אירועים משלימים: ממה הם מורכבים ודוגמאות - מתמטיקה - 2025

האירועים נוספים מוגדרים כול קבוצה של אירועים שוללים זו לזה, שבו האיחוד מהם הוא מסוגל לכסות את שטח מדגם מלא או מקרים אפשריים של ניסויים (שהן מקיפות).

הצומת שלהם מביא לסט הריק (∅). סכום ההסתברויות לשני אירועים משלימים שווה ל 1. במילים אחרות, 2 אירועים עם מאפיין זה מכסים לחלוטין את האפשרות לאירועים של ניסוי.

מקור: pexels.com

מהם האירועים המשלימים?

מקרה גנרי שימושי מאוד להבנת אירוע מסוג זה הוא לגלגל קוביות:

כאשר מגדירים את שטח הדגימה, נקראים כל המקרים האפשריים שהניסוי מציע. סט זה מכונה היקום.

שטח מדגם (ים):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

האפשרויות שלא נקבעו במרחב הדגימה אינן חלק מהאפשרויות של הניסוי. לדוגמה {המספר שבע עולה} יש לו הסתברות לאפס.

על פי מטרת הניסוי, מוגדרים קבוצות ותתי משנה במידת הצורך. סימון הקביעה לשימוש נקבע גם לפי המטרה או הפרמטר הנלמד:

ת: {פלט מספר שווה} = {2, 4, 6}

ב: {קבל מספר אי זוגי} = {1, 3, 5}

במקרה זה A ו- B הם אירועים משלימים. מכיוון ששתי הסטים הם בלעדיים הדדית (מספר שווה שהוא מוזר בתורו לא יכול לצאת) והאיחוד של הסטים הללו מכסה את שטח המדגם כולו.

דוגמאות נוספות אפשריות בדוגמה שלמעלה הן:

C : {פלט מספר ראשוני} = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

סטי A, B, ו- C כתוב תיאוריה ו אנליטית בסימון בהתאמה. לצורך השימוש בסימן האלגברי D נקבע , והתוצאות האפשריות התואמות לניסוי תוארו בסימון אנליטי .

ניתן להבחין בדוגמא הראשונה שמכיוון ש- A ו- B הם אירועים משלימים

ת: {פלט מספר שווה} = {2, 4, 6}

ב: {קבל מספר אי זוגי} = {1, 3, 5}

האקסיומות הבאות מחזיקות:

1. AUB = S ; האיחוד בין שני אירועים משלימים שווה למרחב המדגם
2. A ∩B = ∅ ; הצומת של שני אירועים משלימים שווה לסט הריק
3. A '= B ᴧ B' = A; כל תת-קבוצה שווה להשלמת ההומולוג שלה
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; מצטלבים סט עם השלמתו שווה לריק
5. A 'UA = B' UB = S; הצטרפות לסט עם השלמה שלו שווה לשטח הדגימה

בסטטיסטיקה ובמחקרים הסתברותיים, אירועים משלימים הם חלק מהתיאוריה כולה, והם נפוצים מאוד בקרב הניתוחים שבוצעו בתחום זה.

כדי ללמוד עוד על אירועים משלימים , יש צורך להבין מונחים מסוימים המסייעים בהגדרתם באופן רעיוני.

מהם האירועים?

אלה אפשרויות ואירועים הנובעים מהניסוי, המסוגלים להציע תוצאות בכל אחד מהאיטראציות שלהם. האירועים להפיק את נתון שיירשמו כאלמנטים של סטים ותת-קבוצות, המגמות בנתונים אלה הן סיבת מחקר עבור הסתברות.

דוגמאות לאירועים הם:

• המטבע הצביע על ראשים
• המשחק הביא לתיקו
• הכימיקל הגיב תוך 1.73 שניות
• המהירות בנקודת המקסימום הייתה 30 מ '/ ש
• המות סימנה את המספר 4

מה זה תוסף?

לגבי תורת הקבוצות. משלים מתייחס החלק משטח המדגם שצריך להתווסף למערכת עבור אותו להקיף היקום שלו. זה כל מה שאינו חלק מהשלם.

דרך ידועה לציין השלמה בתורת הקבוצות היא:

השלמה של א

דיאגרמת ון

מקור: pixabay.com

זוהי תכנית אנליטית גרפית-תוכן, הנמצאת בשימוש נרחב בפעולות מתמטיות הכוללות קבוצות, תת קבוצות ואלמנטים. כל קבוצה מיוצגת על ידי אות גדולה וציור סגלגל (מאפיין זה אינו חובה בשימוש) המכילים כל אחד ואחד מהיסודות שלו.

