פקטורינג: שיטות ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

פרוק הוא שיטה שבאמצעותה פולינום מבוטא כפל גורמים, אשר עשוי להיות מספרים או אותיות או שניהם. לפקטור, הגורמים המשותפים למונחים מקובצים זה לזה, ובדרך זו הפולינום מתפרק למספר פולינומים.

לפיכך, כאשר מכפילים את הגורמים זה לזה, התוצאה היא הפולינום המקורי. פקטורינג היא שיטה שימושית מאוד כאשר יש לך ביטויים אלגבריים, מכיוון שניתן להמיר אותה לכפל של כמה מונחים פשוטים; לדוגמה: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

ישנם מקרים בהם לא ניתן ליישם פולינום מכיוון שאין גורם משותף בין תנאיו; לפיכך, הביטויים האלגבריים הללו ניתנים לחלוקה רק מעצמם ועל ידי 1. לדוגמא: x + y + z.

בביטוי אלגברי, הגורם המשותף הוא המחלק הנפוץ הגדול ביותר של המונחים המרכיבים אותו.

שיטות פקטורינג

ישנן מספר שיטות פקטורינג, אשר מיושמות בהתאם למקרה. חלק מאלה הם כדלקמן:

פקטורינג לפי גורם משותף

בשיטה זו מזוהים גורמים שכיחים; כלומר אלה שחוזרים על עצמם במונחי הביטוי. לאחר מכן מוחלים על הרכוש החלוקתי, נלקח המחלק המשותף הגדול ביותר והושלם הפקטורינג.

במילים אחרות, הגורם השכיח של הביטוי מזוהה וכל מונח מחולק על ידו; התנאים המתקבלים יוכפלו על ידי המחלק המשותף הגדול ביותר לביטוי הגורם.

דוגמא 1

גורם (b ² x) + (b ² y).

פִּתָרוֹן

ראשית אתה מוצא את הגורם המשותף של כל מונח, שבמקרה זה הוא b ² , ואז מחלק את המונחים בגורם המשותף באופן הבא:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

הגורם לביטוי, מכפיל את הגורם המשותף במונחים המתקבלים:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

דוגמא 2

גורם (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש לנו שני גורמים שחוזרים על עצמם בכל מונח שהם "a" ו- "b", ומועלים לכוח. כדי לבחון אותם, שני המונחים מתפרקים תחילה בצורתם הארוכה:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

ניתן לראות כי גורם "a" חוזר על עצמו פעם אחת בלבד בקדנציה השנייה, וגורם "b" חוזר על עצמו פעמיים; כך שבמונח הראשון נותרו רק 2, גורם "a" וגורם "b"; ואילו בקדנציה השנייה נותרו רק 3.

לפיכך, הזמנים בהם "a" ו- "b" חוזרים ונכתבים ומוכפלים על ידי הגורמים שנותרו מכל מונח, כפי שמוצג בתמונה:

קיבוץ פקטורינג

מכיוון שלא בכל המקרים מתבטא בבירור המחלק המשותף הגדול ביותר של פולינום, יש לבצע צעדים אחרים בכדי להיות מסוגלים לשכתב את הפולינום ובכך לגרום לגורם.

אחד הצעדים הללו הוא לקבץ את מונחי הפולינום למספר קבוצות, ואז להשתמש בשיטת הגורם המשותף.

דוגמא 1

גורם ac + bc + מודעה + bd.

פִּתָרוֹן

ישנם 4 גורמים בהם שניים נפוצים: במונח הראשון זה «c» ובשני זה הוא «d». באופן זה שני המונחים מקובצים ומופרדים:

(ac + bc) + (מודעה + bd).

כעת ניתן ליישם את שיטת הגורם המשותף, לחלק כל מונח בגורם המשותף ואז להכפיל את הגורם המשותף במונחים המתקבלים, כמו זה:

(ac + bc) / c = a + b

(מודעה + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

כעת אנו מקבלים בינומיום המשותף לשני המונחים. כדי לגבש את זה, הוא מוכפל עם הגורמים שנותרו; ככה אתה צריך:

ac + bc + מודעה + bd = (c + d) _* (a + b).

