אינטרפולציה ליניארית היא שיטה אשר מקורו אינטרפולציה ניוטון בכלל קירוב לקבוע לפי שווי לא ידוע כי הוא בין שני מספרים נתון; כלומר, ערך ביניים נמצא. זה מיושם גם על פונקציות משוערות, בהן הערכים f (a) ו- f (b) ידועים ואנחנו רוצים לדעת את הביניים של f (x) .
ישנם סוגים שונים של אינטרפולציה, כמו ליניארית, ריבועית, מעוקבת ובדרגות גבוהות יותר, כאשר הפשוטה ביותר היא קירוב ליניארי. המחיר שיש לשלם באמצעות אינטרפולציה ליניארית הוא שהתוצאה לא תהיה מדויקת כמו בקירובים המשתמשים בפונקציות של מעלות גבוהות יותר.
הַגדָרָה
אינטרפולציה לינארית היא תהליך שמאפשר להסיק ערך בין שני ערכים מוגדרים היטב, שיכולים להיות בטבלה או בתרשים קו.
לדוגמה, אם אתה יודע ש -3 ליטר חלב שווים 4 $ וכי 5 ליטר שווים 7 $, אך אתה רוצה לדעת מה הערך של 4 ליטר חלב, אתה מפרש את האינסטגרם כדי לקבוע את ערך הביניים הזה.
שיטה
כדי להעריך ערך ביניים של פונקציה, הפונקציה f (x) משוערת באמצעות קו r (x) , מה שאומר שהפונקציה משתנה באופן ליניארי עם «x» לקטע «x = a» ו- «x = b "; כלומר, עבור ערך "x" במרווח (x 0 , x 1 ) ו- (y 0 , y 1 ), הערך של "y" ניתן על ידי השורה בין הנקודות ומתבטא בקשר הבא:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
כדי שהאינטרפולציה תהיה ליניארית, פולינום האינטרפולציה חייב להיות בדרגה 1 (n = 1), כך שהוא יתאים לערכים של x 0 ו- x 1.
אינטרפולציה לינארית מבוססת על דמיון של משולשים, באופן שמקורם בגיאומטרי מהביטוי הקודם, ניתן להשיג את הערך של "y", המייצג את הערך הלא ידוע של "x".
ככה עליכם:
a = שיזוף Ɵ = (רגל מנוגדת 1 ÷ רגל סמוכה 1 ) = (רגל מול 2 ÷ רגל 2 סמוכה )
זה בא לידי ביטוי בדרך אחרת:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
פיתרון עבור «ו-» מהביטויים, יש לנו:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
כך מתקבלת המשוואה הכללית לאינטרפולציה לינארית:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
באופן כללי, אינטרפולציה לינארית נותנת שגיאה קטנה בערך האמיתי של הפונקציה האמיתית, אם כי השגיאה היא מינימלית לעומת אם בוחרים באופן אינטואיטיבי מספר קרוב לזה שאתה רוצה למצוא.
שגיאה זו מתרחשת כאשר מנסים לערוך בערך של עקומה עם קו ישר; במקרים אלה, יש להפחית את גודל המרווח על מנת לדייק את הקירוב.
לקבלת תוצאות טובות יותר לגבי הקירוב, רצוי להשתמש בפונקציות של דרגה 2, 3 או אפילו מעלות יותר לביצוע האינטרפולציה. עבור מקרים אלה משפט טיילור הוא כלי שימושי מאוד.
תרגילים שנפתרו
תרגיל 1
בטבלה הבאה מוצג מספר החיידקים לנפח היחידה הקיים בדגירה לאחר x שעות. אתה רוצה לדעת מה נפח החיידקים למשך 3.5 שעות.
פִּתָרוֹן
טבלת הייחוס אינה קובעת ערך המציין את כמות החיידקים למשך זמן של 3.5 שעות, אך ישנם ערכים עליונים ותחתונים המתאימים לזמן של 3 ו -4 שעות בהתאמה. בצורה זו:
x 0 = 3 ו- 0 = 91
x = 3.5 y =?
x 1 = 4 ו- 1 = 135
כעת, המשוואה המתמטית מיושמת כדי למצוא את הערך האינטרפולציה, שהוא הבא:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
ואז מוחלפים הערכים המקבילים:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113.
כך מתקבל כי במשך 3.5 שעות מספר החיידקים הוא 113, המייצג רמת ביניים בין נפח החיידקים הקיים בתקופות של 3 ו -4 שעות.
תרגיל 2
ללואיס יש מפעל לגלידות, והוא רוצה לעשות מחקר כדי לקבוע את ההכנסה שהייתה לו באוגוסט על בסיס ההוצאות שבוצעו. מנהל החברה יוצר גרף המבטא קשר זה, אך לואיס רוצה לדעת:
מה ההכנסה לחודש אוגוסט, אם הוצאה הוצאה של 55,000 $?
פִּתָרוֹן
ניתן גרף עם ערכי הכנסות והוצאות. לואיס רוצה לדעת מה ההכנסה לחודש אוגוסט אם היה על המפעל הוצאה של 55,000 $. ערך זה אינו משתקף ישירות בתרשים, אך הערכים גבוהים ונמוכים יותר מזה.
ראשית נוצר טבלה היכן ניתן לקשר בקלות בין הערכים:
כעת משתמשים בנוסחת האינטרפולציה לקביעת הערך של y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
ואז מוחלפים הערכים המקבילים:
y = 56,000 + (78,000 - 56,000) *
y = 56,000 + (22,000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0.588)
y = 56,000 + 12,936
y = 68,936 $.
אם בוצעה הוצאה של 55,000 $ באוגוסט, ההכנסה הייתה 68,936 $.
הפניות
- ארתור גודמן, LH (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
- הארפה, פ. ד. (2000). נושאים בתורת הקבוצות הגיאומטריות. הוצאת אוניברסיטת שיקגו.
- Hazewinkel, M. (2001). אינטרפולציה לינארית ", אנציקלופדיה למתמטיקה.
- , JM (1998). אלמנטים של שיטות מספריות להנדסה. UASLP.
- , E. (2002). כרונולוגיה של אינטרפולציה: מאסטרונומיה עתיקה לעיבוד אותות ותמונות מודרניים. הליכי ה- IEEE.
- מספרית, א. (2006). חאבייר תומאס, ג'ורדי קואדרוס, לוסיניו גונזלס.