הפטקגון: תכונות, אלכסונים, היקף, שטח - מתמטיקה - 2025

Heptadecagon הוא שווה צלעות עם 17 צדדים ו 17 קודקודים. בנייתו יכולה להיעשות בסגנון האוקלידי, כלומר רק באמצעות הסרגל והמצפן. היה זה הגאון המתמטי הגדול קארל פרידריך גאוס (1777-1855), בקושי בן 18, שמצא את הנוהל לבנייתו בשנת 1796.

ככל הנראה, גאוס תמיד היה נוטה מאוד לדמות הגיאומטרית הזו, עד כדי כך שמהיום שגילה את בנייתו הוא החליט להיות מתמטיקאי. עוד נאמר שהוא רצה שההפטקדקון ייחרט על מצבתו.

איור 1. המטפטף הוא מצולע רגיל עם 17 צדדים ו -17 קודקודים. מקור: פ. זפטה.

גאוס מצא גם את הנוסחה לקביעת אלו מצולעים רגילים שיש להם אפשרות לבנות בעזרת סרגל ומצפן, מכיוון שלחלקם אין בנייה אוקלידית מדויקת.

מאפייני הכבש

באשר למאפייניו, כמו כל מצולע, סכום הזוויות הפנימיות שלו חשוב. במצולע רגיל עם N צדדים, הסכום ניתן על ידי:

הסכום הזה, המתבטא ברדיאנים, נראה כך:

מהנוסחאות לעיל ניתן להסיק כי לכל זווית פנימית של heptadecagon יש מידה מדויקת α הניתנת על ידי:

מכאן עולה כי הזווית הפנימית בערך היא:

אלכסונים והיקף

אלכסונים והיקף הם היבטים חשובים אחרים. בכל מצולע מספר האלכסונים הוא:

D = n (n - 3) / 2 ובמקרה של heptadecagon, כ- n = 17, אז יש לנו את D = 119 האלכסונים.

מצד שני, אם ידוע אורך כל צד של ההפטקדקון, אז נמצא ההיקף של ההפטאקגון הרגיל פשוט על ידי הוספת 17 פעמים מהאורך הזה, או מה ששווה ל- 17 פעמים האורך d של כל צד:

P = 17 ד

היקף ההפטקדקון

לפעמים ידוע רק הרדיוס r של ההפטקדגון, ולכן יש צורך לפתח נוסחה למקרה זה.

לשם כך מוצג מושג האפוטם. האפוטם הוא הקטע שעובר ממרכז המצולע הרגיל לנקודת האמצע של צד אחד. האפוטם יחסית לצד אחד ניצב לצד זה (ראה איור 2).

איור 2. איור 2. מוצגים החלקים של מצולע רגיל עם רדיוס r ותאוה שלו. (פירוט משלו)

יתר על כן, האפוטם הוא ביזקטור של הזווית עם קודקוד וצדדים מרכזיים בשני קודקודים רצופים של המצולע, זה מאפשר לנו למצוא קשר בין הרדיוס r לבין הצד d.

אם נקודת הזווית המרכזית של DOE נקראת β ולקחת בחשבון כי האפוטם OJ הוא bisector, יש לנו EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), שממנו יש לנו קשר למצוא את האורך d של הצד של מצולע ידוע הרדיוס r שלו והזווית המרכזית שלו β:

d = 2 r סן (β / 2)

במקרה של ההפטקדקון β = 360º / 17, יש לנו:

d = 2 r סן (180º / 17) ≈ 0.3675 r

לבסוף מתקבלת הנוסחה להיקף ההפטאקגון הידועה ברדיוס שלה:

P = 34 r סן (180º / 17) ≈ 6.2475 r

ההיקף של הכבש הוא קרוב לאזור ההיקף הסובב אותו, אך ערכו קטן יותר, כלומר היקף המעגל המתואר הוא Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

אֵזוֹר

כדי לקבוע את שטח ה- heptadecagon נתייחס לתרשים 2 המציג את הצדדים ואת האפוטם של מצולע רגיל עם n הצדדים. באיור זה המשולש EOD שטח שווה לבסיס d (הצד של המצולע) כפול הגובה a (אפוטם של המצולע) חלקי 2:

אזור EOD = (dxa) / 2

לכן, בידיעת הכינוי א 'של ההפטקדקון והצד ד זהה, אזורו הוא:

אזור הפטדקגון = (17/2) (dxa)

שטח נתון לצד

כדי לקבל נוסחה לאזור ה- heptadecagon בידיעת אורך שבע עשרה הצדדים שלו, יש צורך להשיג קשר בין אורך האפוטם a לבין הצד d.

