פונקציה לוגריתמית היא מערכת יחסים מתמטיים המשייך כל x אמיתי מספר חיובי עם y לוגריתם שלה על בסיס. קשר זה עונה על הדרישות להיות פונקציה: לכל אלמנט x השייך לתחום יש תמונה ייחודית.
לכן:
מכיוון שהלוגריתם המבוסס על מספר x הוא המספר y שאליו יש להעלות את הבסיס a כדי להשיג x.
הלוגריתם של הבסיס הוא תמיד 1. לפיכך, הגרף של f (x) = log a x מצטלב תמיד את ציר ה- x בנקודה (1,0)
הפונקציה הלוגריתמית הינה טרנסצנדנטית ואינה יכולה לבוא לידי ביטוי כפולינום או כמקור של אלה. בנוסף ללוגריתם, קבוצה זו כוללת את הפונקציות הטריגונומטריות ואת האקספוננציאלי, בין היתר.
דוגמאות
ניתן לקבוע את הפונקציה הלוגריתמית על ידי בסיסים שונים, אך הנפוצים ביותר הם 10 ו- e, כאשר e הוא מספר אוילר השווה ל- 2.71828….
כאשר משתמשים בבסיס 10 נקרא הלוגריתם לוגריתם עשרוני, לוגריתם רגיל, בריגס או סתם לוגריתם רגיל.
ואם משתמשים במספר e, אז זה נקרא לוגריתם טבעי, על שם ג'ון נאפייר, המתמטיקאי הסקוטי שגילה לוגריתמים.
הסימון המשמש לכל אחד מהם הוא הבא:
- לוגריתם דצימלי: יומן 10 x = יומן x
- לוגריתם נפרדי: ln x
כאשר עומד להשתמש בבסיס אחר, הכרחי לציין אותו כמנוי, מכיוון שהלוגריתם של כל מספר שונה בהתאם לבסיס בו נעשה שימוש. לדוגמה, אם מדובר בלוגריתמים בבסיס 2, כתוב:
y = יומן 2 x
בואו נסתכל על הלוגריתם של המספר 10 בשלושה בסיסים שונים, כדי להמחיש נקודה זו:
יומן 10 = 1
ln 10 = 2.30259
יומן 2 10 = 3.32193
מחשבונים נפוצים מביאים רק לוגריתמים עשרוניים (פונקצית יומן) ולוגריתם טבעי (פונקציה ln). באינטרנט ישנם מחשבונים עם בסיסים אחרים. בכל מקרה, הקורא יכול לאמת בעזרתו את הערכים הקודמים:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
הבדלים עשרוניים קטנים נובעים ממספר המקומות העשרוניים שצולמו בחישוב הלוגריתם.
היתרונות של לוגריתמים
אחד היתרונות של השימוש בלוגריתמים הוא הקלות שהם מספקים לעבוד עם מספרים גדולים, באמצעות הלוגריתם שלהם במקום המספר ישירות.
זה אפשרי מכיוון שפונקציית הלוגריתם גדלה לאט יותר ככל שהמספרים הולכים וגדלים, כפי שאנו יכולים לראות בתרשים.
כך שגם עם מספרים גדולים מאוד, הלוגריתמים שלהם קטנים בהרבה, והתמרון של מספרים קטנים תמיד קל יותר.
בנוסף, לוגריתמים יש את המאפיינים הבאים:
- מוצר : log (ab) = log a + log b
- המנה : יומן (א b /) = log a - יומן b
- כוח : רישום a b = b.log a
ובדרך זו, המוצרים והמרכיבים הופכים לתוספות וחיסורים של מספרים קטנים יותר, ואילו ההעצמה הופכת למוצר פשוט למרות שההספק הוא גבוה.
לכן הלוגריתמים מאפשרים לנו לבטא מספרים המשתנים בטווחי ערכים גדולים מאוד, כמו עוצמת הצליל, pH של פיתרון, בהירות הכוכבים, ההתנגדות החשמלית ועוצמת רעידות האדמה בסולם ריכטר.
