פונקציה קבועה: מאפיינים, דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

פונקציה קבועה היא זו שבה הערך של y נשמר קבוע. במילים אחרות: לפונקציה קבועה תמיד יש את הצורה f (x) = k, כאשר k הוא מספר אמיתי.

בעת גרף של הפונקציה הקבועה במערכת הקואורדינטות של xy, תמיד נוצר קו ישר המקביל לציר האופקי או ה- x.

איור 1. תרשים של מספר פונקציות קבועות במישור הקרטסי. מקור: Wikimedia Commons. משתמש: HiTe

פונקציה זו היא מקרה מסוים של פונקציית הקיבה, שגם הגרף שלה הוא קו ישר, אך עם שיפוע. לפונקציה הקבועה יש שיפוע אפס, כלומר זהו קו אופקי, כפי שניתן לראות באיור 1.

שם מוצג הגרף של שלוש פונקציות קבועות:

כולם קווים מקבילים לציר האופקי, הראשון מתחת לציר האמור, ואילו השאר מעל.

מאפייני פונקציה קבועים

אנו יכולים לסכם את המאפיינים העיקריים של הפונקציה הקבועה כדלקמן:

הגרף שלו הוא קו ישר אופקי.

יש לזה צומת ייחודי עם ציר y, ששווה k.

זה רציף.

-The תחום של פונקציה קבועה (סט של ערכים שיכולים להיות x) היא קבוצה של מספרים ממשיים R .

-הנתיב, הטווח או התחום הנגדי (מערכת הערכים שהמשתנה y לוקח) הוא פשוט k קבוע.

דוגמאות

פונקציות נחוצות כדי ליצור קשרים בין כמויות התלויות זו בזו בדרך כלשהי. ניתן ליצור מודל מתמטי של היחסים ביניהם, כדי לגלות כיצד אחד מהם מתנהג כאשר השני משתנה.

זה עוזר לבנות מודלים לסיטואציות רבות ולהעלות תחזיות לגבי התנהגותם והתפתחותם.

למרות הפשטות הנראית לעין, לפונקציה המתמדת יש יישומים רבים. לדוגמא, כשמדובר בלימוד כמויות שנשארות קבועות לאורך זמן, או לפחות לזמן מורגש.

באופן זה, סדר הגודל מתנהג במצבים כמו:

מהירות ההפלגה של מכונית שנעת לאורך כביש ישר ארוך. כל עוד אינכם בולמים או מאיצים, המכונית היא בעלת תנועה ישרה אחידה.

איור 2. אם המכונית לא מבלימה או מאיצה, יש לה תנועה ישרה אחידה. מקור: Pixabay.

-לקבלים טעונים במלואם המנותקים ממעגל יש מטען קבוע לאורך זמן.

בסופו של דבר, מגרש חניה קבוע שומר על מחיר קבוע, לא משנה כמה זמן חונה שם מכונית.

דרך נוספת לייצג פונקציה קבועה

ניתן לייצג את הפונקציה הקבועה כדלקמן:

מכיוון שכל ערך של x שהועלה ל 0 נותן 1 כתוצאה מכך, הביטוי הקודם מצטמצם לזה המוכר כבר:

כמובן שזה קורה כל עוד הערך של k שונה מ- 0.

זו הסיבה שהפונקציה הקבועה מסווגת גם כפונקציה פולינומית של דרגה 0, מכיוון שהמרכיב של המשתנה x הוא 0.

תרגילים שנפתרו

- תרגיל 1

ענה על השאלות הבאות:

א) ניתן לקבוע כי הקו הניתן על ידי x = 4 הוא פונקציה קבועה? תן סיבות לתשובה שלך.

ב) האם לפונקציה קבועה יכולה להיות יירוט x?

ג) האם הפונקציה f (x) = w ² קבועה ?

תשובה ל

להלן הגרף של השורה x = 4:

איור 3. תרשים קו x = 4. מקור: F. Zapata.