בהתייחס לתרשים 2 מתקיים הקשר הטריגונומטרי הבא:

שזוף (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, כאשר β הוא הזווית המרכזית DOE. כך שניתן לחשב את האפוטם a אם ידועים אורך d של הצד המצולע והזווית המרכזית β:

a = (d / 2) קוטן (β / 2)

אם ביטוי זה מחליף כעת את האותם, בנוסחה לאזור ה- heptadecagon שהתקבל בחלק הקודם, יש לנו:

אזור הפטדקגון = (17/4) (d ² ) קוטן (β / 2)

בהיותנו β = 360 מעלות / 17 עבור ההפטקדקון, אז סוף סוף יש לנו את הנוסחה הרצויה:

אזור הפטדקגון = (17/4) (ד ² ) קוטן (180 מעלות / 17)

שטח שניתן לרדיוס

בסעיפים הקודמים נמצא קשר בין D הצדדי של מצולע רגיל לרדיוס שלו, והקשר הזה הוא הבא:

d = 2 r סן (β / 2)

ביטוי זה עבור d מוכנס לביטוי שהתקבל בחלק הקודם לאזור. אם נעשות ההחלפות והפישוטים הרלוונטיים, מתקבלת הנוסחה המאפשרת לחשב את שטח הקפאון:

אזור Heptadecagon = (17/2) (r ² ) סן (β) = (17/2) (r ² ) סן (360º / 17)

ביטוי משוער לאזור הוא:

אזור הפטדקגון = 3.0706 (r ² )

כצפוי, אזור זה קטן מעט משטח המעגל המתווה את הכוח הקדמי A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ² . אם לדייק, זה פחות מ- 2% מזה של המעגל המתואר שלו.

דוגמאות

דוגמא 1

כדי לענות על השאלה יש לזכור את הקשר בין הצד לרדיוס של מצולע רגיל לא צדדי:

d = 2 r סן (180º / n)

עבור heptadecagon n = 17, כך d = 0.3675 r, כלומר הרדיוס של heptadecagon הוא r = 2 ס"מ / 0.3675 = 5.4423 ס"מ או

קוטר 10.8844 ס"מ.

ההיקף של מטפטוף צדדי בגודל 2 ס"מ הוא P = 17 * 2 ס"מ = 34 ס"מ.

דוגמא 2

עלינו להתייחס לנוסחה המוצגת בסעיף הקודם, המאפשרת לנו למצוא את שטח הנקפה כאשר האורך d של הצד שלו:

אזור הפטדקגון = (17/4) (d ² ) / שזוף (180º / 17)

על ידי החלפת d = 2 ס"מ בנוסחה הקודמת, אנו משיגים:

שטח = 90.94 ס"מ

הפניות

1. CEA (2003). אלמנטים בגיאומטריה: עם תרגילים וגיאומטריה של מצפן. אוניברסיטת מדיין.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). מתמטיקה 2. גרפו עורך פטריה.
3. Freed, K. (2007). גלה מצולעים. חברת חינוך בנצ'מרק.
4. Hendrik, V. (2013). מצולעים כללית. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Tacaná סמסטר א 'במתמטיקה. IGER.
6. גיאומטריה ג'וניור. (2014). מצולעים. Lulu Press, Inc.
7. מילר, האדרמס והורנסבי. (2006). מתמטיקה: נימוקים ויישומים (המהדורה העשירית). פירסון חינוך.
8. Patiño, M. (2006). מתמטיקה 5. פרוגרסו עריכה.
9. סאדה, מ 'מצולע רגיל בן 17 צלעות עם סרגל ומצפן. התאושש מ: geogebra.org
10. ויקיפדיה. הפטקגון. התאושש מ: es.wikipedia.com