חוקי אקספונסנטים (עם דוגמאות ותרגילים שנפתרו) - מתמטיקה - 2025

חוקי המעריכים הם אלה החלימו על המספר המציין כמה פעמים מספר בסיס חייב להיות מוכפל עוצמה. המוצאים ידועים גם ככוחות. העצמה היא פעולה מתמטית הנוצרת על ידי בסיס (א), המרכיב (m) והכוח (b), שהוא תוצאה של הפעולה.

בדרך כלל משתמשים בממצאים כאשר משתמשים בכמויות גדולות מאוד, מכיוון שאלו אינם אלא קיצורים המייצגים את הכפל של אותו מספר בכמות מסוימת של פעמים. הממצאים יכולים להיות חיוביים ושליליים כאחד.

הסבר על חוקי המרחבים

כאמור, אקספוננטים הם צורה קצרה המייצגת הכפלה של מספרים בעצמם מספר פעמים, כאשר המוצפן מתייחס למספר השמאלי בלבד. לדוגמה:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

במקרה זה המספר 2 הוא בסיס הכוח, אשר יוכפל פי 3 כפי שמציין המפיץ, שנמצא בפינה הימנית העליונה של הבסיס. ישנן דרכים שונות לקרוא את הביטוי: 2 מורמים ל -3 או 2 מורמים לקוביה.

המרחבים מציינים גם את מספר הפעמים שניתן לחלק אותם, וכדי להבדיל בין פעולה זו לבין הכפלה יש בפני האקספונסנט את סימן המינוס (-) (זה שלילי), מה שאומר שהמפיץ הוא במכנה של שבריר. לדוגמה:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

אין להתבלבל עם המקרה בו הבסיס שלילי, מכיוון שזה יהיה תלוי אם המוצפן מוזר או אפילו כדי לקבוע אם הכוח יהיה חיובי או שלילי. אז עליכם:

- אם המוצפן שווה, הכוח יהיה חיובי. לדוגמה:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- אם המוצפן מוזר, הכוח יהיה שלילי. לדוגמה:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

יש מקרה מיוחד בו אם המוצפן שווה ל 0, הכוח שווה ל 1. ישנה גם אפשרות שהבסיס הוא 0; במקרה כזה, תלוי במפתח, הכוח יהיה בלתי מוגדר או לא.

כדי לבצע פעולות מתמטיות עם אקספוננטים, יש צורך לבצע מספר כללים או נורמות המקלים על מציאת הפיתרון לאותם פעולות.

החוק הראשון: כוחו של אקספקטנט שווה ל -1

כאשר המפתח הוא 1, התוצאה תהיה אותו ערך של הבסיס: a = ¹ .

דוגמאות

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

החוק השני: כוחו של אקספקטנט שווה ל -0

כאשר המרכיב הוא 0, אם הבסיס אינו ממונע, התוצאה תהיה: ⁰ = 1.

דוגמאות

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

חוק שלישי: אקספקטנט שלילי

מכיוון שהמרחיב שלילי, התוצאה תהיה שבריר, שם הכוח יהיה המכנה. לדוגמה, אם m הוא חיובי, אז ^-m = 1 / a ^m .

דוגמאות

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

חוק רביעי: כפל סמכויות עם בסיס שווה

כדי להכפיל כוחות שבהם הבסיסים שווים ושונים מ -0, הבסיס נשאר ונושאים אקספוננטים: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

דוגמאות

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

החוק החמישי: חלוקת סמכויות עם בסיס שווה

כדי לחלק כוחות שבהם הבסיסים שווים ושונים מ- 0, הבסיס נשמר והמוצאים מופרעים באופן הבא: ^m / a ⁿ = a ^m-n .

דוגמאות

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^{באוקטובר} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^בדצמבר / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

החוק השישי: הכפלת כוחות עם בסיס שונה

לחוק זה ההפך ממה שמתבטא ברביעי; כלומר, אם יש לך בסיסים שונים אך עם אותם אקספונטנטים, הבסיסים מוכפלים והמוצפן נשמר: ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

דוגמאות

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

דרך נוספת לייצג את החוק הזה היא כאשר הכפל מועלה לכוח. לפיכך, המפתח יהיה שייך לכל אחד מהמונחים: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

דוגמאות

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

החוק השביעי: חלוקת סמכויות עם בסיס שונה

אם יש לכם בסיסים שונים אך עם אותם אקספקטים, חלקו את הבסיסים ושמרו על האקספקטנט: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

דוגמאות

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

באופן דומה, כאשר מתגבשת חלוקה לשלטון, המפתח ישתייך בכל אחד מהמונחים: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

דוגמאות

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

יש המקרה שהמארגן שלילי. ואז, אם להיות חיובי, הערך של המונה הפוך לערך של המכנה, באופן הבא:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

החוק השמיני: כוח של כוח

כשיש לך כוח שמוגבר לעוצמה אחרת - כלומר, שני אקספוננטים בו זמנית - הבסיס נשמר והאנשי האקספונסנטים מוכפלים: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

דוגמאות

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

החוק התשיעי: מערך שבר

אם יש בכוח שבריר כמרכיב, זה נפתר על ידי הפיכתו לשורש n-th, שם המונה נותר כמוצפן והמכנה מייצג את אינדקס השורש:

דוגמא

תרגילים שנפתרו

תרגיל 1

חשב את הפעולות בין כוחות שיש להם בסיסים שונים:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

פִּתָרוֹן

בהחלת כללי האקספוננטים, הבסיסים מוכפלים במונה והמציב נשמר כך:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

כעת, מכיוון שיש לנו אותם בסיסים אך עם אקספקטים שונים, הבסיס נשמר והמוצאים מוחסרים:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

תרגיל 2

חשב את הפעולות בין הכוחות שהועלו לכוח אחר:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

פִּתָרוֹן

החלת החוקים עליכם:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

הפניות

1. אפונטה, ג '(1998). יסודות המתמטיקה הבסיסית. פירסון חינוך.
2. Corbalán, F. (1997). מתמטיקה מיושמת בחיי היומיום.
3. ג'ימייז, ג'יי.אר (2009). מתמטיקה 1 SEP.
4. מקס פיטרס, WL (1972). אלגברה וטריגונומטריה.
5. Rees, PK (1986). Reverte.