המודול של יאנג: חשבון, יישומים, דוגמאות, תרגילים - גוּפָנִי - 2025

מודול יאנג מודולוס או אלסטי הוא הקבוע הנוגעים מתיחה או דחיסה עם העלייה בהתאמה או ירידה באורך שיש האובייקט תחת כוחות אלה.

כוחות חיצוניים המופעלים על עצמים לא יכולים רק לשנות את מצב התנועה שלהם, אלא גם מסוגלים לשנות את צורתם או אפילו לשבור אותם או לשבור אותם.

איור 1. תנועות החתול מלאות באלסטיות וחן. מקור: Pixabay.

המודולוס של יאנג משמש לחקר השינויים המיוצרים בחומר כאשר כוח מתיחה או דחיסה מופעלים חיצונית. זה שימושי מאוד במקצועות כמו הנדסה או אדריכלות.

המודל חייב את שמו למדען הבריטי תומאס יאנג (1773-1829), שהיה זה שביצע מחקרים על חומרים שהציעו מידה לקשיחות של חומרים שונים.

מה המודל של יאנג?

המודל של יאנג הוא מדד לקשיחות. בחומרים עם קשיחות נמוכה (אדום) יש יותר עיוותים תחת עומס הרחבה או דחיסה. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

כמה ניתן לעוות אובייקט? זה מה שהנדסים לרוב רוצים לדעת. התשובה תהיה תלויה בתכונות החומר ובממדים שיש לו.

לדוגמה, תוכלו להשוות בין שני מוטות עשויים אלומיניום בממדים שונים. לכל אחד מהם שטח וחתך רוחב שונה, ושניהם נתונים לאותו כוח מתיחה.

ההתנהגות הצפויה תהיה הבאה:

- ככל שעובי (חתך רוחב) של המוט גדול יותר, כך הוא נמתח פחות.

- ככל שהאורך הראשוני ארוך יותר, כך המתיחה הסופית גדולה יותר.

זה הגיוני, כי אחרי הכל, הניסיון מלמד שניסיון לעוות רצועת גומי אינו זהה לנסות לעשות זאת עם מוט פלדה.

פרמטר שנקרא מודול האלסטיות של החומר הוא אינדיקציה לתגובה האלסטית שלו.

איך זה מחושב?

בהיותו רופא, יאנג רצה לדעת את תפקיד גמישות העורקים בביצועים הטובים של זרימת הדם. מנסיותיו הוא סיכם את הקשר האמפירי הבא:

ניתן לייצג באופן גרפי את התנהגותו של חומר תחת יישום לחץ, כפי שמוצג באיור הבא.

איור 2. תרשים מתח ולחץ מול חומר. מקור: תוצרת עצמית.

ממוצא לנקודה א '

בחלק הראשון, העובר מהמקור לנקודה A, הגרף הוא קו ישר. חוק הוק תקף שם:

F = kx

כאשר F הוא גודל הכוח שמחזיר את החומר למצבו המקורי, x הוא העיוות שחווה אותו ו- k הוא קבוע התלוי באובייקט הנתון למתח.

העיוותים הנחשבים כאן הם קטנים וההתנהגות אלסטית לחלוטין.

מא 'לב'

מ- A ל- B החומר גם מתנהג בצורה אלסטית, אך הקשר בין מתח ומתח אינו עוד ליניארי.

מב 'עד ג'

בין הנקודות B ו- C עובר החומר עיוות קבוע, מכיוון שאינו מסוגל לחזור למצבו המקורי.

מ- C

אם החומר ממשיך להימתח מנקודה C, הוא בסופו של דבר נשבר.

באופן מתמטי, ניתן לסכם את התצפיות של יאנג באופן הבא:

מתח ∝ זן

כאשר קבוע המידתיות הוא בדיוק מודול האלסטיות של החומר:

מתח = מודול של גמישות x עיוות

ישנן דרכים רבות לעיוות חומרים. שלושת סוגי הלחץ הנפוצים ביותר אליהם נתון אובייקט הם:

- מתח או מתיחה.

- דחיסה.

- חתוך או גזז.

מתח אחד שמקובל לחומר לחומרים, למשל בבנייה אזרחית או בחלקי רכב, הוא המתיחה.

