שיטת גאוס-זיידל: הסבר, יישומים, דוגמאות - מתמטיקה - 2026

שיטת גאוס-זיידל היא הליך איטרטיבי למציאת פתרונות משוערים למערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות בדיוק שנבחר באופן שרירותי. השיטה מיושמת על מטריצות מרובעות עם אלמנטים לא-רעים באלכסונים שלהם וההתכנסות מובטחת אם המטריצה ​​דומיננטית באלכסון.

זה נוצר על ידי קרל פרידריך גאוס (1777-1855), שנתן הפגנה פרטית לאחד מתלמידיו בשנת 1823. הוא פורסם לאחר מכן רשמית על ידי פיליפ לודוויג פון זיידל (1821-1896) בשנת 1874, ומכאן השם של שני המתמטיקאים.

איור 1. שיטת גאוס-זיידל מתכנסת במהירות בכדי להשיג את הפיתרון של מערכת משוואות. מקור: פ. זפטה.

להבנה מלאה של השיטה, יש לדעת שמטריצה ​​היא דומיננטית באלכסון כאשר הערך המוחלט של האלמנט האלכסוני בכל שורה גדול או שווה לסכום הערכים המוחלטים של שאר האלמנטים באותה שורה.

מבחינה מתמטית זה בא לידי ביטוי כך:

הסבר באמצעות מקרה פשוט

כדי להמחיש ממה מורכבת שיטת גאוס-זיידל, ניקח מקרה פשוט, בו ניתן למצוא את הערכים של X ו- Y במערכת 2 × 2 של משוואות ליניאריות המוצגות להלן:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

שלבים לביצוע

1 ראשית, יש לקבוע אם ההתכנסות בטוחה. מיד ניתן לראות כי למעשה מדובר במערכת דומיננטית באלכסון, מאחר ובשורה הראשונה למקדם הראשון יש ערך אבסולוטי גבוה יותר מהאחרים בשורה הראשונה:

-5 -> - 2-

כמו כן, המקדם השני בשורה השנייה הוא גם דומיננטי באלכסון:

--4 -> - 1-

2- המשתנים X ו- Y מנוקים:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3- ממוקם ערך ראשוני שרירותי, הנקרא "זרע": Xo = 1, I = 2.

4 - איטרציה מתחילה: להשיג את הקירוב הראשון X1, Y1, הזרע מוחלף במשוואה הראשונה של שלב 2 והתוצאה במשוואה השנייה של שלב 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- אנו ממשיכים בדרך דומה להשגת הקירוב השני לפיתרון מערכת המשוואות:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- איטרציה שלישית:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- איטרציה רביעית, כהיטרציה הסופית של המקרה הממחיש הזה:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

ערכים אלה מסכימים היטב עם הפיתרון שנמצא בשיטות רזולוציה אחרות. הקורא יכול לבדוק זאת במהירות בעזרת תוכנית מתמטיקה מקוונת.

ניתוח השיטה

כפי שניתן לראות, בשיטת גאוס-זיידל, יש להחליף את הערכים המשוערים המתקבלים עבור המשתנה הקודם באותו שלב במשתנה הבא. זה מבדיל אותו משיטות איטרטיביות אחרות כמו ג'ייקוביס, בהן כל צעד דורש קירוב של השלב הקודם.

שיטת גאוס-זיידל אינה הליך מקביל ואילו שיטת גאוס-ירדן היא. זו גם הסיבה שלשיטת גאוס-זיידל יש התכנסות מהירה יותר - בפחות צעדים - משיטת ירדן.

באשר למצב המטריצה ​​הדומיננטית באלכסון, זה לא תמיד מרוצה. עם זאת, ברוב המקרים פשוט החלפת השורות מהמערכת המקורית מספיקה בכדי להתקיים בתנאי. יתרה מזאת, השיטה מתכנסת כמעט תמיד, גם כאשר לא מתקיים תנאי הדומיננטיות האלכסונית.

את התוצאה הקודמת, שהושגה על ידי ארבע איטרציות של שיטת גאוס-זיידל, ניתן לכתוב בצורה עשרונית:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

הפיתרון המדויק למערכת המשוואות המוצעת הוא:

X = 2/11 = 0.1818

Y = 1/22 = 0.04545.

אז עם ארבע איטרציות בלבד אתה מקבל תוצאה באלף דיוק (0.001).

איור 1 ממחיש עד כמה איטרציות רצופות מתכנסות במהירות לפיתרון המדויק.

יישומים

שיטת גאוס-זיידל אינה מוגבלת למערכת 2 × 2 של משוואות לינאריות בלבד. ניתן להכליל את הנוהל הקודם לפיתרון מערכת ליניארית של n משוואות עם n לא ידוע, שמיוצגת במטריקס כמו זה:

א X = ב

כאשר A היא מטריצה ​​nxn, ואילו X הוא רכיבי הווקטור n של משתני ה- n שיש לחשב; ו- b הוא וקטור המכיל את הערכים של המונחים העצמאיים.

כדי להכליל את רצף האיטרציות המיושמות במקרה הממחיש למערכת nxn, שממנה משתנה Xi רוצה לחשב, תחול הנוסחה הבאה:

במשוואה זו:

- k הוא המדד לערך המתקבל באיטרציה k.

-k + 1 מציין את הערך החדש שלהלן.

המספר הסופי של איטרציות נקבע כאשר הערך המתקבל באיטרציה k + 1 שונה מזה שהושג מיד לפני כן, בכמות ε שהיא בדיוק הדיוק הרצוי.

דוגמאות לשיטת גאוס-זיידל

- דוגמה 1

כתוב אלגוריתם כללי המאפשר לחשב את הווקטור של פתרונות משוערים X של מערכת משוואות ליניארית nxn, בהינתן המטריצה ​​של מקדמים A, הווקטור של מונחים עצמאיים b , מספר האיטרציות (i ter) והערך הראשוני או "seed" "של וקטור X .

פִּתָרוֹן

האלגוריתם מורכב משני מחזורי "אל", האחד למספר האיטרציות והשני למספר המשתנים. זה יהיה כך:

עבור k ∊

עבור i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- דוגמא 2

בדוק את פעולת האלגוריתם הקודם באמצעות היישום שלו בתוכנה המתמטית החינמית והשימוש לשימוש SMath Studio, הזמינה עבור Windows ו- Android. קח כדוגמה את המקרה של המטריקס 2 × 2 שעזר לנו להמחיש את שיטת גאוס-זיידל.

פִּתָרוֹן

איור 2. איור 2. פתרון מערכת המשוואות של הדוגמא 2 x 2, באמצעות תוכנת SMath Studio. מקור: פ. זפטה.

- דוגמא 3

החל את אלגוריתם גאוס-זיידל עבור מערכת המשוואות 3 × 3 הבאה, שהוזמנה בעבר באופן כזה שמקדמי האלכסון דומיננטיים (כלומר, ערך מוחלט גדול יותר מערכים המוחלטים של המקדמים של באותה שורה):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

השתמש בווקטור ה- null כזרע ושקול חמישה איטרציות. הגב על התוצאה.

פִּתָרוֹן

איור 3. איור 3. פתרון מערכת המשוואות של דוגמא 3 שנפתרה, באמצעות SMath Studio. מקור: פ. זפטה.

עבור אותה מערכת עם 10 איטרציות במקום 5 מתקבלות התוצאות הבאות: X1 = -0.485; X2 = 1.0123; X3 = -0.3406

זה אומר לנו כי די בחמישה איטרציות בכדי להשיג שלושה מקומות עשרוניים של דיוק וכי השיטה מתכנסת במהירות לפיתרון.

- דוגמא 4

בעזרת האלגוריתם של גאוס-זיידל המצוי לעיל, מצא את הפיתרון למערכת המשוואות 4 × 4 המופיעה להלן:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

כדי להתחיל בשיטה, השתמש בזרע זה:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ו- x4 = 0

שקול 10 איטרציות והערך את שגיאת התוצאה, בהשוואה לאיטרציה מספר 11.

פִּתָרוֹן

איור 4. איור 4. פתרון מערכת המשוואות של דוגמא 4 שנפתרה, באמצעות SMath Studio. מקור: פ. זפטה.

כאשר משווים לאיטרציה הבאה (מספר 11), התוצאה זהה. ההבדלים הגדולים ביותר בין שני האיטרציות הם בסדר גודל של 2 × 10 ^-8 , מה שאומר ^{שלפתרון} המוצג יש דיוק של לפחות שבעה מקומות עשרוניים.

הפניות

1. שיטות פיתרון Iterative גאוס-זיידל. התאושש מ: cimat.mx
2. שיטות נומריות. גאוס-זיידל. התאושש מ: test.cua.uam.mx
3. נומרית: שיטת גאוס-זיידל. התאושש מ: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. ויקיפדיה. שיטת גאוס-זיידל. התאושש מ: en. wikipedia.com
5. ויקיפדיה. שיטת גאוס-זיידל. התאושש מ: es.wikipedia.com