שברים חלקיים: מקרים ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

שברים חלקיים הם שברים נוצר על ידי פולינומים, שבו המכנה יכול להיות פולינום ליניארי או ריבועית וגם ניתן בחזקה. לפעמים כשיש לנו פונקציות רציונליות כדאי מאוד לשכתב את הפונקציה הזו כסכום של שברים חלקיים או שברים פשוטים.

זאת מכיוון שבדרך זו אנו יכולים לתפעל פונקציות אלה בצורה טובה יותר, במיוחד במקרים בהם יש צורך לשלב יישום כאמור. פונקציה רציונלית היא פשוט המנה בין שני פולינומים, והם יכולים להיות תקינים או לא ראויים.

אם מידת הפולינום של המונה פחותה מכנה, זה נקרא פונקציה ראויה רציונלית; אחרת, זה ידוע כפונקציה רציונלית פסולה.

הַגדָרָה

כשיש לנו פונקציה רציונלית לא תקינה, נוכל לחלק את הפולינום של המונה על ידי הפולינום של המכנה ובכך לשכתב את השבר p (x) / q (x), בעקבות אלגוריתם החלוקה כ t (x) + s (x) / q (x), כאשר t (x) הוא פולינום ו- s (x) / q (x) הוא פונקציה רציונלית ראויה.

שבר חלקי הוא כל פונקציה ראויה של פולינומים, שהמכנה שלהם הוא בצורת (גרזן + b) ⁿ או (גרזן ² + bx + c) ⁿ , אם לגרזן הפולינום ² + bx + c אין שורשים אמיתיים ו- n הוא מספר טִבעִי.

על מנת לשכתב פונקציה רציונלית בשברים חלקיים, הדבר הראשון לעשות הוא לגרום למכנה ש (x) כתוצר של גורמים לינאריים ו / או ריבועיים. לאחר ביצוע פעולה זו נקבעים השברים החלקיים, התלויים באופי הגורמים הללו.

מקרים

אנו שוקלים כמה מקרים בנפרד.

תיק 1

הגורמים של q (x) כולם לינאריים ואף אחד מהם לא חוזר. זאת אומרת:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ ) … (a _s x + b _s )

אין שום גורם לינארי זהה לזה. כאשר מקרה זה מתרחש נכתוב:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _s ).

היכן ₁ , A ₂ , …, A _s הם קבועים להימצא.

דוגמא

אנו מעוניינים לפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים פשוטים:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

אנו ממשיכים לגייס את המכנה, כלומר:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

לאחר מכן:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

על ידי החלת מכפיל פחות נפוץ, ניתן להשיג כי:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

אנו רוצים להשיג את ערכי הקבועים A, B ו- C, אותם ניתן למצוא על ידי החלפת השורשים המבטלים כל אחד מהמונחים. להחליף 0 עבור x יש לנו:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

להחליף - 1 עבור x יש לנו:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - ב

B = 2.

להחליף - 2 עבור x יש לנו:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

בדרך זו מתקבלים הערכים A = –1/2, B = 2 ו- C = –3/2.

קיימת שיטה נוספת להשיג את הערכים של A, B ו- C. אם בצד ימין של המשוואה x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x אנו משלבים מונחים, ויש לנו:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

מכיוון שמדובר בשוויון של פולינומים, יש לנו כי המקדמים בצד שמאל חייבים להיות שווים לאלה שבצד ימין. התוצאה היא מערכת המשוואות הבאה:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2 א = - 1

בפתרון מערכת המשוואות הזו, אנו משיגים את התוצאות A = –1/2, B = 2 ו- C = -3/2.

לבסוף, להחליף את הערכים שהושגו יש לנו כי:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

מקרה 2

הגורמים של q (x) כולם לינאריים וחלקם חוזרים על עצמם. נניח ש (ax + b) הוא גורם שחוזר על פעמים "s"; אם כן, לגורם זה תואמים את הסכום של שברים חלקיים של «s».

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

שבו _ים , A _S-1 , …, A ₁ הם קבועים שייקבעו. בדוגמה הבאה אנו נראה כיצד לקבוע קבועים אלה.

דוגמא

התפרק לשברים חלקיים:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

אנו כותבים את הפונקציה הרציונאלית כסכום של שברים חלקיים באופן הבא:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

לאחר מכן:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

להחליף 2 עבור x, יש לנו את זה:

7 = 4C, כלומר C = 7/4.

להחליף 0 עבור x יש לנו:

- 1 = –8A או A = 1/8.

