אלגברה וקטורית: יסודות, גודל, ווקטורים - מתמטיקה

אלגברה וקטורית היא ענף של המתמטיקה אשר מחקרים מערכות של משוואות ליניאריות, וקטורים, מטריצות, מרחבים וקטוריים טרנספורמציות לינאריות. זה קשור לתחומים כמו הנדסה, פתרון של משוואות דיפרנציאליות, ניתוח פונקציונאלי, מחקר פעולות, גרפיקה ממוחשבת, ועוד.

תחום נוסף אותו אימץ אלגברה לינארית הוא הפיזיקה, מכיוון שדרך זו ניתן היה לפתח את חקר התופעות הגופניות, ותאר אותן באמצעות וקטורים. זה איפשר הבנה טובה יותר של היקום.

יסודות

אלגברה וקטורית מקורם בחקר לועי הטבע (הרחבה של מספרים אמיתיים) 1, i, j ו- k, כמו גם מהגיאומטריה הקרטזית שקידמה גיבס והייוויסייד, שהבינו כי וקטורים ישמשו כלי ל מייצגים תופעות גופניות שונות.

אלגברה וקטורית נלמדת באמצעות שלושה יסודות:

גיאומטרית

וקטורים מיוצגים על ידי קווים בעלי אוריינטציה, ופעולות כמו הוספה, חיסור וכפל במספרים אמיתיים מוגדרות בשיטות גיאומטריות.

אנליטית

תיאור הווקטורים ופעולותיהם נעשה באמצעות מספרים, המכונים רכיבים. תיאור מסוג זה הוא תוצאה של ייצוג גיאומטרי מכיוון שמשתמשים במערכת קואורדינטות.

בצורה אקסיומטית

תיאור הווקטורים נעשה ללא קשר למערכת הקואורדינטות או כל סוג של ייצוג גיאומטרי.

חקר הדמויות בחלל נעשה באמצעות ייצוגן במערכת הפניה, שיכולה להיות במימד אחד או יותר. בין המערכות העיקריות:

- מערכת חד ממדית, שהיא קו בו נקודה (O) מייצגת את המקור ונקודה אחרת (P) קובעת את הסולם (אורך) ואת כיוונה:

- מערכת קואורדינטות מלבניות (דו ממדיות), המורכבת משני קווים בניצב הנקראים ציר ה- x וציר ה- Y, העוברים דרך נקודה (O); באופן זה המטוס מחולק לארבעה אזורים הנקראים רבועים. במקרה זה נקודה (P) במטוס ניתנת על ידי המרחקים הקיימים בין הצירים לפ '.

- מערכת קואורדינטות קוטביות (דו ממדי). במקרה זה המערכת מורכבת מנקודה O (מקור) הנקראת הקוטב ומקרן עם מקור במקור O הנקראת ציר הקוטב. במקרה זה נקודת P של המטוס, בהתייחס לקוטב ולציר הקוטבי, ניתנת על ידי הזווית (Ɵ) הנוצרת על ידי המרחק הקיים בין המקור לנקודה P.

- מערכת תלת ממדית מלבנית, שנוצרת על ידי שלושה קווים בניצב (x, y, z) שמקורם נקודה O בחלל. נוצרים שלושה מטוסי קואורדינטות: xy, xz ו- yz; החלל יחולק לשמונה אזורים הנקראים אוקטנטים. ההתייחסות לנקודה P במרחב ניתנת על ידי המרחקים הקיימים בין המטוסים לפ.

גודל

גודל הוא כמות פיזית שניתן לספור או למדוד באמצעות ערך מספרי, כמו במקרה של כמה תופעות פיזיות; עם זאת, לעיתים קרובות יש צורך להיות מסוגלים לתאר תופעות אלה עם גורמים שאינם מספריים. זו הסיבה שהעוצמות מסווגות לשני סוגים:

גודל סולם

אלה הכמויות המוגדרות ומיוצגות באופן מספרי; כלומר על ידי מודול יחד עם יחידת מידה. לדוגמה:

א) זמן: 5 שניות.

ב) מסת: 10 ק"ג.

ג) נפח: 40 מ"ל.

ד) טמפרטורה: 40 מעלות צלזיוס.

גודל וקטורי

אלה הכמויות שמוגדרות ומוצגות על ידי מודול יחד עם יחידה, כמו גם על ידי תחושה וכיוון. לדוגמה:

א) מהירות: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

ב) האצה: 13 מ '/ שניות ² ; S 45º E.

ג) כוח: 280 N, 120º.

ד) משקל: -40 ĵ ק"ג-ו.

כמויות וקטוריות מיוצגות באופן גרפי על ידי וקטורים.

מהם וקטורים?

וקטורים הם ייצוג גרפי של כמות וקטורית; כלומר הם קטעי קו שבהם הסוף הסופי שלהם הוא קצה החץ.

אלה נקבעים על ידי אורך המודול או הקטע שלו, כיוונו, המצוין על ידי קצה החץ, וכיוונו בהתאם לקו אליו הוא שייך. מקורו של וקטור ידוע גם כנקודת היישום.