נוסחאות

כאשר חפץ באורך L נמתח או נמתח, הוא נתון למתיחה הגורמת לשינוי באורכו. תרשים של מצב זה מיוצג באיור 3.

זה דורש ליישם כוח בעוצמה F על כל שטח יחידה על קצותיו, כדי לגרום למתיחה, באופן שאורכו החדש יהפוך ל- L + DL.

המאמץ שעושה את עיוות האובייקט יהיה בדיוק כוח זה לכל שטח יחידה, בעוד שהמתח שחווה הוא ΔL / L

איור 3. חפץ הנתון למתיחה או מתיחה חווה התארכות. מקור: תוצרת עצמית.

מציין את המודולוס של יאנג כ- Y, ולפי האמור לעיל:

התשובה נעוצה בעובדה שהזן מציין את המתח היחסי ביחס לאורך המקורי. זה לא כמו שבר 1 מטר נמתח או מתכווץ בקוטר 1 ס"מ, מאחר שמבנה באורך 100 מטר מעוות 1 ס"מ באותה מידה.

לתפקוד תקין של חלקים ומבנים, קיימת סובלנות ביחס לעיוותים היחסיים המותרים.

משוואה לחישוב עיוות

אם המשוואה לעיל מנותחת באופן הבא:

- ככל ששטח החתך גדול יותר, עיוותים פחות.

- ככל שהאורך ארוך יותר, כך העיוות גדול יותר.

- ככל שהמודולוס של הצעיר גבוה יותר, עיוותו נמוך יותר.

יחידות מתח מתאימות לניוטונים / מטר רבוע (N / m ² ). הם גם יחידות הלחץ, שבמערכת הבינלאומית נושאים את שמו של פסקל. המתח ΔL / L, לעומת זאת, הוא חסר ממדים מכיוון שהוא המנה בין שני אורכים.

היחידות של המערכת האנגלית הינן lb / in ² ומשמשות גם לעתים קרובות מאוד. גורם ההמרה לעבור מאחד לשני הוא: 14.7 lb / in ² = 1.01325 x 10 ⁵ Pa

זה מוביל למודולוס של הצעירים גם הוא עם יחידות לחץ. לבסוף, ניתן לבטא את המשוואה הנ"ל לפתור עבור Y:

במדע החומרים, התגובה האלסטית של אלה למאמצים שונים חשובה לבחור את המתאים ביותר לכל יישום, בין אם מדובר בייצור כנף מטוס או מיסב רכב. מאפייני החומר שישמשו הם מכריעים בתגובה המצופה ממנו.

כדי לבחור את החומר הטוב ביותר, יש לדעת את הלחצים אליהם נתון יצירה מסוימת; וכתוצאה מכך בחר בחומר שיש לו את התכונות המתאימות ביותר לתכנון.

לדוגמא, הכנף של מטוס חייבת להיות חזקה, קלה ומסוגלת להתכווץ. החומרים המשמשים להקמת מבנים חייבים להתנגד לתנועות סיסמיות במידה רבה, אך עליהם להיות בעלי גמישות מסוימת.

מהנדסים המעצבים כנפי מטוס, וגם אלה שבוחרים בחומרי בנייה, חייבים לעשות שימוש בתרשימי מתח-לחץ כמו זה שמוצג באיור 2.

ניתן לבצע מדידות לקביעת המאפיינים האלסטיים הרלוונטיים ביותר של חומר במעבדות המתמחות. לפיכך, ישנן בדיקות סטנדרטיות עליהן נתונות הדגימות, עליהן מוחלים מתחים שונים ואז נמדדים העיוותים המתקבלים.

דוגמאות

כאמור לעיל, Y אינו תלוי בגודל העצם או בצורתו, אלא במאפייני החומר.

הערה חשובה מאוד נוספת: על מנת שהמשוואה שניתנה לעיל תחול, החומר חייב להיות איזוטרופי, כלומר תכונותיו חייבות להישאר ללא שינוי לאורך כל הדרך.

לא כל החומרים הם איזוטרופיים: יש כאלה שהתגובה האלסטית שלהם תלויה בפרמטרים כיווניים מסוימים.

העיוות שמנותח בקטעים הקודמים הוא רק אחד מהרבים שאפשר להטיל עליהם חומר. לדוגמא, מבחינת לחץ דחיסה, זה ההפך ממתח מתיחה.

