שיטת הריבועים הפחותים היא אחד היישומים החשובים ביותר בקירוב פונקציות. הרעיון הוא למצוא עקומה כזו, בהינתן קבוצה של זוגות מסודרים, פונקציה זו מתקרבת בצורה הטובה ביותר לנתונים. הפונקציה יכולה להיות קו, עקומה ריבועית, מעוקב וכו '.
הרעיון של השיטה מורכב ממזעור סכום הריבועים של ההבדלים בתואר (רכיב Y), בין הנקודות שנוצרות על ידי הפונקציה שנבחרה לבין הנקודות השייכות לתשחץ.
שיטת הכיכרות הכי פחות
לפני שנתן את השיטה, עלינו ראשית להיות ברורים לגבי המשמעות של "גישה טובה יותר". נניח שאנחנו מחפשים קו y = b + mx שמייצג בצורה הטובה ביותר קבוצה של n נקודות, כלומר {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}.
כפי שמוצג באיור הקודם, אם המשתנים x ו- y היו קשורים בשורה y = b + mx, אז עבור x = x1 הערך המקביל של y יהיה b + mx1. עם זאת, ערך זה שונה מהערך האמיתי של y, שהוא y = y1.
זכרו שבמטוס, המרחק בין שתי נקודות ניתן על ידי הנוסחה הבאה:
עם זאת בחשבון, כדי לקבוע את הדרך לבחור את השורה y = b + mx המתקרבת בצורה הטובה ביותר לנתונים הנתונים, נראה הגיוני להשתמש בתור קריטריון בבחירת הקו שממזער את סכום הריבועים של המרחקים בין הנקודות והישר.
מכיוון שהמרחק בין הנקודות (x1, y1) ו- (x1, b + mx1) הוא y1- (b + mx1), הבעיה שלנו מצמצמת למצוא את המספרים m ו- b כך שהסכום הבא הוא מינימלי:
הקו העומד בתנאי זה ידוע כ"קירוב של קו הריבועים הכי פחות לנקודות (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) ".
ברגע שהתקבלה הבעיה, נותר רק לבחור שיטה למצוא את קירוב המשבצות הכי פחות. אם הנקודות (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) נמצאים כולם על הקו y = mx + b, היינו צריכים להיות שהם קולניים y:
בביטוי זה:
לבסוף, אם הנקודות אינן קו-ישר, אז y-Au = 0 וניתן לתרגם את הבעיה למציאת וקטור u כך שהנורמה האוקלידית היא מינימלית.
מציאת הווקטור u למזעור אינו קשה כפי שאפשר לחשוב. מכיוון ש- A היא מטריצה של nx2 ו- u מטריצה של 2 × 1, יש לנו שהווקטור Au הוא וקטור ב- R n ושייך לתמונה של A, שהיא תת-מרחב של R n עם ממד שאינו גדול משניים.
נניח ש- n = 3 כדי להראות לאיזה הליך לעקוב. אם n = 3, התמונה של A תהיה מישור או קו דרך המקור.
תן ל- v להיות הווקטור המזער. באיור אנו רואים כי y-Au ממוזער כאשר הוא אורתוגונלי לתמונתו של A. כלומר, אם v הוא הווקטור המזער, אז קורה כי:
לאחר מכן, אנו יכולים לבטא את האמור לעיל בדרך זו:
זה יכול לקרות רק אם:
לבסוף, לפיתרון עבור v, יש לנו:
אפשר לעשות זאת מאחר ש- A t A אינו ניתן להמרה כל עוד הנקודות הנותנות כנתונים אינן בעלות קו רוחב.
כעת, אם במקום לחפש קו נרצה למצוא פרבולה (שהביטוי שלה יהיה בצורה y = a + bx + cx 2 ) שתהיה קירוב טוב יותר לנקודות הנתונים n, הנוהל יהיה כפי שמתואר להלן.
אם נקודות ה- n היו נמצאות בפרבולה זו, היינו צריכים:
לאחר מכן:
באופן דומה אנו יכולים לכתוב y = Au. אם כל הנקודות אינן בפרבולה, יש לנו כי y-Au שונה מאפס עבור כל וקטור u והבעיה שלנו היא שוב: מצא וקטור u ב- R3 כך שהנורמה שלו - y-Au-- היא קטנה ככל האפשר .
חוזרים על הנוהל הקודם, אנו יכולים להגיע לכך שהווקטור המבוקש הוא:
תרגילים שנפתרו
תרגיל 1
מצא את הקו המתאים ביותר לנקודות (1,4), (-2,5), (3, -1) ו- (4,1).
פִּתָרוֹן
אנחנו חייבים:
לאחר מכן:
לכן, אנו מסיקים כי הקו המתאים ביותר לנקודות ניתן על ידי:
תרגיל 2
נניח שחפץ נופל מגובה של 200 מ '. ככל שזה נופל, הצעדים הבאים ננקטים:
אנו יודעים שגובהו של האובייקט האמור, לאחר שחלף זמן t, ניתן על ידי:
אם ברצוננו להשיג את הערך של g, נוכל למצוא פרבולה שהיא קירוב טוב יותר לחמש הנקודות שניתנות בטבלה, וכך יהיה לנו שהמקדם שמלווה ל- t 2 יהיה קירוב סביר ל (-1/2) g אם המדידות מדויקות.
אנחנו חייבים:
ומאוחר יותר:
כך שנקודות הנתונים מתאימות לביטוי הריבועי הבא:
אז, עליכם:
זהו ערך שקרוב למדי לתקן, שהוא g = 9.81 m / s 2 . על מנת לקבל קירוב מדויק יותר ל- g, יהיה צורך להתחיל מתצפיות מדויקות יותר.
לשם מה זה?
בבעיות המתרחשות במדעי הטבע או החברה, נוח לכתוב את הקשרים שקיימים בין משתנים שונים באמצעות ביטוי מתמטי כלשהו.
לדוגמה, בכלכלה נוכל לקשר בין עלות (C), הכנסה (I) ורווחים (U) באמצעות נוסחה פשוטה:
בפיזיקה, אנו יכולים להתייחס לתאוצה הנגרמת על ידי כוח הכבידה, הזמן בו נפל אובייקט וגובה האובייקט על פי חוק:
בביטוי הקודם s o הוא הגובה הראשוני של האובייקט האמור ו- v o הוא המהירות הראשונית שלו.
עם זאת, מציאת נוסחאות כאלה אינה משימה קלה; בדרך כלל זה על איש המקצוע התורן לעבוד עם הרבה נתונים ולעשות שוב ושוב מספר ניסויים (על מנת לוודא שהתוצאות המתקבלות קבועות) כדי למצוא קשרים בין הנתונים השונים.
דרך נפוצה להשיג זאת היא לייצג את הנתונים המתקבלים במטוס כנקודות ולחפש פונקציה רציפה המתקרבת בצורה מיטבית לאותן נקודות.
אחת הדרכים למצוא את הפונקציה ש"קירבה בצורה הטובה ביותר "את הנתונים הנתונים היא בשיטה של הכי פחות ריבועים.
בנוסף, כפי שראינו גם בתרגיל, בזכות שיטה זו אנו יכולים לקבל קירובים קרובים למדי לקבועים גופניים.
הפניות
- צ'רלס וו קרטיס אלגברה לינארית. שפרינגר ולרג
- קאי לאי צ'ונג. תורת היכולת היסודית עם תהליכים סטוכסטיים. ספרינגר-ורלאג ניו יורק בע"מ
- Richar L Burden & J.Douglas Faires. ניתוח נומרי (7ed). תומפסון למידה.
- סטנלי I. גרוסמן. יישומים של אלגברה לינארית. MCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE MEXICO
- סטנלי I. גרוסמן. אלגברה ליניארית. MCGRAW-היל / INTERAMERICANA DE MEXICO