פקטורינג פיקוח

שיטה זו משמשת לפקטור פולינומים ריבועיים, המכונים גם טרינוומיאלים; כלומר, אלה המובנים כגרזן ² ± bx + c, כאשר הערך של "a" שונה מ -1. שיטה זו משמשת גם כאשר הטרינום בעל צורה x ² ± bx + c והערך של "a" = 1.

דוגמא 1

גורם x ² + 5x + 6.

פִּתָרוֹן

יש לנו טרינוליום ריבועי בצורת x ² ± bx + c. כדי לבחון זאת ראשית, עלינו למצוא שני מספרים שכאשר הם מוכפלים נותנים כתוצאה את הערך של «c» (כלומר, 6) ושהסכום שלהם שווה למקדם «b», שהוא 5. המספרים הללו הם 2 ו- 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

בדרך זו הביטוי מפושט כך:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

כל מונח נלקח בחשבון:

- עבור (x ² + 2x) המונח השכיח נלקח: x (x + 2)

- עבור (3x + 6) = 3 (x + 2)

לפיכך הביטוי הוא:

x (x +2) + 3 (x +2).

מכיוון שיש לנו דו קיום משותף, כדי להפחית את הביטוי אנו מכפילים את זה במונחים הנותרים ועלינו:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

דוגמא 2

גורם 4 א ² + 12 א + 9 = 0.

פִּתָרוֹן

יש לנו טרינום ריבועי של הצורה גרזן ² ± bx + cy כדי לפתח אותו, להכפיל את כל הביטוי במקדם x ² ; במקרה זה, 4.

4 א ² + 12 א +9 = 0

4 א ² (4) + 12 א (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 א ² + 12 א (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

כעת עלינו למצוא שני מספרים שכאשר מוכפלים זה בזה, נותנים כתוצאה את הערך של "c" ​​(שהוא 36), וכאשר מוסיפים אותם, נותנים כתוצאה את המקדם של המונח "a", שהוא 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

באופן זה נכתב מחדש הביטוי, תוך התחשבות בכך ש -4 ² a ² = 4a _* 4a. לפיכך, הנכס המחלק חל על כל מונח:

(4 א + 6) _* (4 א + 6).

לבסוף, הביטוי מחולק במקדם של ² ; כלומר, 4:

(4 + 6) _* (4 + 6) / 4 = ((4 + 6) / 2) _* ((רביעי + 6) / 2).

הביטוי הוא כדלקמן:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

פקטורינג עם מוצרים בולטים

ישנם מקרים שבהם, על מנת לגבש את הפולינומים במלואם בשיטות לעיל, זה הופך לתהליך ארוך מאוד.

זו הסיבה שניתן לפתח ביטוי עם הנוסחאות של המוצרים המופלאים וכך התהליך הופך להיות פשוט יותר. בין המוצרים הבולטים הנפוצים ביותר הם:

- הבדל בין שני ריבועים: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- ריבוע מושלם של הסכום: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- ריבוע מושלם של הבדל: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- הבדל של שתי קוביות: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- סכום של שתי קוביות: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

דוגמא 1

גורם (5 ² - x ² )

פִּתָרוֹן

במקרה זה יש הבדל בין שני ריבועים; לכן הנוסחה המדהימה של המוצר חלה:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

דוגמא 2

גורם 16x ² + 40x + 25 ²

פִּתָרוֹן

במקרה זה, יש לך ריבוע מושלם של סכום, מכיוון שאתה יכול לזהות שני מונחים בריבוע, והמונח שנותר הוא תוצאה של הכפלת שניים בשורש הריבוע של המונח הראשון, בשורש הריבועי של המונח השני.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

כדי לחשב רק את השורשים הריבועיים של המונח הראשון והשלישי מחושבים:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

