- הִיסטוֹרִיָה
- מושגי יסוד
- מושגים נפוצים
- תנוחות או אקסיומות
- דוגמאות
- דוגמא ראשונה
- הצעה 1.4. (LAL)
- הפגנה
- דוגמא שנייה
- הצעה 1.5. (
- דוגמא שלישית
- הצעה 1.31
- בִּניָן
- חִיוּב
- הפגנה
- הפניות
הגיאומטריה האוקלידית תואמת את חקר תכונותיהם של חללים גיאומטריים שבו האקסיומות של אוקלידס מרוצים. למרות שלעתים משתמשים במונח זה לכיסוי גיאומטריות בעלות ממדים גבוהים יותר עם תכונות דומות, זה בדרך כלל שם נרדף לגיאומטריה קלאסית או לגיאומטריה מישורית.
במאה השלישית א. ג. אוקלידס ותלמידיו כתבו את האלמנטים, יצירה שהקיפה את הידע המתמטי של הזמן שזכה במבנה לוגי-דדוקטיבי. מאז הפכה הגיאומטריה למדע, בתחילה כדי לפתור בעיות קלאסיות והתפתחה להיות מדע מכונן המסייע לתבונה.
הִיסטוֹרִיָה
כדי לדבר על ההיסטוריה של הגיאומטריה האוקלידית, חשוב להתחיל עם אוקליד מאלכסנדריה והאלמנטים.
כשנותרה מצרים בידי תלמי הראשון, לאחר מותו של אלכסנדר מוקדון, הוא החל את פרויקטו בבית ספר באלכסנדריה.
בין החכמים שלימדו בבית הספר היה אוקליד. משערים כי הולדתו משנת 325 לפני הספירה. ג 'ומותו 265 א. ג. אנו יכולים לדעת בוודאות שהוא הלך לבית הספר של אפלטון.
במשך יותר משלושים שנה לימד אוקליד באלכסנדריה ובנה את האלמנטים המפורסמים שלו: הוא החל לכתוב תיאור ממצה של המתמטיקה של זמנו. תורתו של אוקליד הניבה תלמידים מצוינים, כמו ארכימדס ואפולוניוס מפרגה.
אוקליד היה אחראי על בניית התגליות השונות של היוונים הקדמונים ביסודות, אך בניגוד לקודמיו הוא לא מגביל את עצמו לאשר שמשפט נכון; אוקליד מציעה הפגנה.
האלמנטים הם קומפנדיום של שלושה עשר ספרים. אחרי התנ"ך, זהו הספר שפורסם ביותר, עם יותר מאלף מהדורות.
המרכיבים של אוקליד
האלמנטים הם יצירת המופת של אוקליד בתחום הגיאומטריה, ומציע טיפול מוחלט בגיאומטריה של שני ממדים (המטוס) ושלושה ממדים (חלל), וזהו מקורו של מה שאנו מכירים כיום כגיאומטריה אוקלידית. .
מושגי יסוד
האלמנטים מורכבים מהגדרות, מושגים נפוצים ותנוחות (או אקסיומות) ואחריהן משפטים, קונסטרוקציות והוכחות.
- נקודה היא זו שאין לה חלקים.
- קו הוא אורך שאין לו רוחב.
- קו ישר הוא כזה שנמצא באופן שווה ביחס לנקודות שנמצאות בו.
- אם נחתכים שני קווים כך שהזוויות הסמוכות שוות, הזויות נקראות קווים ישרים והקווים נקראים בניצב.
- קווים מקבילים הם כאלה שבעצם אותו מישור אף פעם לא מצטלב.
לאחר הגדרות אלה ואחרות, מציג לנו אוקליד רשימה של חמש עמדות וחמש מושגים.
מושגים נפוצים
- שני דברים השווים לשליש שווים זה לזה.
- אם מוסיפים אותם דברים לאותם דברים, התוצאות זהות.
- אם דברים שווים מופרעים דברים שווים, התוצאות שוות.