הקו x = 4 אינו פונקציה; בהגדרה פונקציה היא יחס כזה שכל ערך של המשתנה x מתאים לערך יחיד של y. ובמקרה זה זה לא נכון, מכיוון שהערך x = 4 קשור לערכים אינסופיים של y. לכן התשובה היא לא.

תשובה ב

באופן כללי לפונקציה קבועה אין יירוט x, אלא אם כן הוא y = 0, ובמקרה זה ציר ה- x עצמו.

תשובה ג

כן, מכיוון ש- w קבוע, הריבוע שלה הוא גם קבוע. מה שחשוב הוא ש- w אינו תלוי במשתנה הקלט x.

- תרגיל 2

מצא את הצומת בין הפונקציות f (x) = 5 ו- g (x) = 5x - 2

פִּתָרוֹן

כדי למצוא את הצומת בין שתי פונקציות אלה, ניתן לכתוב מחדש בהתאמה כ:

הם משווים, מקבלים:

מהי משוואה לינארית לתואר הראשון, שהפתרון שלה הוא:

נקודת הצומת היא (7 / 5,5).

- תרגיל 3

הראה שהנגזרת של פונקציה קבועה היא 0.

פִּתָרוֹן

מההגדרה של נגזרת יש לנו:

החלפת ההגדרה:

יתר על כן, אם אנו חושבים על הנגזרת כשיעור השינוי dy / dx, הפונקציה הקבועה אינה עוברת שום שינוי, ולכן הנגזרת שלה היא אפס.

- תרגיל 4

מצא את האינטגרל הבלתי מוגדר של f (x) = k.

פִּתָרוֹן

איור 4. תרשים של הפונקציה v (t) לנייד של התרגיל 6. מקור: F. Zapata.

זה שואל:

א) כתוב ביטוי לפונקצית המהירות כפונקציה של זמן v (t).

ב) מצא את המרחק אותו נסע הנייד במרווח הזמן שבין 0 ל 9 שניות.

פתרון ל

הגרף המוצג מראה כי:

- v = 2 m / s במרווח הזמן שבין 0 ל -3 שניות

-הנייד נעצר בין 3 ל -5 שניות, מכיוון שבמרווח זה המהירות היא 0.

- v = - 3 m / s בין 5 ל 9 שניות.

זוהי דוגמא לפונקציה חתיכתית, או פונקציה חתיכתית, אשר בתורם מורכבת מפונקציות קבועות, תקפות רק למרווחי הזמן המצוינים. מסקנה כי הפונקציה הרצויה היא:

פיתרון ב

מהגרף v (t) ניתן לחשב את המרחק שנסע על ידי הנייד, וזה שווה מספרי לשטח שמתחת / לעיקול. בדרך זו:

-התנגדות נסעה בין 0 לשלוש שניות = 2 מטר / שניות. 3 ש '= 6 מ'

- בין שלוש לחמש שניות הוא נעצר ולכן לא נסע מרחק.

-התנגדות נסעה בין 5 ל 9 שניות = 3 מ '/ ש'. 4 ש '= 12 מ'

בסך הכל נסע הנייד 18 מ '. שימו לב שלמרות שהמהירות שלילית במרווח שבין 5 ל 9 שניות, המרחק שנמצא חיובי. מה שקורה הוא שבמרווח הזמן הזה, הנייד שינה את תחושת המהירות שלו.

הפניות

1. גאוגברה. פונקציות קבועות. התאושש מ: geogebra.org.
2. מייפלסופט. הפונקציה הקבועה. התאושש מ: maplesoft.com.
3. Wikibooks. חישוב במשתנה / פונקציות / פונקציה קבועה. התאושש מ: es.wikibooks.org.
4. ויקיפדיה. פונקציה קבועה. התאושש מ: en.wikipedia.org
5. ויקיפדיה. פונקציה קבועה. התאושש מ: es.wikipedia.org.