החלפת ערכים אלה במשוואה הקודמת ופיתוח, יש לנו כי:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

כשמקדמים משווים, אנו משיגים את מערכת המשוואות הבאה:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

לפיתרון המערכת יש לנו:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

לשם כך עלינו:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

מקרה 3

הגורמים של q (x) הם ריבועיים ליניאריים, ללא גורמים ריבועיים חוזרים ונשנים. במקרה זה, הגורם הריבועי (גרזן ² + bx + c) יתאים לשבר החלקי (גרזן + B) / (גרזן ² + bx + c), כאשר הקבועים A ו- B הם אלה שיקבעו.

הדוגמה הבאה מראה כיצד להמשיך במקרה זה

דוגמא

פירק לשברים פשוטים a (x + 1) / (x ³ - 1).

ראשית אנו ממשיכים לגייס את המכנה, אשר נותן לנו כתוצאה מכך:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

אנו יכולים לראות כי (x ² + x + 1) הוא פולינום ריבועי בלתי ניתן לצמצום; כלומר אין לו שורשים אמיתיים. פירוקו לשברים חלקיים יהיה כדלקמן:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

מכאן אנו משיגים את המשוואה הבאה:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

בעזרת שוויון של פולינומים אנו משיגים את המערכת הבאה:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

ממערכת זו יש לנו כי A = 2/3, B = - 2/3 ו- C = 1/3. מחליפים, יש לנו את זה:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

מקרה 4

לבסוף, מקרה 4 הוא זה בו הגורמים של q (x) הם לינאריים ומרובעים, כאשר חלק מהגורמים המרובעים הלינאריים חוזרים על עצמם.

במקרה זה, אם (גרזן ² + bx + c) הוא גורם ריבועי החוזר על פעמים "s", החלק השבר החלקי המתאים לגורם (גרזן ² + bx + c) יהיה:

(A ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (גרזן ² + bx + c) ^s

איפה א _ים , A _S-1 , …, A ו- B _של , B _S-1 , …, B הם קבועים שייקבעו.

דוגמא

אנו רוצים לפרק את הפונקציה הרציונלית הבאה לשברים חלקיים:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

מכיוון ש- x ² - 4x + 5 הוא גורם ריבועי בלתי ניתן לצמצום, יש לנו כי פירוקו לשברים חלקיים ניתן על ידי:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

לפשט ולפתח יש לנו:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

מהאמור לעיל יש לנו מערכת המשוואות הבאה:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25 א = 2.

כשפתרון המערכת נותר לנו עם:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 ו- E = - 3/5.

על ידי החלפת הערכים המתקבלים יש לנו:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

יישומים

חשבון אינטגרלי

שברים חלקיים משמשים בעיקר לחקר חשבון אינטגרלי. להלן מספר דוגמאות לביצוע אינטגרלים באמצעות שברים חלקיים.

דוגמא 1

אנו מעוניינים לחשב את האינטגרל של:

אנו יכולים לראות שהמכנה q (x) = (t + 2) ² (t + 1) מורכב מגורמים לינאריים בהם אחד מהם חוזר על עצמו; זו הסיבה שאנחנו במקרה 2.

אנחנו חייבים:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

אנו כותבים את המשוואה ויש לנו:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

אם t = - 1, יש לנו:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = ג

אם t = - 2 זה נותן לנו:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

ואז, אם t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

החלפת הערכים של A ו- C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

מהאמור לעיל יש לנו כי B = - 1.

אנו משכתב את האינטגרל כ:

אנו ממשיכים לפתור אותה בשיטת ההחלפה:

זו התוצאה:

דוגמא 2

לפתור את האינטגרל הבא:

במקרה זה אנו יכולים לקבוע aq (x) = x ² - 4 כ q (x) = (x - 2) (x + 2). אנו בבירור במקרה 1. לכן:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

זה יכול לבוא לידי ביטוי גם כ:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

אם x = - 2, יש לנו:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

ואם x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

לפיכך, נותר לנו עם פיתרון האינטגרל הנתון שקול לפיתרון:

זה נותן לנו כתוצאה:

דוגמא 3

לפתור את האינטגרל:

יש לנו q (x) = 9x ⁴ + x ² , אותם אנו יכולים לחלק ל- q (x) = x ² (9x ² + 1).

הפעם יש לנו גורם ליניארי חוזר וגורם ריבועי; כלומר, אנחנו במקרה 3.

אנחנו חייבים:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

קיבוץ ושימוש בפולינומים שווים, יש לנו:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

ממערכת המשוואות הזו יש לנו:

D = - 9 ו- C = 0

בדרך זו יש לנו:

על ידי פתרון האמור לעיל, יש לנו:

חוק פעולה המונית

יישום מעניין של השברים החלקיים המוחלים על חשבון האינטגרל נמצא בכימיה, ליתר דיוק בחוק הפעולה ההמונית.