המשוואות שניתנו חלות על שני המקרים, והערכים של Y כמעט תמיד זהים (חומרים איזוטרופיים).

יוצא מן הכלל הבולט הוא בטון או מלט, המתנגד לדחיסה טוב יותר ממתח. לכן יש לחזק אותו כאשר נדרשת התנגדות למתיחות. פלדה היא החומר המצוין לכך שכן היא מתנגדת היטב למתיחה או מתיחה.

דוגמאות למבנים שנמצאים תחת לחץ כוללים עמודי בנייה וקשתות, אלמנטים מבניים קלאסיים בתרבויות קדומות ומודרניות רבות.

איור 4. האיור פונט ג'וליאן, קונסטרוקציה רומאית משנת 3 לפני הספירה בדרום צרפת.

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

חוט פלדה ארוך באורך 2.0 מ 'בכלי נגינה רדיוס של 0.03 מ"מ. כאשר הכבל נמצא במתח של 90 N: כמה משתנה אורכו? נתונים: מודולוס הפלדה של יאנג הוא 200 x 10 ⁹ N / m ²

פִּתָרוֹן

זה נדרש לחשב את שטח החתך A = πR ² = π. (0.03 x 10 ^-3 מ ') ² = 2.83 x 10 ^-9 m ²

מתח הוא מתח ליחידה:

מכיוון שהמיתר נמצא במתח, המשמעות היא שהוא מתארך.

האורך החדש הוא L = L _o + DL, כאשר L _o הוא האורך הראשוני:

L = 2.32 מ '

תרגיל 2

עמוד שיש, שטחי חתך הוא 2.0 מ ' ^2, תומך במסה של 25,000 ק"ג. למצוא:

א) המאמץ בעמוד השדרה.

ב) זן.

ג) כמה קצר העמוד אם גובהו 12 מ '?

פִּתָרוֹן

א) המאמץ בעמודה נובע ממשקלו של 25000 ק"ג:

P = מ"ג = 25000 ק"ג x 9.8 מ '/ ש' ² = 245,000 N

לכן המאמץ הוא:

ב) הזן הוא ΔL / L:

ג) ΔL הוא הווריאציה של האורך, הניתנת על ידי:

ΔL = 2.45 x 10 ^-6 x 12 מ '= 2.94 x10 ^-5 מ' = 0.0294 מ"מ.

עמוד השיש לא צפוי להתכווץ באופן משמעותי. שימו לב שלמרות שהמודולוס של יאנג נמוך יותר משיש מאשר בפלדה, וכי העמוד תומך גם בכוח גדול בהרבה, אורכו כמעט ואינו משתנה.

מצד שני, בחבל של הדוגמה הקודמת הווריאציה ניכרת בהרבה, אם כי לפלדה יש ​​מודולוס של יאנג גבוה בהרבה.

שטח החתך הגדול שלו מתערב בעמודה, ולכן הוא הרבה פחות מעוות.

על תומאס יאנג

1822 דיוקנו של תומאס יאנג. תומאס לורנס / רשות הרבים

מודול האלסטיות נקרא על שם תומאס יאנג (1773-1829), מדען בריטי רב תכליתי אשר תרם תרומות רבות למדע בתחומים רבים.

כפיסיקאי, יאנג לא רק חקר את טבעו של האור, שנחשף על ידי הניסוי המפורסם עם שני חריצים, אלא שהוא גם היה רופא, בלשן, ואף סייע בפענוח חלק מההירוגליפים המצריים באבן הרוזטה המפורסמת.

הוא היה חבר בחברה המלכותית, באקדמיה המלכותית השוודית למדעים, באקדמיה האמריקאית לאמנויות ומדעים או באקדמיה הצרפתית למדעים, בין מוסדות מדעיים אחרים.

עם זאת, יש לציין כי מושג המודל פותח בעבר על ידי לאונהר אוילר (1707-1873), וכי מדענים כמו ג'ורדנו ריקאטי (1709-1790) כבר ביצעו ניסוי שהיה יכול להוציא לפועל את המודל של יאנג. .

הפניות

1. Bauer, W. 2011. פיזיקה להנדסה ומדעים. כרך 1. מק גריי היל. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. פיזיקה: עקרונות עם יישומים. המהדורה השישית. אולם פרנטיס. 238–249.