HOMOTHECY: מאפיינים, סוגים ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

התרחבות שינוי גיאומטרי במישור אשר, ממרכז שנקרא נקודה קבועה (O), המרחקים מוכפלים גורם משותף. באופן זה, כל נקודה P תואמת למוצר אחר של נקודה P של הטרנספורמציה, ואלו מיושרים עם נקודה O.

אז הומוטקיה נוגעת להתכתבויות בין שתי דמויות גיאומטריות, בהן הנקודות הטרנספורמציות נקראות הומותטיות, ואלו מיושרות עם נקודה קבועה ועם מקטעים מקבילים זה לזה.

הומדות

הומוטקיה היא טרנספורמציה שאין לה דימוי הלימה, מכיוון שמדמות אחת תתקבל דמויות אחת או יותר בגודל גדול יותר או פחות מהדמות המקורית; כלומר, ההומוטקיה הופכת מצולע למצב דומה אחר.

על מנת שההומאטיות תתגשם, נקודה לנקודה וקו לקו חייבים להתאים, כך שזוגות הנקודות ההומולוגיות מיושרות לנקודה קבועה שלישית, שהיא מרכז ההומדות.

באופן דומה, זוגות הקווים המצטרפים אליהם חייבים להיות מקבילים. הקשר בין מקטעים כאלה הוא קבוע הנקרא יחס ההומאטיות (k); באופן שניתן להגדיר homothecy כ:

לביצוע טרנספורמציה מסוג זה, אנו מתחילים בבחירת נקודה שרירותית, אשר תהיה מרכז ההומוטציה.

מנקודה זו נמשכים קטעי קו עבור כל קודקוד של הדמות שיש להפוך. הסולם בו נוצרת ההתרבות של הדמות החדשה ניתנת על ידי יחס ההומאטיה (k).

נכסים

אחד המאפיינים העיקריים של ההומוטקיה הוא שמסיבה ההומוטטית (k) כל הדמויות ההומותטיות דומות. בין שאר המאפיינים המצטיינים הם הבאים:

- מרכז ההומוטקיה (O) הוא הנקודה הכפולה היחידה וזה הופך לעצמו; כלומר, זה לא משתנה.

- הקווים העוברים במרכז הופכים לעצמם (הם כפולים), אך הנקודות המרכיבות אותו אינן כפולות.

- הקווים שאינם עוברים במרכז הופכים לקווים מקבילים; לפיכך, זוויות ההומותרפיה נשארות זהות.

- תמונת הקטע על ידי הומוטקיה של מרכז O ויחס k, היא קטע המקביל לזה ויש לו כפול אורך k. לדוגמה, כפי שניתן לראות בתמונה הבאה, קטע AB לפי הומוטקיה יביא לקטע A'B 'אחר, כך ש- AB יהיה מקביל ל- A'B' וה- k יהיה:

- זוויות הומותטיות הולמות; כלומר, יש להם את אותה מידה. לכן תמונת זווית היא זווית בעלת משרעת זהה.

מצד שני, יש לנו שההומאופתיה משתנה כפונקציה של ערך היחס שלה (k), והמקרים הבאים יכולים להתרחש:

- אם הק = 1 קבוע, כל הנקודות קבועות מכיוון שהן הופכות את עצמן. כך, הדמות ההומותית עולה בקנה אחד עם זו המקורית והטרנספורמציה תיקרא פונקציית הזהות.

- אם k ≠ 1, הנקודה הקבועה היחידה תהיה מרכז ההומותטית (O).

- אם k = -1, ההומוטציה הופכת לסימטריה מרכזית (C); כלומר מתרחשים סיבוב סביב C, בזווית של 180 ^או .

- אם k> 1, גודל הדמות הטרנספורמציה יהיה גדול מגודל המקור.

- אם 0 <k <1, גודל הדמות הטרנספורמציה יהיה קטן יותר מהמקור.

- אם -1 <k <0, גודל הדמות הטרנספורמציה יהיה קטן יותר והוא יסתובב ביחס למקור.

- אם k <-1, גודל הדמות הטרנספורמציה יהיה גדול יותר והוא יסתובב ביחס למקור.