ואז שני המונחים המתקבלים באים לידי ביטוי מופרדים על ידי סימן הפעולה, והפולינום כולו בריבוע:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

דוגמא 3

גורם 27 א ³ - ב ³

פִּתָרוֹן

הביטוי מייצג חיסור בו קובעים שני גורמים. כדי לגבש אותם, הנוסחה של המוצר הבולט של הפרש הקוביות מוחלת, שהיא:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

לפיכך, לשם פקטור, שורש הקוביה של כל מונח בינומיום נלקח ומכפיל את הריבוע של המונח הראשון, בתוספת המוצר של הראשון על ידי המונח השני, בתוספת המונח השני בריבוע.

27 א ³ - ב ³

³√ (27 א ³ ) = 3 א

³√ (-b ³ ) = -b

27 א ³ - ב ³ = (3 א - ב) _*

27 א ³ - ב ³ = (3 א - ב) _* (9 א ² + ³ אב + ב ² )

עובדת עם הכלל של רופיני

שיטה זו משמשת כשיש לך פולינום בדרגה גדולה יותר משניים, על מנת לפשט את הביטוי למספר פולינומים בדרגה פחותה.

דוגמא 1

גורם Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

פִּתָרוֹן

ראשית אנו מחפשים את המספרים שהם מחלקים של 12, שהוא המונח הבלתי תלוי; אלה הם ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ו- ± 12.

ואז ה- x מוחלף בערכים אלה, מהנמוך ביותר לגבוהים ביותר, וכך נקבע עם אילו מהערכים החלוקה תהיה מדויקת; כלומר, השאר צריך להיות 0:

x = -1

ש (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

ש (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

ש (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

וכן הלאה לכל מחלק. במקרה זה, הגורמים שנמצאו הם עבור x = -1 ו- x = 2.

כעת מיושמת שיטת רופיני, לפיה מקדמי הביטוי יחולקו על ידי הגורמים שנמצאו כך שהחלוקה מדויקת. מונחי הפולינום מסודרים מהאקספקטנט הגבוה ביותר לנמוך ביותר; במקרה שחסר מונח עם התואר הבא ברצף, ממוקם 0 במקומו.

המקדמים ממוקמים בסכמה כמוצג בתמונה הבאה.

המקדם הראשון מורד ומכפיל על ידי המחלק. במקרה זה המחלק הראשון הוא -1 והתוצאה ממוקמת בעמודה הבאה. ואז ערך המקדם עם אותה תוצאה שהושגה מתווסף אנכית והתוצאה ממוקמת למטה. בדרך זו התהליך חוזר על עצמו עד הטור האחרון.

ואז שוב חוזרים על אותו נוהל, אך עם המחלק השני (שהוא 2) מכיוון שעדיין ניתן לפשט את הביטוי.

לפיכך, לכל שורש שהושג יהיה הפולינום מונח (x - a), כאשר "a" הוא ערך השורש:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

מצד שני, יש להכפיל מונחים אלה בשארית חוקיו של רופיני 1: 1 ו- -6, שהם גורמים המייצגים תואר. באופן זה הביטוי שנוצר הוא: (x ² + x - 6).

השגת התוצאה של פקטורציה של הפולינום בשיטת רופיני היא:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

לבסוף, ניתן לכתוב מחדש את הפולינום של תואר 2 המופיע בביטוי הקודם כ- (x + 3) (x-2). לפיכך, הגורם הסופי הוא:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

הפניות

1. ארתור גודמן, LH (1996). אלגברה וטריגונומטריה עם גיאומטריה אנליטית. פירסון חינוך.
2. J, V. (2014). כיצד ללמד ילדים אודות פקטור פולינומי.
3. מנואל מורילו, א.ש. (sf). מתמטיקה בסיסית עם יישומים.
4. Roelse, PL (1997). שיטות לינאריות לפיזור פולינום על שדות סופיים: תיאוריה ויישומים. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). טבעות ופקטוריזציה.