גורם נפוץ על ידי קיבוץ מונחים: דוגמאות, תרגילים - מתמטיקה - 2025

הגורם הנפוץ על ידי קיבוץ של מונחים הנו פרוצדורה אלגבריים המאפשרת לך לכתוב כמה ביטויים אלגבריים בצורת גורמים. כדי להשיג מטרה זו, עליכם ראשית לקבץ את הביטוי כראוי ולבחון כי לכל קבוצה שנוצרה בכך יש למעשה גורם משותף.

יישום נכון של הטכניקה דורש תרגול מסוים, אך תוך זמן קצר אתה שולט בה. בואו נסתכל תחילה על דוגמא להמחשה שתוארה צעד אחר צעד. ואז הקורא יכול ליישם את מה שלמדו בכל אחד מהתרגילים שיופיעו בהמשך.

איור 1. לקיחת גורם משותף על ידי קיבוץ מונחים הופכת את העבודה עם ביטויים אלגבריים לקלה יותר. מקור: Pixabay.

לדוגמה, נניח שאתה צריך לבטא את הביטוי הבא:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

ביטוי אלגברי זה מורכב מארבעה מונומיאלים או מונחים, מופרדים על ידי סימנים + ו-, כלומר:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

במבט מקרוב, x משותף לשלוש הראשונים, אך לא האחרון, בעוד y משותף לשני והרביעי, ו- z משותף לשלושה והרביעי.

אז באופן עקרוני אין גורם משותף לארבעת המונחים בו זמנית, אך אם הם מקובצים כפי שיוצג בסעיף הבא, יתכן שיופיע אחד שעוזר לכתוב את הביטוי כמוצר של שניים או יותר גורמים.

דוגמאות

גורם לביטוי: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

שלב 1 : קבוצה

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

שלב 2: מצא את הגורם המשותף לכל קבוצה

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

ואני mportant : הסימן השלילי הוא גם גורם שכיח כי חייב להילקח בחשבון.

כעת שימו לב כי הסוגריים (x + y) חוזרים על עצמם בשני המונחים המתקבלים על ידי קיבוץ. זה הגורם השכיח אותו חיפש.

שלב 3: הגדר את הביטוי כולו

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

עם התוצאה הקודמת הושגה המטרה של פקטורינג, שהיא לא אחרת מאשר להפוך ביטוי אלגברי המבוסס על תוספות וחיסור של מונחים, לתוצר של שני גורמים או יותר, לדוגמא שלנו, של: (x + y) ו- (2x - 3z).

שאלות חשובות לגבי הגורם המשותף על ידי קיבוץ

שאלה 1 : כיצד לדעת שהתוצאה נכונה?

תשובה : המאפיין החלוקתי מוחל על התוצאה שהתקבלה ולאחר צמצום ופישוט, הביטוי המתקבל חייב להתאים למקור, אם לא, יש שגיאה.

בדוגמה הקודמת, אנו עובדים הפוך עם התוצאה, כדי לבדוק שהיא נכונה:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

מכיוון שסדר התוספות אינו משנה את הסכום, לאחר החלת הנכס המחלק מוחזר כל התנאים המקוריים, כולל סימנים, לפיכך, הגורם נכון.

שאלה 2: האם זה יכול היה להיות מקובץ בדרך אחרת?

תשובה: ישנם ביטויים אלגבריים המאפשרים יותר מצורה אחת של קיבוץ ואחרים שאינם עושים זאת. בדוגמה שנבחרה, הקורא יכול לנסות אפשרויות אחרות בכוחות עצמו, למשל לקבץ כזה:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

ותוכלו לבדוק שהתוצאה זהה לזה שהושגה כאן. מציאת הקבוצתיות האופטימלית זה עניין של תרגול.

שאלה 3: מדוע יש צורך לקחת גורם משותף מביטוי אלגברי?

תשובה : מכיוון שיש יישומים שבהם הביטוי המובנה מקל על החישובים. לדוגמה, נניח שברצונך להגדיר 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy שווה ל 0. מהן האפשרויות?

כדי לענות על שאלה זו, הגירסה המהודרת שימושית בהרבה מההתפתחות המקורית במונחים. נאמר כך:

(x + y) (2x - 3z) = 0

אפשרות אחת שהביטוי שווה 0 היא ש- x = -y, ללא קשר לערך z. והשני הוא ש- x = (3/2) z, ללא קשר לערך של y.

תרגילים

- תרגיל 1

חלץ גורם נפוץ לביטוי הבא על ידי קיבוץ מונחים:

גרזן + ay + bx + על ידי

פִּתָרוֹן

השניים הראשונים מקובצים, עם הגורם המשותף "a" והשניים האחרונים עם הגורם המשותף "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

ברגע שזה נעשה, נחשף גורם משותף חדש, שהוא (x + y), כך:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

דרך נוספת לקבוצה

ביטוי זה תומך בדרך אחרת של קיבוץ. בואו נראה מה קורה אם המונחים מסודרים מחדש וקבוצה נוצרת עם אלה המכילים x ואחרת עם אלה שמכילים y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

באופן זה הגורם המשותף החדש הוא (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

מה שמוביל לאותה תוצאה מהקבוצה הראשונה שנבדקה.

- תרגיל 2

הביטוי האלגברי הבא צריך להיכתב כתוצר של שני גורמים:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

פִּתָרוֹן

ביטוי זה מכיל 6 מונחים. בואו ננסה לקבץ ראשון ורביעי, שני ושלישי ולבסוף חמישי ושישי:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

עכשיו כל סוגריים מובנים:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

במבט ראשון נראה כי המצב היה מסובך, אך אין להתייאש מהקורא, מכיוון שאנו הולכים לשכתב את המונח האחרון:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

לשני המונחים האחרונים יש כעת גורם משותף, שהוא (3b-a), כך שניתן יהיה לחשוב אותם. חשוב מאוד לא לאבד את הראייה של המונח הראשון ² (3a - 1), אשר חייב להמשיך ללוות את הכל כתוספת, גם אם אינך עובד איתו:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

הביטוי הצטמצם לשני מונחים וגורם משותף חדש מתגלה בזה האחרון שהוא "b". עכשיו זה נשאר:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

הגורם השכיח הבא שיופיע הוא 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

או אם אתה מעדיף בלי סוגריים:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

האם הקורא יכול למצוא דרך קיבוץ אחרת המובילה לאותה תוצאה?

איור 2. תרגילי פקטורינג מוצעים. מקור: פ. זפטה.

הפניות

1. Baldor, A. 1974. אלגברה אלמנטרית. ונצולנה תרבותית
2. Jiménez, R. 2008. אלגברה. אולם פרנטיס.
3. מקרים עיקריים של פקטורינג. התאושש מ: julioprofe.net.
4. UNAM. מתמטיקה בסיסית: פקטוריזציה על ידי קיבוץ מונחים. הפקולטה לחשבונאות ומינהל.
5. זיל, ד. 1984. אלגברה וטריגונומטריה. גבעת מקגרו.