-קבוצה של מספרים רציונליים Q * = {-∞…, - ¼, - ½, 0, ¼, ½,… ∞}.

- סט המספרים האמיתיים R = {-∞…, - ½, -1, 0, ½, 1,… ∞}.

ערכות נקראות באותיות רישיות של האלף-בית; ואילו האלמנטים נקראים באותיות קטנות, בתוך סוגריים ({}) ומופרדים באמצעות פסיקים (,). הם מיוצגים בדרך כלל בתרשימים כמו ון וקרול, כמו גם באופן חישובי.

עם פעולות בסיסיות כמו איחוד, צומת, השלמה, הבדל ומוצר קרטזיאני, הסטים ואלמנטים שלהם מטופלים, על בסיס יחסי החברות.

ישנם כמה סוגים של קבוצות, שהנחקרים ביותר במתמטיקה נפרדת הם הבאים:

סט סופי

זהו אחד שיש לו מספר סופי של אלמנטים וזה תואם למספר טבעי. כך, למשל, A = {1, 2, 3,4} הוא קבוצה סופית שיש בה 4 אלמנטים.

סט חשבונאות אינסופי

זהו אחד שיש בו התאמה בין אלמנטים של סט למספרים הטבעיים; כלומר, מתוך אלמנט אחד ניתן לרשום ברצף את כל האלמנטים של סט.

באופן זה, כל אלמנט יתאים לכל אלמנט בקבוצת המספרים הטבעיים. לדוגמה:

את מערך המספרים השלמים Z = {… -2, -1, 0, 1, 2 …} ניתן לרשום כ Z = {0, 1, -1, 2, -2 …}. בדרך זו ניתן ליצור התאמה בין אחד לאחד בין היסודות של Z למספרים הטבעיים, כפי שניתן לראות בתמונה הבאה: