השיטה של ​​אוילר: לשם מה, הליך ותרגילים - מתמטיקה - 2025

שיטת אוילר היא הנהלים הבסיסיים ופשוט ביותר להשתמש כדי למצוא פתרונות נומריים המשוער ל משוואות דיפרנציאליות רגילות של ההזמנה הראשונה, ובלבד המצב ההתחלתי ידוע.

משוואה דיפרנציאלית רגילה (ODE) היא המשוואה המתייחסת לפונקציה לא ידועה של משתנה עצמאי יחיד עם נגזרותיו.

קירובים רצופים בשיטת אוילר. מקור: אולג אלכסנדרוב

אם הנגזרת הגדולה ביותר שמופיעה במשוואה היא מדרגה אחת, הרי שהיא משוואת דיפרנציאל רגילה של התואר הראשון.

הדרך הכללית ביותר לכתוב משוואה לתואר הראשון היא:

x = x ₀

y = y ₀

מה השיטה של ​​אוילר?

הרעיון של השיטה של ​​אוילר הוא למצוא פיתרון מספרי למשוואת הדיפרנציאלי במרווח שבין X ₀ ל- X _f .

ראשית, המרווח מופרש בנקודות + 1:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

שמתקבלים כך:
x _i = x ₀ + ih

כאשר h הוא הרוחב או המדרגה של אינטרוולי המשנה:

עם התנאי הראשוני, אפשר לדעת את הנגזרת בהתחלה:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

נגזרת זו מייצגת את שיפוע קו המשיק לעיקול הפונקציה y (x) בדיוק בנקודה:

Ao = (x _o , y _o )

ואז נעשית חיזוי משוער לערך הפונקציה y (x) בנקודה הבאה:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

לאחר מכן הושגה הנקודה המשוערת של הפיתרון שתתאים ל:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

הנוהל חוזר על עצמו כדי להשיג את הנקודות הרצופות

A ₂ , A ₃ …, x _n

באיור המוצג בהתחלה, העקומה הכחולה מייצגת את הפיתרון המדויק של משוואת ההפרש, והאדום מייצג את הנקודות המשוערות ברציפות המתקבלות על ידי נוהל אוילר.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

I ) תן למשוואת ההפרש להיות:

עם התנאי הראשוני x = a = 0; ו- _a = 1

בשיטה של ​​אוילר, קבל פיתרון משוער של y בקואורדינטה X = b = 0.5, מחלק את המרווח ל n = 5 חלקים.

פִּתָרוֹן

התוצאות המספריות מסוכמות באופן הבא:

ממנה ניתן להסיק כי הפיתרון Y לערך 0.5 הוא 1.4851.

הערה: Smath Studio, תוכנית חינמית לשימוש חופשי, שימשה לביצוע החישובים.

תרגיל 2

II ) המשך עם המשוואה הדיפרנציאלית מתרגיל I), מצא את הפיתרון המדויק והשווה אותו לתוצאה שהתקבלה בשיטת אוילר. מצא את השגיאה או ההבדל בין התוצאה המדויקת לתוצאה המשוערת.

פִּתָרוֹן

הפיתרון המדויק לא קשה מאוד למצוא. נגזרת הפונקציה sin (x) ידועה כפונקציה cos (x). לפיכך הפיתרון y (x) יהיה:

y (x) = sin x + C

כדי שהתנאי הראשוני יתקיים ו (0) = 1, C הקבוע חייב להיות שווה ל 1. התוצאה המדויקת מושווה לתוצאה המשוערת:

מסקנה כי במרווח המחושב, לקירוב יש שלוש דמויות דיוק משמעותיות.

תרגיל 3

III ) שקול את משוואת ההפרש ואת תנאיה הראשוניים המפורטים להלן:

y '(x) = - y ²

עם התנאי הראשוני x ₀ = 0; ו- ₀ = 1

השתמש בשיטה של ​​אוילר כדי למצוא ערכים מקורבים של הפתרון y (x) במרווח x =. השתמש בשלב h = 0.1.

פִּתָרוֹן

השיטה של ​​יולר מתאימה מאוד לשימוש בגליון אלקטרוני. במקרה זה נשתמש בגיליון האלקטרוני הגיאוגרפי, תוכנית בחינם וקוד פתוח.

הגיליון האלקטרוני באיור מראה שלוש עמודות (A, B, C) הראשונה היא המשתנה x, העמודה השנייה מייצגת את המשתנה y, והעמודה השלישית היא הנגזרת y '.

שורה 2 מכילה את הערכים הראשוניים של X, Y, Y '.

שלב הערך 0.1 הוצב בתא המיקום המוחלט ($ D $ 4).

הערך ההתחלתי של y0 הוא בתא B2, ו- y1 הוא בתא B3. לחישוב y ₁ הנוסחה משמשת:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

נוסחת הגיליון האלקטרוני תהיה מספר B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

באופן דומה y2 יהיה בתא B4 והנוסחה שלו מוצגת באיור הבא:

התרשים מציג גם את הגרף של הפיתרון המדויק ואת הנקודות A, B, …, P של הפיתרון המשוער בשיטת Euler.

הדינמיקה הניוטונית והשיטה של ​​אוילר

הדינמיקה הקלאסית פותחה על ידי אייזק ניוטון (1643 - 1727). המניע המקורי של לאונרד אוילר (1707 - 1783) לפתח את שיטתו, היה בדיוק לפתור את משוואת החוק השני של ניוטון במצבים גופניים שונים.

החוק השני של ניוטון מתבטא בדרך כלל כמשוואה דיפרנציאלית לתואר השני:

כאשר x מייצג את מיקום האובייקט בזמן t. לאובייקט האמור יש מסה m והוא נתון לכוח F. הפונקציה f קשורה לכוח ולמסה כדלקמן:

כדי להחיל את השיטה של ​​אוילר, נדרשים הערכים הראשוניים של זמן t, מהירות v ומיקום x.

הטבלה הבאה מסבירה כיצד ניתן לקבל החל מערכים ראשוניים t1, v1, x1 קירוב למהירות v2 ולמיקום x2, ברגע t2 = t1 + Δt, כאשר Δt מייצג עלייה קטנה ומתאים לשלב בשיטה של אוילר.

תרגיל 4

IV ) אחת הבעיות היסודיות במכניקה היא זו של גוש המסה M הקשור לקפיץ (או קפיץ) של קבוע K אלסטי.

החוק השני של ניוטון לבעיה זו ייראה כך:

בדוגמה זו, לשם הפשטות ניקח את M = 1 ו- K = 1. מצא פתרונות משוערים למיקום x ולמהירות v בשיטת אוילר על מרווח הזמן על ידי חלוקת המרווח ל 12 חלקים.

קח 0 כנקודה מיידית, מהירות ראשונית 0 ומיקום התחלתי 1.

פִּתָרוֹן

התוצאות המספריות מוצגות בטבלה הבאה:

מוצגים גם גרשי המיקום והמהירות בין זמנים 0 ל 1.44.

תרגילים מוצעים לבית

תרגיל 1

השתמש בגיליון אלקטרוני כדי לקבוע פיתרון משוער בשיטת Euler למשוואת ההפרש:

y '= - Exp (-y) עם התנאים הראשוניים x = 0, y = -1 במרווח x =

התחל עם שלב 0.1. זמם את התוצאה.

תרגיל 2

בעזרת גיליון אלקטרוני, מצא פתרונות מספריים למשוואה ריבועית הבאה, כאשר y היא פונקציה של המשתנה הבלתי תלוי t.

y '' = - 1 / y² עם התנאי ההתחלתי t = 0; ו- (0) = 0.5; y '(0) = 0

מצא את הפיתרון במרווח באמצעות שלב של 0.05.

משרטט את התוצאה: y לעומת t; y vs t

הפניות

1. שיטת Eurler נלקחה מתוך wikipedia.org
2. פותר אוילר. נלקח מ- en.smath.com