- דוגמאות לתואר של פולינום
- טבלה 1. דוגמאות לפולינומים ותאריהם
- נוהל לעבודה עם פולינומים
- סדר, צמצם והשלים פולינום
- חשיבות מידת הפולינום בנוסף וחיסור
- תרגילים שנפתרו
- - התרגיל נפתר 1
- פִּתָרוֹן
- - התרגיל נפתר 2
- פִּתָרוֹן
- הפניות
מידת פולינום במשתנה ניתנת על ידי המונח כי יש המעריך הגדול, ואם הפולינום יש שניים או יותר משתנים, אז מידת נקבעת לפי סכום המעריכים של כל מונח, סכום גדול יותר להיות מידת של הפולינום.
בואו נראה כיצד לקבוע את מידת הפולינום בצורה מעשית.
איור 1. המשוואה המפורסמת של איינשטיין לאנרגיה E היא מונומיה בדרגה מוחלטת 1 עבור המסה המשתנה, המצוינת על ידי m, מכיוון שמהירות האור c נחשבת קבועה. מקור: פיקסלס.
נניח שהפולינום P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . פולינום זה הוא משתנה אחד, במקרה זה הוא המשתנה x. פולינום זה מורכב ממספר מונחים, שהם הבאים:
ועכשיו מה המפיץ? התשובה היא 3. לכן P (x) הוא פולינום של תואר 3.
אם לפולינום המדובר יש יותר ממשתנה אחד, התואר יכול להיות:
-מוּחלָט
ביחס למשתנה
התואר המוחלט נמצא כמוסבר בהתחלה: הוספת המרחבים של כל מונח ובחירת הגדול ביותר.
במקום זאת, מידת הפולינום ביחס לאחד המשתנים או האותיות היא הערך הגדול ביותר של המפתח שיש לאותה האמירה. הנקודה תתבהר עם הדוגמאות והתרגילים שנפתרו בסעיפים הבאים.
דוגמאות לתואר של פולינום
ניתן לסווג פולינומים לפי תואר, ויכולים להיות תואר ראשון, תואר שני, תואר שלישי וכן הלאה. לדוגמא באיור 1, אנרגיה היא מונומיה מדרגה ראשונה למסה.
חשוב גם לציין שמספר המונחים שיש לפולינום שווה לתואר פלוס 1. לפיכך:
- פולינומים מדרגה ראשונה הם בעלי שני מונחים: 1 x + a o
-לפולינום התואר השני יש 3 מונחים: 2 x 2 + a 1 x + a o
-לפולינום תואר שלישי יש 4 מונחים: 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a או
וכן הלאה. הקורא הקפד יבחין כי הפולינומים בדוגמאות הקודמות נכתבים בצורה יורדת, כלומר הצבת המונח קודם כל עם התואר הגדול ביותר.
הטבלה הבאה מציגה פולינומים שונים, הן של משתנים והן של מספר משתנים והתארים המוחלטים שלהם בהתאמה:
טבלה 1. דוגמאות לפולינומים ותאריהם
| פולינום | תוֹאַר |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | אחד |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 ו- 5 + 5x 2 ו- 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
לשני הפולינומים האחרונים יש יותר ממשתנה אחד. מבין אלה, המונח בעל התואר המוחלט הגבוה ביותר הודגש בצורה מודגשת, כך שהקורא יכול לבדוק במהירות את התואר. חשוב לזכור שכאשר למשתנה אין אקספקטנט כתוב, מובן כי האקספקטנט האמור שווה ל -1.
לדוגמה, במונח המודגש ab 3 x 2 ישנם שלושה משתנים, כלומר: a, b ו- x. במונח זה, a מוגדל ל- 1, כלומר:
a = a 1
לכן ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
מכיוון שהמרכיב של b הוא 3 וזה של x הוא 2, יוצא מיד כי דרגת המונח היא:
1 + 3 + 2 = 6
Y הוא התואר המוחלט של הפולינום, מכיוון שלאף מונח אחר אין תואר גבוה יותר.