נניח שיש לנו שני חומרים, A ו- B, המצטרפים זה לזה ויוצרים חומר C, כך שנגזרת כמות C ביחס לזמן תהיה פרופורציונלית לתוצר של כמויות A ו- B בכל רגע נתון.

אנו יכולים לבטא את חוק הפעולה ההמונית באופן הבא:

בביטוי זה α הוא המספר ההתחלתי של גרם התואם ל- A ו- β המספר ההתחלתי של גרם התואם ל- B.

יתר על כן, r ו- s מייצגים את מספר גרם A ו- B בהתאמה המשתלבים ויוצרים r + s גרם C. מצידו, x מייצג את מספר גרם החומר C בזמן t, ו- K הוא ה- קבוע של מידתיות. ניתן לכתוב מחדש את המשוואה לעיל:

ביצוע השינוי הבא:

יש לנו שהמשוואה הופכת להיות:

מתוך ביטוי זה אנו יכולים להשיג:

כאשר אם a ≠ b, ניתן להשתמש בשברים חלקיים לשילוב.

דוגמא

בואו ניקח לדוגמא חומר C שמקורו בשילוב של חומר A עם B, בצורה כזו שמתקיימת חוק ההמונים במקום בו הערכים של a ו- b הם 8 ו 6 בהתאמה. תן משוואה שנותנת לנו את הערך של גרם C כפונקציה של זמן.

להחליף את הערכים בחוק ההמונים הנתון, יש לנו:

כאשר אנו מפרידים בין משתנים יש לנו:

כאן ניתן לכתוב 1 / (8 - x) (6 - x) כסכום של שברים חלקיים, כדלקמן:

לפיכך, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

אם אנו מחליפים 6 עבור x, יש לנו B = 1/2; והחלפת 8 עבור x, יש לנו A = - 1/2.

שילוב לפי שברים חלקיים שיש לנו:

זה נותן לנו כתוצאה:

משוואות דיפרנציאליות: משוואה לוגיסטית

יישום נוסף שניתן לתת לשברים חלקיים הוא במשוואת ההפרש הלוגיסטית. במודלים פשוטים יש לנו כי קצב הגידול של אוכלוסייה פרופורציונאלי לגודלו; זאת אומרת:

מקרה זה הוא אידיאל ונחשב ריאלי עד שזה קורה שהמשאבים הזמינים במערכת אינם מספיקים כדי לתמוך באוכלוסייה.

במצבים אלה הדבר הסביר ביותר הוא לחשוב שיש יכולת מקסימאלית, אותה נקרא L, שהמערכת יכולה לקיים, ושקצב הגידול עומד ביחס לגודל האוכלוסייה כפול הגודל הזמין. טיעון זה מוביל למשוואת ההפרש הבאה:

ביטוי זה נקרא משוואת ההפרש הלוגיסטית. זוהי משוואה דיפרנציאלית ניתנת להפרדה הניתנת לפיתרון בשיטת שילוב החלקים החלקיים.

דוגמא

דוגמא לכך היא לשקול אוכלוסיה שגדלה לפי משוואת ההפרש הלוגיסטית הבאה y '= 0.0004y (1000 - y), שהנתונים הראשוניים שלהם הם 400. אנו רוצים לדעת את גודל האוכלוסייה בזמן t = 2, שם t נמדד בשנים.

אם אנו כותבים y עם הסימון של לייבניץ כפונקציה התלויה ב- t, יש לנו:

ניתן לפתור את האינטגרל בצד שמאל בשיטת שילוב חלקי החלקים:

אנו יכולים לשכתב את השוויון האחרון באופן הבא:

- להחליף את y = 0 יש לנו ש- A שווה ל- 1/1000.

- החלפת y = 1000 יש לנו ש- B שווה ל- 1/1000.

עם ערכים אלה האינטגרל הוא כדלקמן:

הפיתרון הוא:

באמצעות הנתונים הראשוניים:

כשמנקים ויש לנו:

אז יש לנו את זה ב t = 2:

לסיכום, לאחר שנתיים גודל האוכלוסייה הוא כ 597.37.

הפניות

1. א, רא (2012). מתמטיקה 1. Universidad de los Andes. מועצת הפרסומים.
2. Cortez, I., and Sanchez, C. (nd). 801 אינטגרלים נפתרים. האוניברסיטה הניסוי הלאומית בטצ'ירה.
3. לייטולד, ל '(1992). החישוב בעזרת גיאומטריה אנליטית. הרלה, ס.א.
4. פרסל, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). תַחשִׁיב. מקסיקו: פירסון חינוך.
5. סאנז, ג '(נ'). חשבון אינטגרלי. אֲלַכסוֹן.