אירועים נוספים נראים דיאגרמות ישירות ון, כשיטה הגרפית שלו כדי לזהות את פתן המתאימה לכול קבוצה.

פשוט ויזואליזציה מוחלטת של סביבת הסט, תוך השמטת הגבול והמבנה הפנימי שלה, מאפשרת לתת הגדרה להשלמה של הסט הנלמד.

דוגמאות לאירועים משלימים

דוגמאות לאירועים משלימים הם הצלחה ותבוסה באירוע בו שוויון אינו יכול להתקיים (משחק בייסבול).

משתנים בוליאניים הם אירועים משלימים: נכון או לא נכון, כמו כן נכון או לא נכון, סגור או פתוח, פעיל או כבוי.

תרגילי אירוע משלימים

תרגיל 1

תן ל- S להיות מערכת היקום המוגדרת על ידי כל המספרים הטבעיים פחות או שווה לעשרה.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

הקבוצות הבאות של S מוגדרות

H: {מספרים טבעיים פחות מארבעה} = {0, 1, 2, 3}

J: {כפל של שלושה} = {3, 6, 9}

K: {כפל של חמש} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {מספרים טבעיים הגדולים או שווים לארבעה} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

לְהַחלִיט:

כמה אירועים משלימים יכולים להיווצר על ידי קשירת זוגות של קבוצות משנה של S ?

על פי ההגדרה של אירועים משלימים , מזוהים הזוגות העונים על הדרישות (בלעדיות הדדית ומכסים את שטח המדגם בעת ההצטרפות). הזוגות הבאים של קבוצות המשנה הם אירועים משלימים :

• H ו- N
• J ו- M
• L ו- K

תרגיל 2

הראה כי: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; הצומת בין הסטים מניב את האלמנטים הנפוצים בין שתי הקבוצות האופרטיביות. בדרך זו 5 הוא האלמנט המשותף היחיד בין M ו- K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; מכיוון ש- L ו- K משלימים, מתגשמת האקסיומה השלישית שתוארה לעיל (כל תת-קבוצה שווה להשלמת ההומולוג שלה)

תרגיל 3

הגדירו: '

J ∩ H = {3} ; בדרך הומולוגית לשלב הראשון בתרגיל הקודם.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; פעולות אלה ידועות כשילוב ומטופלות בדרך כלל בתרשים Venn.

' = {0, 1, 2}; השלמת הפעולה המשולבת מוגדרת.

תרגיל 4

תוכיח כי: { ∩ ∩} '= ∅

הפעולה המורכבת המתוארת בסוגריים המתולתלים מתייחסת לצמתים בין איגודי האירועים המשלימים. בדרך זו אנו ממשיכים לאמת את האקסיומה הראשונה (האיחוד של שני אירועים משלימים שווה למרחב המדגם).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; האיחוד והצומת של סט עם עצמו מייצר את אותה הסט.

לאחר מכן; S '= ∅ בהגדרת ערכות.

תרגיל 5

הגדירו 4 צמתים בין קבוצות משנה, שהתוצאות שלה שונות מהערכה הריקה (∅).

• M ∩ N

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

הפניות

1. תפקיד השיטות הסטטיסטיות במדעי המחשב והבינופורמטיקה. אירינה ארהיפובה. אוניברסיטת חקלאות לטביה, לטביה.
2. סטטיסטיקות והערכת הוכחות עבור מדענים משפטית. מהדורה שנייה. קולין GG אייקן. בית הספר למתמטיקה. אוניברסיטת אדינבורו, בריטניה
3. תיאוריית סבירות בסיסית, רוברט ב. אש. החוג למתמטיקה. אוניברסיטת אילינוי
4. סטטיסטיקה יסודית. המהדורה העשירית. מריו פ. טריולה. רחוב בוסטון
5. מתמטיקה והנדסה במדעי המחשב. כריסטופר ג'. ואן וויק. המכון למדעי המחשב וטכנולוגיה. הלשכה הלאומית לתקנים. וושינגטון די.סי. 20234
6. מתמטיקה למדעי המחשב. אריק להמן. Google Inc.
   F תומסון לייטון המחלקה למתמטיקה ומעבדת מדעי המחשב ומעבדת AI, מכון מסצ'וסטס לטכנולוגיה; אקאמאי טכנולוגיות