זהויות פיתגוריות: הדגמה, דוגמה, תרגילים - מתמטיקה - 2025

זהויות פיתגוריות הן כולן משוואות טריגונומטריות המחזיקות בערך של זווית כלשהן ומבוססות על משפט פיתגורס. זהות הפיתגורס המפורסמת ביותר היא הזהות הטריגונומטרית הבסיסית:

חטא ² (α) + Cos ² (α) = 1

איור 1. איור 1. זהויות טריגונומטריות פיתגוריות.

הבא בחשיבות ואני משתמש בזהות הפיתגורית של המשיק והביט:

שזוף ² (α) + 1 = שניות ² (α)

והזהות הטריגונומטרית הפיתגורית המערבת את הקוטנגנט והקוסקנט:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

הפגנה

היחס הטריגונומטרי סינוס וקוסינוס מיוצגים על מעגל רדיוס אחד (1) המכונה מעגל טריגונומטרי. המעגל האמור במרכזו במוצאו של הקואורדינטות O.

זוויות נמדדות מהציר החצי-חיובי של ה- Xs, למשל זווית α באיור 2 (ראה להלן). נגד כיוון השעון אם הזווית חיובית, ועם כיוון השעון אם זו זווית שלילית.

הקרן עם מקור O וזווית α נמשכת, המיירטת את מעגל היחידה בנקודה P. נקודה P מוקרנת אורתוגונאלית על הציר האופקי X ומולידה את הנקודה C. באופן דומה P מוקרן בניצב על הציר האנכי Y נותן מקום לנקודה ש.

יש לנו את המשולש הנכון OCP ב- C.

סינוס וקוסינוס

יש לזכור כי הסינוס של היחס הטריגונומטרי מוגדר במשולש ימין באופן הבא:

הסינוס של זווית המשולש הוא היחס או המניין שבין הרגל שמול הזווית להיפתח המשולש.

מיושם למשולש OCP של איור 2 זה היה נראה כך:

סן (α) = CP / OP

אבל CP = OS ו- OP = 1, כך:

Sen (α) = מערכת הפעלה

מה שאומר שלמערכת ההקרנה בציר Y יש ערך שווה לסינוס של הזווית המוצגת. יש לציין כי הערך המרבי של הסינוס של זווית (+1) מתרחש כאשר α = 90º והמינימום (-1) כאשר α = -90º או α = 270º.

איור 2. איור 2. מעגל טריגונומטרי המציג את הקשר בין משפט פיתגורס לזהות הטריגונומטרית הבסיסית. (פירוט משלו)

באופן דומה, הקוסינוס של זווית הוא המנה בין הרגל הצמודה לזווית וההתייחסות המשולש.

מיושם למשולש OCP של איור 2 זה היה נראה כך:

Cos (α) = OC / OP

אבל OP = 1, כך ש:

Cos (α) = OC

משמעות הדבר היא שלקרן ה- OC על ציר ה- X יש ערך השווה לסינוס של הזווית המוצגת. יש לציין כי הערך המקסימאלי של קוסינוס (+1) מתרחש כאשר α = 0º או α = 360º, ואילו הערך המינימלי של קוסינוס הוא (-1) כאשר α = 180º.

הזהות הבסיסית

על המשולש הימני OCP ב- C מיושם משפט הפיתגורס, הקובע כי סכום ריבוע הרגליים שווה לריבוע היפוזה:

CP ² + OC ² = OP ²

אך כבר נאמר כי CP = OS = Sen (α), ש- OC = Cos (α) ושה- OP = 1, כך שניתן יהיה לכתוב את הביטוי הקודם כפונקציה של הסינוס והקוסינוס של הזווית:

חטא ² (α) + Cos ² (α) = 1

ציר המשיק

כשם שציר ה- X במעגל הטריגונומטרי הוא ציר הקוסינוס וציר ה- Y ציר הסינוס, באותה צורה יש גם ציר המשיק (ראה איור 3) שהוא בדיוק קו המשיק למעגל היחידה בנקודה. B של קואורדינטות (1, 0).

אם אתה רוצה לדעת את הערך של המשיק של זווית, הזווית נשאבת מהציר החצי החיובי של ה- X, הצומת של הזווית עם ציר המשיק מגדיר נקודה Q, אורך הקטע OQ ​​הוא המשיק של זָוִית.