איור 2. איור 2. לוגריתמים משמשים בסולם ריכטר בכדי לכמת את גודל רעידות האדמה. בתמונה נראה מבנה שקרס בקונספסיון, צ'ילה, במהלך רעידת האדמה 2010. מקור: Wikimedia Commons.
בואו נראה דוגמא לטיפול בתכונות הלוגריתמים:
דוגמא
מצא את הערך של x בביטוי הבא:
תשובה
יש לנו כאן משוואה לוגריתמית, מאחר והלא ידוע נמצא בטיעון הלוגריתם. זה נפתר על ידי השארת לוגריתם יחיד בכל צד של השוויון.
אנו מתחילים להציב את כל המונחים המכילים "x" משמאל לשוויון, ואת אלה שמכילים רק מספרים מימין:
יומן (5x + 1) - יומן (2x-1) = 1
משמאל יש לנו חיסור של שני לוגריתמים, אותם ניתן לכתוב כאלוגריתם של כמות:
יומן = 1
עם זאת, מימין מספר 1, אותו אנו יכולים לבטא כ יומן 10, כפי שראינו קודם. כך:
log = log 10
כדי ששוויון יהיה נכון, טיעוני הלוגריתמים חייבים להיות שווים:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
תרגיל אפליקציה: סולם ריכטר
בשנת 1957 אירעה במקסיקו רעידת אדמה שעוצמתה הייתה 7.7 בסולם ריכטר. בשנת 1960 אירעה צ'ילה רעידת אדמה נוספת בעוצמה גדולה יותר, של 9.5.
חשב כמה פעמים רעידת האדמה בצ'ילה הייתה אינטנסיבית יותר מזו במקסיקו, בידיעה שהעוצמה M R בסולם ריכטר ניתנת על ידי הנוסחה:
M R = יומן (10 4 I)
פִּתָרוֹן
הגודל בסולם ריכטר של רעידת אדמה הוא פונקציה לוגריתמית. אנו הולכים לחשב את עוצמתה של כל רעידת אדמה, מכיוון שיש לנו את העוצמות של ריכטר. בואו נעשה זאת צעד אחר צעד:
- מקסיקו : 7.7 = יומן (10 4 I)
מכיוון שההיפוך של פונקציית הלוגריתם הוא האקספוננציאלי, אנו מיישמים זאת לשני צידי השוויון מתוך כוונה לפתור עבור I, שנמצא בטיעון הלוגריתם.
מכיוון שהם לוגריתמים עשרוניים, הבסיס הוא 10. ואז:
10 7.7 = 10 4 אני
עוצמת רעידת האדמה במקסיקו הייתה:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- צ'ילה : 9.5 = יומן (10 4 I)
אותו נוהל מוביל אותנו לעוצמת רעידת האדמה הצ'ילאנית I Ch :
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
כעת נוכל להשוות בין שתי העוצמות:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1. אני מ
רעידת האדמה בצ'ילה הייתה חזקה פי 63 מזו במקסיקו. מכיוון שהעוצמה לוגריתמית, היא גדלה לאט יותר מהעוצמה, ולכן הפרש של 1 בעוצמה, פירושו משרעת גדולה פי 10 של הגל הסיסמי.
ההבדל בין עוצמות שתי רעידות האדמה הוא 1.8, ולכן אנו יכולים לצפות להבדל בעוצמות קרוב יותר ל 100 מאשר ל 10, כפי שקרה בפועל.
למעשה, אם ההבדל היה בדיוק 2, רעידת האדמה הצ'יליאנית הייתה חזקה פי מאה מזו המקסיקנית.
הפניות
- Carena, M. 2019. מדריך מתמטיקה לפני האוניברסיטה. האוניברסיטה הלאומית של ליטורל.
- Figuera, J. 2000. מתמטיקה 1. שנה מגוונת. מהדורות CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
- Larson, R. 2010. חישוב משתנה. ט '. מַהֲדוּרָה. מקגרו היל.
- סטיוארט, ג'יי 2006. פרקלקולוס: מתמטיקה לחישוב. 5. מַהֲדוּרָה. לימוד Cengage.