נוהל לעבודה עם פולינומים
בעבודה עם פולינומים, חשוב לשים לב למידת זה, שכן ראשית ולפני ביצוע פעולה כלשהי, נוח לבצע את הצעדים הבאים בהם התואר מספק מידע חשוב מאוד:
- הזן את פולינום של העדפה בכיוון הולך ופוחת. לפיכך, המונח עם התואר הגבוה ביותר נמצא בצד שמאל והמונח עם התואר הנמוך ביותר הוא בצד ימין.
- צמצם מונחים דומים, הליך הכולל הוספת אלגברית את כל המונחים של אותו משתנה ותואר שנמצאים בביטוי.
אם יש צורך, הפולינומים הושלמו, הוספת מונחים שהמקדם שלהם הוא 0, במקרה שיש חסרים מונחים עם אקספקטנט.
סדר, צמצם והשלים פולינום
בהתחשב בפולינום P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, הוא מתבקש להזמין אותו בסדר יורד, צמצם את התנאים הדומים אם יש כאלה, והשלים את התנאים החסרים אם מדויק.
הדבר הראשון שצריך לחפש הוא המונח עם המפתח הגדול ביותר, שהוא דרגת הפולינום, שמתברר שהוא:
x 7
לכן P (x) הוא בדרגה 7. ואז מסודר הפולינום, החל במונח זה בצד שמאל:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
כעת מופחתים תנאים דומים, שהם הבאים: - 2X ו- 3x מצד אחד. ו- 7 ו- -12 מאידך. כדי להפחית אותם, מקדמים מתווספים באופן אלגברי והמשתנה נותר ללא שינוי (אם המשתנה אינו מופיע לצד המקדם, זכרו ש- x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
החלף את התוצאות הללו ב- P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
ולבסוף הפולינום נבדק כדי לבדוק אם חסר אקספקטנט כלשהו ואכן, מונח שהאקספקט שלו הוא 6 חסר, ולכן הוא הושלם עם אפסים כאלה:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
כעת נציין כי הפולינום הושאר עם 8 מונחים, שכן כאמור מספר המונחים שווה לתואר + 1.
חשיבות מידת הפולינום בנוסף וחיסור
בעזרת פולינומים ניתן לבצע פעולות של חיבור וחיסור, בהן מוסיפים או מחסרים מונחים דומים בלבד, שהם אלה עם אותו משתנה ואותה תואר. אם אין מונחים דומים, התוספת או החיסור פשוט מצויינים.
לאחר ביצוע ההוספה או החיסור, כשהאחרון הוא סכום ההפך, מידת הפולינומה המתקבלת תמיד שווה או פחות ממידת הפולינום המוסיפה את התואר הגבוה ביותר.
תרגילים שנפתרו
- התרגיל נפתר 1
מצא את הסכום הבא וקבע את דרגתו המוחלטת:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
פִּתָרוֹן
זהו פולינום עם שני משתנים, כך שנוח להפחית את המונחים הדומים:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5 א 3 - 2X 3
שני המונחים הם של תואר 3 בכל משתנה. לכן התואר המוחלט של הפולינום הוא 3.
- התרגיל נפתר 2
הביעו את האזור של הדמות הגיאומטרית המישורית הבאה כפולינום (איור 2 משמאל). מה מידת הפולינום שהתקבל?
איור 2. משמאל, הנתון לתרגיל 2 שנפתר ומימין, אותה דמות מתפרקת לשלושה אזורים שהביטוי שלהם ידוע. מקור: פ. זפטה.
פִּתָרוֹן
מכיוון שזה אזור, הפולינום המתקבל חייב להיות בדרגה 2 במשתנה x. כדי לקבוע ביטוי מתאים לאזור, הדמות מתפרקת לאזורים ידועים:
שטח המלבן והמשולש הם בהתאמה: בסיס x גובה ובסיס x גובה / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; 3 = 5. (2x / 2) = 5x
הערה : בסיס המשולש הוא 3x - x = 2x וגובהו הוא 5.
כעת מתווספים שלושת הביטויים המתקבלים, עם זה יש לנו את האזור של הדמות כפונקציה של x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
הפניות
- Baldor, A. 1974. אלגברה אלמנטרית. ונצולנה תרבותית
- Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
- Wikibooks. פולינומים. התאושש מ: es. wikibooks.org.
- ויקיפדיה. תואר (פולינום). התאושש מ: es.wikipedia.org.
- זיל, ד. 1984. אלגברה וטריגונומטריה. מק גריי היל.