שפה אלגברית: מושג, למה הוא מיועד, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

בשפת אלגברית היא אחד שמשתמש אותיות, סימנים ומספרים להביע בקצרה ומשפטים ותמציתיים בם פעולות מתמטיות נדרשות. לדוגמה 2x - x ² היא שפה אלגברית.

השימוש בשפה האלגברית המתאימה חשוב מאוד למודל מצבים רבים המתרחשים בטבע ובחיי היומיום שחלקם יכולים להיות מורכבים מאוד בהתאם למספר המשתנים המטופלים.

השפה האלגברית מורכבת מסמלים, אותיות ומספרים המבטאים בקצרה הצעות מתמטיות. מקור: Pixabay.

אנו הולכים להראות כמה דוגמאות פשוטות, למשל את הדברים הבאים: ביטא בשפה אלגברית את הביטוי «כפול מספר».

הדבר הראשון שיש לקחת בחשבון הוא שאנחנו לא יודעים כמה המספר הזה שווה. מכיוון שיש הרבה אפשרויות לבחירה, אז אנו הולכים לקרוא לזה "x", המייצג את כולם ואז אנו מכפילים את זה ב -2:

מספר כפול שווה ל: 2x

בואו לנסות את ההצעה האחרת הזו:

כפי שאנו יודעים שאנו יכולים לקרוא לכל מספר לא ידוע "x", אנו מכפילים אותו ב -3 ומוסיפים את היחידה שהיא לא אחרת מאשר המספר 1, כך:

המשולש של מספר פלוס אחדות שווה : 3x + 1

ברגע שיש לנו את ההצעה שתורגמה לשפה אלגברית, נוכל לתת לה את הערך המספרי שאנחנו רוצים, לבצע פעולות כמו הוספה, חיסור, כפל, חלוקה ורבים נוספים.

לשם מה שפה אלגברית?

היתרון המיידי של השפה האלגברית הוא עד כמה היא קצרה ותמציתית. לאחר הטיפול, הקורא מעריך נכסים במבט חטוף שאחרת ייקח פסקאות רבות לתאר וכמה זמן לקרוא.

בנוסף, בהיותו קצר, זה מאפשר פעולות בין ביטויים להצעות, במיוחד כאשר אנו משתמשים בסמלים כמו =, x, +, -, כדי לציין כמה מן הרבים שיש למתמטיקה.

בקיצור, ביטוי אלגברי יהיה, למשל, הצעה, המקבילה להתבוננות בתצלום של נוף, במקום לקרוא תיאור ארוך במילים. לכן השפה האלגברית מקלה על ניתוח ופעולות והופכת את הטקסטים לקצרים בהרבה.

וזה לא הכל, השפה האלגברית מאפשרת לך לכתוב ביטויים כללים ואז להשתמש בהם כדי למצוא דברים מאוד ספציפיים.

נניח למשל שאנו מתבקשים למצוא את הערך של: "משולש מספר פלוס היחידה כאשר המספר האמור שווה 10".

לאחר הביטוי האלגברי, קל להחליף "x" עבור 10 ולבצע את הפעולה המתוארת:

(3 × 10) + 1 = 31

אם בהמשך נרצה למצוא את התוצאה עם ערך אחר של "x", ניתן לעשות זאת באותה מהירות.

קצת היסטוריה

למרות שאנחנו מכירים אותיות וסמלים מתמטיים כמו "=", האות "x" עבור הלא נודעים, הצלב "x" עבור המוצר, ורבים אחרים, אלה לא תמיד שימשו לכתיבת משוואות ומשפטים.

לדוגמה, טקסטים במתמטיקה ערבית עתיקה ומצרית כמעט ולא הכילו סמלים, ובלעדיהם אנו יכולים לדמיין עד כמה הם היו נרחבים.

עם זאת, היו אלה אותם מתמטיקאים מוסלמים שהחלו לפתח את השפה האלגברית מימי הביניים. אבל זה היה המתמטיקאי והקריפטוגרף הצרפתי פרנסואה וייטה (1540-1603) שהיה הידוע הראשון שכתב משוואה באמצעות אותיות וסמלים.

זמן מה אחר כך כתב המתמטיקאי האנגלי וויליאם אוטרד ספר שפרסם בשנת 1631, שם עשה שימוש בסמלים כמו הצלב עבור המוצר והסמל הפרופורציוני ∝ המשמשים עד היום.

עם חלוף הזמן ותרומתם של מדענים רבים, התפתחו כל הסמלים המשמשים כיום בבתי ספר, אוניברסיטאות ותחומים מקצועיים שונים.

וזה שהמתמטיקה קיימת במדעים המדויקים, בכלכלה, במינהל, במדעי החברה ובאזורים רבים אחרים.

דוגמאות לשפה אלגברית

להלן דוגמאות לשימוש בשפה אלגברית, לא רק כדי לבטא הצעות מבחינת סמלים, אותיות ומספרים.

איור 2- טבלה עם כמה הצעות נפוצות ושוות ערך לשפה האלגברית שלהן. מקור: פ. זפטה.

לפעמים עלינו ללכת בכיוון ההפוך, ובעלי ביטוי אלגברי, לכתוב אותו במילים.

הערה: אף על פי שהשימוש ב- "x" כסמל הלא נודע נפוץ מאוד ("… מצא את הערך של x …" התכופות של המבחנים), האמת היא שאנחנו יכולים להשתמש בכל אות שנרצה לבטא את הערך בסדר גודל מסוים.

הדבר החשוב הוא להיות עקביים במהלך ההליך.

- דוגמה 1

כתוב את המשפטים הבאים בשפה אלגברית:

א) המנה בין כפול המספר לשלושה של אותו בתוספת היחידה

תשובה ל

תן ל- n להיות המספר הלא ידוע. הביטוי שחיפש הוא:

ב) חמש פעמים מספר פלוס 12 יחידות:

תשובה ב

אם m הוא המספר, הכפל ב -5 והוסף 12:

ג) תוצר של שלושה מספרים טבעיים רצופים:

תשובה ג

תן ל- x להיות אחד המספרים, המספר הטבעי שאחריו הוא (x + 1) וזה שאחריו הוא (x + 1 + 1) = x + 2. לכן התוצר של השלושה הוא:

ד) סכום של חמישה מספרים טבעיים רצופים:

תשובה ד

חמישה מספרים טבעיים רצופים הם:

תשובה

לפעמים הביטוי "… ירד ב" משמש לביטוי חיסור. באופן זה הביטוי הקודם יהיה:

מספר כפול פחת בכיכר שלו.

התרגיל נפתר

ההבדל בין שני מספרים שווה ל 2. ידוע גם שפי 3 מהגדול יותר, נוסף עם כפול מזה קטן יותר, שווה לארבע פעמים מההפרש האמור. כמה שווה סכום המספרים?

פִּתָרוֹן

ננתח בזהירות את המצב שהוצג. המשפט הראשון אומר לנו שיש שני מספרים, אותם נקרא x ו- y.

אחד מהם גדול יותר, אך לא ידוע איזה מהם, ולכן נניח שהוא x. וההבדל שלו שווה ל -2, לכן אנו כותבים:

x - y = 2

ואז מוסבר לנו ש" פי 3 מהגדול ביותר … ", זה שווה ל- 3x. ואז זה הולך: נוסף עם "פעמיים הקטנה ביותר …", זה שווה ערך ל 2y … בוא נעצור ונכתוב כאן:

3x + 2y….

כעת אנו ממשיכים: "… שווה פי ארבעה מההפרש הנ"ל". ההבדל הנ"ל הוא 2 וכעת נוכל להשלים את ההצעה:

3x + 2y = 4.2 = 8

עם שתי ההצעות הללו עלינו למצוא את סכום המספרים. אך כדי להוסיף אותם ראשית עלינו לדעת מה הם.

אנו חוזרים לשתי ההצעות שלנו:

x - y = 2

3x - 2y = 8

אנו יכולים לפתור עבור x מהמשוואה הראשונה: x = 2 + y. ואז החלף בשני:

3 (2 + y) - 2y = 8

y + 6 = 8

y = 2

עם תוצאה זו והחלפה, x = 4 ומה שהבעיה מבקשת הוא הסכום של שניהם: 6.

הפניות

1. Arellano, I. היסטוריה קצרה של סמלים מתמטיים. התאושש מ: cienciorama.unam.mx.
2. Baldor, A. 1974. אלגברה אלמנטרית. ונצולנה תרבותית
3. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
4. Méndez, A. 2009. מתמטיקה I. עורך הדין Santillana.
5. זיל, ד. 1984. אלגברה וטריגונומטריה. מקגרו היל.