חוקי קפלר: הסבר, תרגילים, ניסוי - גוּפָנִי - 2025

קפלר של" חוקי התנועה הפלנטרית נעשו על ידי האסטרונום הגרמני יוהנס קפלר (1571-1630). קפלר הסיק אותם על סמך עבודתו של מורו האסטרונום הדני טייצ'ו ברהה (1546-1601).

ברהה אסף בזהירות נתונים על תנועות פלנטאריות במשך למעלה מעשרים שנה, בדיוק ודיוק מפתיע, בהתחשב בכך שהטלסקופ טרם הומצא באותה עת. תוקף הנתונים שלך נשאר תקף גם בימינו.

איור 1. מסלולי כוכבי הלכת על פי חוקי קפלר. מקור: Wikimedia Commons. ווילו / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

3 חוקים של קפלר

חוקי קפלר קובעים:

החוק הראשון : כל כוכבי הלכת מתארים מסלולים אליפטיים עם השמש באחד המוקדים.

משמעות הדבר היא שהיחס T ² / r ³ זהה לכלל כוכבי הלכת, מה שמאפשר לחשב את רדיוס מסלול, אם ידוע על תקופת מסלול ההקפה.

כאשר T מתבטא בשנים ו- r ביחידות אסטרונומיות AU *, קבוע המידתיות הוא k = 1:

* יחידה אסטרונומית שווה ל -150 מיליון ק"מ, שזה המרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש. תקופת מסלול כדור הארץ היא שנה.

חוק הכבידה האוניברסאלי והחוק השלישי של קפלר

חוק הכבידה האוניברסאלי קובע כי גודל כוח המשיכה של כוח המשיכה בין שני עצמים להמונים M ומ 'בהתאמה, שמרכזיהם מופרדים על ידי מרחק r, ניתן על ידי:

G הוא קבוע הכבידה האוניברסאלי וערכו הוא G = 6.674 x 10 ^-11 Nm ² / kg ² .

כעת, מסלולי כוכבי הלכת הם אליפטיים עם אקסצנטריות קטנה מאוד.

המשמעות היא שהמסלול לא רחוק מאוד מהיקף, למעט במקרים מסוימים כמו כוכב הלכת הגמד פלוטו. אם אנו משווים את המסלול לצורה המעגלית, האצת התנועה של הכוכב היא:

מכיוון ש- F = ma, יש לנו:

כאן v הוא המהירות הליניארית של כוכב הלכת סביב השמש, בהנחה סטטית ושל מסה M, בעוד שזו של כוכב הלכת היא m. כך:

זה מסביר כי לכוכבי הלכת המרוחקים יותר מהשמש יש מהירות מסלול נמוכה יותר מכיוון שהדבר תלוי ב 1 / √r.

מכיוון שהמרחק שעובר הכוכב הוא בערך היקף ההיקף: L = 2πr וזה לוקח זמן השווה ל- T, תקופת מסלול הדרך, אנו משיגים:

השוואה בין שני הביטויים ל- v נותנת ביטוי תקף ל- T ² , ריבוע תקופת המסלול:

וזה בדיוק החוק השלישי של קפלר, מכיוון שבביטוי זה הסוגריים 4π ² / GM הם קבועים, לכן T ² פרופורציונלי למרחק r cubed.

המשוואה הסופית לתקופת המסלול מתקבלת על ידי נטילת השורש הריבועי:

איור 3. איפיליון ופריחיון. מקור: Wikimedia Commons. פירסון סקוט פורסמן / רשות הרבים

לפיכך, אנו מחליפים את r בחוק השלישי של קפלר, התוצאה של האלי ב:

פיתרון ב

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

לְנַסוֹת

ניתוח תנועת כוכבי הלכת דורש שבועות, חודשים ואפילו שנים של התבוננות והקלטה מדוקדקים. אך במעבדה ניתן לבצע ניסוי פשוט מאוד בסולם פשוט מאוד כדי להוכיח כי החוק של קפלר על שטחים שווים מכיל.

זה דורש מערכת פיזית שבה הכוח השולט בתנועה הוא מרכזי, תנאי מספיק כדי להתקיים בחוק האזורים. מערכת כזו מורכבת ממסה הקשורה לחבל ארוך, כאשר הקצה השני של החוט מקובע לתמיכה.

המסה מועברת בזווית קטנה ממקומה שיווי המשקל וניתנת לה דחף קל, כך שהיא מבצעת תנועה סגלגלה (כמעט אליפטית) במישור האופקי, כאילו מדובר בכוכב לכת סביב השמש.

בעקומה שתוארה המטוטלת, אנו יכולים להוכיח שהיא גורפת שטחים שווים בזמנים שווים, אם:

- אנו רואים רדידי וקטורים העוברים ממרכז המשיכה (נקודת שיווי המשקל הראשונית) למיקום המסה.

-אנחנו מטאטאים בין שני טייסים רצופים של משך זמן שווה, בשני אזורים שונים של התנועה.

ככל שמחרוזת המטוטלת ארוכה יותר והזווית הרחק מאנכית קטנה יותר, הכוח המשחזר את הרשת יהיה אופקי יותר, וההדמיה דומה למקרה של תנועה עם כוח מרכזי במטוס.

ואז הסגלגל המתואר מתקרב לאליפסה, כמו זו שנוסעת כוכבי לכת.

חומרים

-חוט בלתי ניתן להרחבה

-1 כדור מסיבי או מתכתי צבוע בלבן המשמש כטיל מטוטלת

-סרגל

-מַסוֹעַ

-מצלמה מצלמתית עם דיסק strobe אוטומטי

תומך

- שני מקורות תאורה

-גליון נייר שחור או קרטון

תהליך

יש צורך בהרכבת הדמות כדי לצלם תמונות של מבזקים רבים של המטוטלת כשהיא הולכת בדרכה. לשם כך עליכם להציב את המצלמה ממש מעל המטוטלת ודיסק ה strobe האוטומטי מול העדשה.

איור 4. הרכבת המטוטלת כדי לבדוק שהיא גורפת שטחים שווים בזמנים שווים. מקור: מדריך המעבדות של PSSC.

באופן זה מתקבלות תמונות במרווחי זמן קבועים של המטוטלת, למשל כל 0.1 או כל 0.2 שניות, מה שמאפשר לנו לדעת את הזמן שלקח לנוע מנקודה אחת לאחרת.

אתה צריך גם להאיר את מסת המטוטלת כראוי, להניח את האורות משני הצדדים. יש לצבוע את העדשים בצבע לבן כדי לשפר את הניגודיות על הרקע, המורכבת מנייר שחור שנמרח על האדמה.

עכשיו צריך לבדוק שהמטוטלת גורפת אזורים שווים בזמנים שווים. לשם כך נבחר מרווח זמן והנקודות שתופס המטוטלת באותו מרווח מסומנות על הנייר.

קו מצויר על התמונה ממרכז הסגלגל לנקודות אלו וכך יהיה לנו הראשון מהאזורים שנסחף על ידי המטוטלת, שהיא כגזרה אליפטית כמו זו המוצגת להלן:

איור 5. אזור בגזרה אליפטית. מקור: פ. זפטה.

חישוב שטח החלק האליפטי

עם מד-זווית, זוויות θ _o ו θ ₁ נמדדים , והנוסחה הזאת משמשת כדי למצוא S, באזור של המגזר אליפטי:

עם F (θ) שניתנו על ידי:

שימו לב ש- a ו- b הם הצירים החצייים העיקריים והקטינים בהתאמה. הקורא רק צריך לדאוג למדידה מדוקדקת של צירי המחצה והזוויות, מכיוון שיש מחשבונים מקוונים שמעריכים ביטוי זה בקלות.

עם זאת, אם אתה מתעקש לבצע את החישוב ביד, זכור כי הזווית θ נמדדת במעלות, אך כשאתה מזין את הנתונים למחשבון, יש לבטא את הערכים ברדיאנים.

אז עליכם לסמן זוג נקודות נוסף בו המטוטלת הפכה את אותו מרווח זמן, ולצייר את האזור המתאים, וחישבו את ערכו באותו הליך.

אימות חוק אזורים שווים

לבסוף, נותר לאמת כי מתקיים חוק האזורים, כלומר שטחים שווים נסחפים בזמנים שווים.

האם התוצאות חורגות מעט מהמצופה? תמיד צריך לזכור שכל המדידות מלוות בטעות הניסוי שלהן.

הפניות

1. מחשבון מקוון של Keisan. שטח מחשבון סקטור אליפטי. התאושש מ: keisan.casio.com.
2. Openstax. חוק התנועה הפלנטרית של קפלר. התאושש מ: openstax.org.
3. PSSC. פיזיקת מעבדה. הערכה Reverté. התאושש מ: books.google.co.
4. Palen, S. 2002. אסטרונומיה. סדרת Schaum. מקגרו היל.
5. Pérez R. מערכת פשוטה עם כוח מרכזי. התאושש מ: francesphysics.blogspot.com
6. שלושת חוקי התנועה הפלנטרית של שטרן, ד. קפלר. התאושש מ: phy6.org.