הסיבה לכך היא שהגדרת ההגדרה, המשיק של זווית α הוא הרגל הנגדית QB בין הרגל הסמוכה OB. כלומר, שזוף (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

איור 3. המעגל הטריגונומטרי המציג את ציר המשיק ואת הזהות הפיתגורית של המשיק. (פירוט משלו)

הזהות הפיתגורית של המשיק

ניתן להוכיח את זהותו הפיתגורית של המשיק על ידי התחשבות במשולש OBQ המשולש ב B (איור 3). על החלת המשפט הפיתגורורי על משולש זה יש לנו כי BQ ² + OB ² = OQ ² . אך כבר נאמר כי BQ = Tan (α), כי OB = 1 וכי OQ = Sec (α), כך שתחליף בשוויון הפיתגורס את המשולש הימני OBQ יש לנו:

שזוף ² (α) + 1 = שניות ² (α).

דוגמא

בדקו האם הזהויות הפיתגוראיות מתקיימות במשולש הימני של הרגליים AB = 4 ו- BC = 3.

פיתרון: הרגליים ידועות, יש לקבוע את ההיפותוזה שהיא:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

הזווית ∡BAC תיקרא α, ∡BAC = α. כעת נקבעים היחס הטריגונומטרי:

סן α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

אז α = BC / AB = 3/4

קוטן α = AB / BC = 4/3

שניות α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

זה מתחיל בזהות הטריגונומטרית הבסיסית:

חטא ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

מסקנת כי היא מתקיימת.

- הזהות הפיתגורית הבאה היא זהה של המשיק:

שזוף ² (α) + 1 = שניות ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

ומסקנה שמאמת את זהותו של המשיק.

- באופן דומה לזה של הקוטנגנט:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

מסקנת כי היא גם מתממשת, איתה הושלמה המשימה לאמת את הזהויות הפיתגוריות למשולש הנתון.

תרגילים שנפתרו

הוכח את הזהויות שלהלן, על סמך ההגדרות של היחס הטריגונומטרי והזהויות הפיתגוריות.

תרגיל 1

תוכיח כי Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

הפיתרון: בצד ימין אנו מכירים את התוצר המופלא של כפל הבינומיה על ידי צמידתו, שכידוע, הוא הבדל של ריבועים:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

ואז המונח עם הסינוס בצד ימין עובר לצד שמאל עם שינוי השלט:

Cos ² x + Sen ² x = 1

מציין כי זהות הטריגונומטרית הבסיסית הושגה, ולכן ניתן להסיק כי הביטוי הנתון הוא זהות, כלומר נכון לכל ערך של x.

תרגיל 2

החל מהזהות הטריגונומטרית הבסיסית ומשתמשים בהגדרות היחס הטריגונומטרי, מדגימים את זהותו הפיתגורית של הקוסנט.

הפיתרון: הזהות הבסיסית היא:

חטא ² (x) + Cos ² (x) = 1

שני החברים מחולקים לפי סן ² (x) והמכנה מופץ בחבר הראשון:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

זה מפשט:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) הוא זהות (לא פיתגוראית) המאומתת על ידי הגדרת היחס הטריגונומטרי. אותו דבר קורה בזהות הבאה: 1 / Sen (x) = Csc (x).

סוף סוף עליכם:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

הפניות

1. Baldor J. (1973). גיאומטריה של מטוס וחלל עם מבוא לטריגונומטריה. תרבות מרכז אמריקה. AC
2. CEA (2003). אלמנטים בגיאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של מצפן. אוניברסיטת מדיין.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). מתמטיקה 2. גרפו עורך פטריה.
4. IGER. (sf). Tacaná סמסטר א 'במתמטיקה. IGER.
5. גיאומטריה ג'וניור. (2014). מצולעים. Lulu Press, Inc.
6. מילר, האדרמס והורנסבי. (2006). מתמטיקה: נימוקים ויישומים (המהדורה העשירית). פירסון חינוך.
7. Patiño, M. (2006). מתמטיקה 5. פרוגרסו עריכה.
8. ויקיפדיה. זהויות וטכנולוגיות טריגונומטריה. התאושש מ: es.wikipedia.com