האלמנטים של וקטור הם כדלקמן:

מודול

זהו המרחק מהמוצא לסופו של וקטור, המיוצג על ידי מספר אמיתי יחד עם יחידה. לדוגמה:

-OM- = -A- = A = 6 ס"מ

כתובת

זהו מדד הזווית הקיימת בין ציר ה- x (מהחיובי) לבין הווקטור, כמו גם משתמשים בנקודות הקרדינל (צפון, דרום, מזרח ומערב).

לָחוּשׁ

זה ניתן על ידי ראש החץ הממוקם בסוף הווקטור, המציין לאן הוא הולך.

סיווג וקטורים

באופן כללי, וקטורים מסווגים כ:

וקטור קבוע

זו אחת שנקודת היישום שלה (מקור) קבועה; כלומר הוא נשאר קשור לנקודה בחלל, כך שהוא לא יכול לנוע בתוכו.

וקטור חופשי

הוא יכול לנוע בחופשיות בחלל מכיוון שמקורו נע לכל נקודה בלי לשנות את המודול, הכיוון או הכיוון שלו.

וקטור המחוון

זהו אחד שיכול להעביר את מקורו לאורך קו הפעולה שלו מבלי לשנות את המודול, הכיוון או הכיוון שלו.

מאפייני וקטורים

בין המאפיינים העיקריים של וקטורים הם הבאים:

עדשות צוות וקטורים

הם אותם וקטורים חופשיים שיש להם את אותו מודול, כיוון (או שהם מקבילים) ומרגישים כווקטור הזזה או וקטור קבוע.

וקטורים שווים

זה מתרחש כששני וקטורים בעלי אותו כיוון (או שהם מקבילים), אותו חוש, ולמרות שיש להם מודולים ונקודות יישום שונים, הם גורמים לאותם השפעות.

שוויון וקטורי

לאלו יש את אותו מודול, כיוון וחוש, גם כאשר נקודות המוצא שלהם שונות, מה שמאפשר לווקטור מקביל לתרגם את עצמו מבלי להשפיע עליו.

מול וקטורים

הם אלה שיש להם את אותו מודול וכיוון זה, אבל המשמעות שלהם הפוכה.

וקטור יחידה

זהו אחד שהמודול שווה ליחידה (1). זה מתקבל על ידי חלוקת הווקטור במודול שלו ומשמש לקביעת כיוונו ותחושתו של וקטור, בין אם הוא במישור או בחלל, באמצעות בסיסי וקטורי היחידה המורמללים, שהם:

וקטור אפסי

זהו אחד שהמודולוס שלו שווה ל 0; כלומר, נקודת המוצא והסוף שלה חופפים באותה נקודה.

רכיבי וקטור

המרכיבים של וקטור הם הערכים של תחזיות הווקטור על הצירים של מערכת ההתייחסות; בהתאם לפירוק הווקטור, שיכול להיות בצירים שניים או תלת מימדיים, יתקבלו שניים או שלושה רכיבים בהתאמה.

המרכיבים של וקטור הם מספרים אמיתיים, שיכולים להיות חיוביים, שליליים או אפילו אפסיים (0).

כך, אם יש לנו וקטור Ā, שמקורו במערכת קואורדינטות מלבנית במישור ה- xy (דו ממדי), ההקרנה על ציר ה- x היא andx וההקרנה על ציר ה- y היא Āy. לפיכך, הווקטור יבוא לידי ביטוי כסכום של וקטורי המרכיב שלו.

דוגמאות

דוגמא ראשונה

יש לנו וקטור Ā המתחיל מהמקור והקואורדינטות של קצוותיו ניתנים. לפיכך, הווקטור Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) ס"מ.

אם הווקטור Ā פועל במקורה של מערכת קואורדינטות משולשת תלת ממדית (בחלל) x, y, z, עד לנקודה אחרת (P), התחזיות על הצירים שלו יהיו Āx, Āy ו- Āz; לפיכך, הווקטור יבוא לידי ביטוי כסכום של שלושת הווקטורים המרכיבים אותו.

דוגמא שנייה

יש לנו וקטור Ā המתחיל מהמקור והקואורדינטות של קצוותיו ניתנים. לפיכך, וקטור A = (א _x , A _y,_z ) = (4, 6, -3) ס"מ.

וקטורים שיש להם קואורדינטות מלבניות יכולים לבוא לידי ביטוי מבחינת וקטורי הבסיס שלהם. לצורך כך, יש להכפיל כל קואורדינטה רק עם וקטור היחידה המתאים לה, באופן שעבור המטוס והמרחב הם יהיו הבאים:

עבור המטוס: Ā = A _x i + A _y j.

עבור המרחב: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

פעולות וקטוריות

ישנם כמויות רבות שיש להם מודול, תחושה וכיוון, כמו תאוצה, מהירות, תזוזה, כוח, בין היתר.