סוגים

ניתן לסווג את ההומדותיה לשני סוגים, בהתאם לערך היחס שלה (k):

Homothecy ישיר

זה מתרחש אם הקבוע קבוע> 0; כלומר הנקודות ההומותטיות נמצאות באותו צד ביחס למרכז:

גורם המידתיות או יחס הדמיון בין הנתונים ההומוטטיים הישירים תמיד יהיו חיוביים.

הומטכיה הפוכה

זה מתרחש אם הק <0 קבוע; כלומר, הנקודות הראשוניות וההומוטטיקה שלהן ממוקמות בקצוות ההפוכים ביחס למרכז ההומותטי אך מיושרות אליו. המרכז יהיה בין שתי הדמויות:

גורם המידתיות או יחס הדמיון בין דמויות הומותטיות הפוכות תמיד יהיו שליליים.

הרכב

כאשר מספר תנועות מבוצעות ברציפות עד לקבלת דמות השווה למקור, מתרחשת הרכב תנועות. ההרכב של מספר תנועות הוא גם תנועה.

הקומפוזיציה בין שתי הומטטות מביאה להומוטציה חדשה; כלומר יש לנו תוצר של homotheties שהמרכז יהיה מיושר למרכז של שתי התמורות המקוריות, והיחס (k) הוא תוצר של שני היחסים.

לפיכך, בהרכב של שתי הומוטקיות H ₁ (O ₁ , k ₁ ) ו- H ₂ (O ₂ , k ₂ ), הכפל של יחסיהם: k ₁ xk ₂ = 1 יביא להומוטציה של היחס k ₃ = k ₁ xk ₂ . מרכז ההומוטציה החדשה הזו (O ₃ ) ימוקם בקו O ₁ O ₂ .

ההומוטקיה תואמת שינוי שטוח ובלתי הפיך; אם מיושמות שתי homotheties שיש להם אותו מרכז ויחס אבל עם סימן שונה, הדמות המקורית תושג.

דוגמאות

דוגמא ראשונה

החל הומוטציה על המצולע הנתון של המרכז (O), הנמצא 5 ס"מ מנקודה A ויחסו הוא k = 0.7.

פִּתָרוֹן

כל נקודה נבחרת כמרכז ההומדות, ומנקודה זו נמשכים קרניים דרך קודקודי הדמות:

המרחק ממרכז (O) לנקודה A הוא OA = 5; בכך ניתן לקבוע את המרחק של אחת מהנקודות ההומוטטיות (OA '), גם בידיעה ש- k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 על 5 = 3.5.

ניתן לבצע את התהליך עבור כל קודקוד, או שאפשר לצייר את המצולל ההומותי תוך זכור שלשני המצולעים יש צדדים מקבילים:

לבסוף, השינוי נראה כך:

דוגמא שנייה

החל הדיקה ביתית על המצולע הנתון עם המרכז (O), הממוקם 8.5 ס"מ מנקודה C ויחס ה- y שלו k = -2.

פִּתָרוֹן

המרחק מהמרכז (O) לנקודה C הוא OC = 8.5; בעזרת נתונים אלה ניתן לקבוע את המרחק של אחת מהנקודות ההומוטטיות (OC '), גם בידיעה ש- k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

לאחר שרטטנו את קטעי הקודקודים של המצולע הטרנספורמציה, יש לנו שהנקודות הראשוניות וההומוטטיקה שלהם ממוקמות בקצוות ההפוכים ביחס למרכז:

הפניות

1. Álvaro Rendón, AR (2004). רישום טכני: מחברת פעילות.
2. אנטוניו אלווארז דה לה רוזה, JL (2002). זיקה, הומולוגיה והומוטקיה.
3. Baer, ​​R. (2012). אלגברה לינארית וגיאומטריה השלכתית. תאגיד השליחויות.
4. Hebert, Y. (1980). מתמטיקה כללית, הסתברויות וסטטיסטיקה.
5. Meserve, BE (2014). מושגים בסיסיים בגיאומטריה. תאגיד השליחויות.
6. נחבין, ל '(1980). מבוא לאלגברה. Reverte.