- דברים שתואמים זה לזה שווים זה לזה.
- הסכום גדול מחלק.
תנוחות או אקסיומות
- קו אחד ורק עובר דרך שתי נקודות שונות.
- ניתן להרחיב קווים ישרים ללא הגבלת זמן.
- אתה יכול לצייר מעגל עם כל מרכז ובכל רדיוס.
- כל זוויות הזכות שוות.
- אם קו ישר חוצה שני קווים ישרים כך שהזוויות הפנימיות של אותו צד מסתכמות בפחות משתי זוויות ישרות, אז שתי הקווים יחצו באותו צד.
המוצא האחרון הזה מכונה התנוחה המקבילה ונוסחה מחדש באופן הבא: "לנקודה מחוץ לקו ניתן לצייר יחיד מקביל לקו הנתון."
דוגמאות
בשלב הבא, כמה משפטי האלמנטים ישמשו להצגת תכונות של חללים גיאומטריים שבהם מתקיימות חמש המוצבים של אוקליד; בנוסף, הם ימחישו את ההנמקה ההגיונית-דדוקטיבית בה השתמש מתמטיקאי זה.
דוגמא ראשונה
הצעה 1.4. (LAL)
אם לשני משולשים יש שני צדדים והזווית ביניהם שווה, אז הצדדים האחרים והזוויות האחרות שווים.
הפגנה
בואו ל- ABC ו- A'B'C 'יהיו שני משולשים עם AB = A'B', AC = A'C 'והזוויות BAC ו- B'A'C' שוות. בואו נעבור את המשולש A'B'C כך ש- A'B יעלה בקנה אחד עם AB והזווית הזו B'A'C תואמת עם זווית BAC.
אז קו A'C 'עולה בקנה אחד עם קו AC, כך ש- C עולה בקנה אחד עם C. ואז, על ידי התנוחה 1, קו BC חייב להיות בקנה אחד עם קו B'C. לכן שני המשולשים חופפים זה לזה, וכתוצאה מכך זוויותיהם וצדיהם שווים.
דוגמא שנייה
הצעה 1.5. (
נניח שבמשולש ABC יש צדדים שווים AB ו- AC.
אז, למשולשים ABD ו- ACD יש שני צדדים שווים והזוויות ביניהן שוות. לפיכך, לפי הצעה 1.4, הזוויות ABD ו- ACD שוות.
דוגמא שלישית
הצעה 1.31
אתה יכול לבנות קו מקביל לקו הניתן על ידי נקודה נתונה.
בִּניָן
בהינתן קו L ונקודה P, קו M נמשך דרך P ומצטלב את L. ואז נמשך קו N דרך P שמצטלב את L. כעת, קו N נמשך דרך P, המצטלב בין M, ויוצרים זווית השווה לזו ש- L מעצבת עם M.
חִיוּב
N מקביל ל.
הפגנה
נניח ש- L ו- N אינם מקבילים ומצטלבים בנקודה A. בואו להיות נקודה ב- L מעבר לא '. הבה נבחן את קו O שעובר דרך B ו- P. ואז O מצטלב M בזוויות המסתכמות בפחות מ שניים ישרים.
ואז על ידי 1.5 קו O חייב להצטלב בין קו L בצד השני של M, כך L ו- O מצטלבים בשתי נקודות, מה שמנוגד לתנוחה 1. לכן, L ו- N חייבים להיות מקבילים.
הפניות
- אלמנטים של גאומטריה. האוניברסיטה האוטונומית הלאומית במקסיקו
- אוקליד. ששת הספרים הראשונים והאחד-עשר והשתים-עשרה מבין יסודותיו של אוקליד
- יוג'ניו פילוי יאג. דידקטיקה והיסטוריה של הגיאומטריה האוקלידית, עורכת גרופ Iberoamericano
- ק. ריבניקוב. תולדות המתמטיקה. מיר עריכה
- Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. עריכה ונצולנה קליפורניה