אלה מיושמים בתחומי מדע שונים, וכדי ליישם אותם יש צורך במקרים מסוימים לבצע פעולות כמו הוספה, חיסור, כפל וחלוקת וקטורים וסקלרים.

תוספת וחיסור של וקטורים

תוספת וחיסור של וקטורים נחשבת כפעולה אלגברית יחידה מכיוון שניתן לכתוב את החיסור כסכום; לדוגמא, חיסור הווקטורים Ā ו- Ē יכול לבוא לידי ביטוי כ:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

ישנן שיטות שונות לבצע הוספה וחיסור של וקטורים: הם יכולים להיות גרפיים או אנליטיים.

שיטות גרפיות

משמש כאשר לווקטור יש מודול, כיוון וכיוון. לשם כך משורטטים קווים היוצרים דמות העוזרת בהמשך לקביעת התוצאה. בין הידועים ביותר הם הבאים:

שיטת מקבילית

כדי לבצע הוספה או חיסור של שני וקטורים, נקודה משותפת נבחרת על ציר הקואורדינטות - שתייצג את נקודת המוצא של הווקטורים- תוך שמירה על המודול, הכיוון והכיוון שלה.

לאחר מכן נמשכים קווים במקביל לווקטורים ליצירת מקבילית. הווקטור המתקבל הוא האלכסון העובר מנקודת המוצא של שני הווקטורים לקודקוד המקביל:

שיטת משולש

בשיטה זו הווקטורים ממוקמים בזה אחר זה, תוך שמירה על המודולים, ההוראות וההוראות שלהם. הווקטור המתקבל יהיה האיחוד בין מקורו של הווקטור הראשון עם סיום הווקטור השני:

שיטות אנליטיות

ניתן להוסיף או לחסור שני וקטורים או יותר בשיטה גיאומטרית או וקטורית:

שיטה גיאומטרית

כאשר שני וקטורים יוצרים משולש או מקביל, m). לדחוף ({});

- מאפיין חלוקתי סקלרי: אם וקטור מוכפל בסכום של שתי סקלרים, הוא שווה לכפל הווקטור לכל סולם.

כפל וקטורים

הכפל או התוצר של וקטורים יכול להיעשות כתוספת או חיסור, אך פעולה כזו מאבדת את המשמעות הפיזית וכמעט ולא נמצאת ביישומים. מסיבה זו, סוגי המוצרים הנפוצים ביותר הם המוצר הסקלרי והווקטורי.

מוצר סקלרי

זה ידוע גם כמוצר הנקודה של שני וקטורים. כאשר המודולים של שני וקטורים מוכפלים על ידי הקוסינוס של הזווית הקטנה ביותר שנוצרת ביניהם, מתקבל סקלר. כדי לבטא מוצר סקלרי בין שני וקטורים, מונחת נקודה ביניהם, וניתן להגדיר את זה כ:

ערך הזווית הקיימת בין שני הווקטורים יהיה תלוי אם הם מקבילים או בניצב; לפיכך, עליכם:

- אם הווקטורים מקבילים ובעלי אותה חוש, הקוסינוס 0º = 1.

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם כיוונים מנוגדים, קוסינוס 180º = -1.

- אם הווקטורים בניצב, קוסינוס 90 מעלות = 0.

ניתן לחשב את הזווית הזו גם בידיעה ש:

למוצר הנקודה יש את המאפיינים הבאים:

- תכונה קומוטטיבית: סדר הווקטורים אינו משנה את הסולם.

-מאפיין חלוקתי: אם סקלר מוכפל בסכום של שני וקטורים, הוא שווה לכפל הסקלר עבור כל וקטור.

מוצר וקטורי

כפל וקטורי, או תוצר צולב של שני וקטורים A ו- B, יביא לווקטור C חדש והוא יבוא לידי ביטוי בצלב בין הווקטורים:

הווקטור החדש יהיה בעל מאפיינים משלו. בצורה זו:

- הכיוון: וקטור חדש זה יהיה בניצב למישור, אשר נקבע על ידי הווקטורים המקוריים.

- הכיוון: זה נקבע עם הכלל של יד ימין, כאשר הווקטור A מסובב לכיוון B, מציין את כיוון הסיבוב עם האצבעות, וכיוון הווקטור מסומן באגודל.

- המודול: הוא נקבע על ידי כפל המודולים של הווקטורים AxB, על ידי הסינוס של הזווית הקטנה ביותר שקיימת בין וקטורים אלה. זה בא לידי ביטוי:

ערך הזווית הקיימת בין שני הווקטורים יהיה תלוי אם הם מקבילים או בניצב. אז, ניתן לקבוע את הדברים הבאים:

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם אותה חוש, סינוס 0º = 0.

- אם הווקטורים מקבילים ויש להם כיוונים מנוגדים, סינוס 180º = 0.

- אם הווקטורים בניצב, סינוס 90 מעלות = 1.

כאשר מוצר וקטורי בא לידי ביטוי במונחים של וקטורי הבסיס שלו, יש לנו: